分类讨论思想

1、分类讨论思想一、含义分类争论思想就是当问题所给的对象不能进行统一争论时,需要把争论对象按 某个标准分类,然后对每一类分别争论得出结论,最终综合各类结果得到整个问题 的解答；实质上,分类争论是“ 化整为零,各个击破,再积零为整” 的解题策略；二、常见类型有关分类争论的数学问题需要运用分类争论思想来解决,引起分类争论的缘由 大致可归纳为如下几种：1. 由数学概念引起的分类争论：有的概念本身是分类的,如肯定值、直线斜率、指数函数、对数函数等；2. 由性质、定理、公式的限制引起的分类争论：有的数学定理、公式、性质是 分类给出的,在不同的条件下结论不一样,如等比数列的前 n 项和公式、函数的单 调性等；

2、3. 由数学运算要求引起的分类争论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开 方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以 一个正数、负数,三角函数的定义域等；4. 由图形的不确定性引起的分类争论：有的图形类型、位置需要分类,如角的 终边所在的象限,点、线、面的位置关系等；5. 由参数的变化引起的分类争论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不 等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同 的求解或证明方法；6. 由实际意义引起的争论：此类问题经常显现在应用题中；三、高中数学中相关的学问点1. 肯定值的定义；2. 一元二次方程根的判别式与根的

3、情形；3. 二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；函数4. 反比例函数ykx0的反比例系数 k,正比例函数ykx的比例系数 k,一次xykxb的斜率 k 与图像位置及函数单调性的关系；5. 幂函数yxa的幂指数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；6. 指数函数yax及其反函数ylogax中底数 a 1 及 0a 1 对函数单调性的影响；7. 等比数列前 n 项和公式中 q1 与 q 1 的区分；8. 不等式性质中两边同乘 除 以正数或负数时对不等号方向的影响；9. 直线与圆锥曲线位置关系的争论；10. 运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在；四、利用分类争论思想应留意事

4、项；1. 分类争论要标准统一,层次分明,分类要做到“ 不重不漏”2. 分类争论时要依据题设条件确定争论的级别,再确定每级争论的对象与标准,每级争论中所分类别应做到与前面所述不重不漏,最终将争论结果归类合并；其中 级别与级别之间有严格的先后次序、类别和类别之间没有先后；最终整合时要留意 是取交集、并集,仍是既不取交集也不取并集只是分条列出；五、分类争论解题的步骤 1. 确定分类争论的对象：即对哪个变量或参数进行分类争论；2. 对所争论的对象进行合理的分类；3. 逐类争论：即对各类问题具体争论,逐步解决；4. 归纳总结：将各类情形总结归纳；六、常见的由图形的位置或外形变化引起的分类争论 1. 二次函数对称轴的变化；2. 函数问题中区间的变化；3. 函数图像外形的变化；4. 直线由斜率引起的位置变化；5. 圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的外形变化；6. 立体几何中点、线、面的位置变化等；七、4 步解决由概念、法就、公式引起的分类争论问题 第一步：确定需分类的目标与对象；即确定需要分类的目标,一般把需要用到 公式、定懂得决问题的对象作为分类目标；其次步：依据公式、定理确定分类标准；运用公式、定理对分类对象进行区分；