祁州一中2023年高考第四次模拟考试数学试卷（含答案）

1、 学校班级学号姓名 .。装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等， 违 者 试 卷 作 0 分 处 理.。装 订 线 内 不 要 答 题，装 订 线 外 不 要 写 姓 名、考 号 等，违 者 试 卷 作 0 分 处 理祁州市第一中学2023年高考第四次模拟考试数 学注意事项：1.试卷共6页，150分，考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合,为虚数单位,则复数()A.B.C.D.2.阅读如

2、下程序框图,如果输出,那么在空白矩形框中应填入的语句为()A.B.C.D.3.若,则S1,S2,S3的大小关系为()A.B.C.D.4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线,相交的平面个数分别记为m,n,那么()A.B.C.D.5.过点引直线l与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.B.C.D.6.已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为A.B.C.D.7.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,

3、则的值为()A.B.C.D.8.已知函数（,且）在上单调递减,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是()A.B.C.D.选择题：4小题，每小题5分，共20分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的多项.9.填空题：4小题，每小题5分，共20分13.在的展开式中，常数项为_(用数字作答)14.在中，若，则_15.设x，y满足约束条件，向量，且，则m的最小值为_16.已知x，y 为正实数 ，且满足，若对任意满足条件的x，y，都有恒成立，则实数a的取值范围为_四、解答题：6小题，共70分17.（10分）正项数列的前n项和满足：.（）求数列的通项公式；（）令,数列的前n项和为.证明：对

4、于任意的,都有.18.（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O为起点,再从,（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.（）求小波参加学校合唱团的概率；（）求X的分布列和数学期望. 19.（12分）在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.（）求角B的大小；（）若,求b的取值范围.20.（12分）如图,四棱锥中,平面,E为的中点,G为的中点,连接并延长交于F.（）求证：平面；（）求平面与平面的夹角的余弦值.21.（12分）如图,椭圆经过点,离心率,直线l的方程为.（）求椭圆

5、C的方程；（）是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线与直线l相交于点M,记,的斜率分别为,.问：是否存在常数,使得？若存在,求的值；若不存在,说明理由.22.（12分）已知函数,a为常数且.（）证明：函数的图像关于直线对称；（）若满足,但,则称为函数的二阶周期点.如果有两个二阶周期点,试确定a的取值范围；（）对于（）中的,和,设为函数的最大值点,.记的面积为,讨论的单调性.祁州市第一中学2023年高考第四次模拟考试数学答案解析1.【答案】C【解析】根据题意得，解得，故选C.【提示】根据两集合的交集中的元素为4，得到，即可求出z的值.【考点】交集及其运算2.【答案】C【解析】当时，；当时，

6、不满足，排除选项D；当时，；当时，选项A，B中的S满足，继续循环，选项C中的不满足，退出循环，输出，故选C.【提示】题目给出了输出的结果，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案.【考点】程序框图3.【答案】B【解析】由于，.且，则，故选B.【提示】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可.【考点】微积分基本定理4.【答案】A【解析】由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以，直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以，所以，故选A.【提示】判断CE与

7、EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出的值.【考点】平面的基本性质及推论5.【答案】B【解析】由，得.所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则，直线l的方程为，即.则原点O到l的距离，l被半圆截得的半弦长为.则.令，则，当，即时，有最大值为.此时由，解得，故答案为B.【提示】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出

8、直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值.【考点】直线与圆的位置关系，直线的斜率6.【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线两条渐近线方程为，设，则四边形的面积为，将代入，可得，双曲线的方程为，故选D【提示】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方为，利用四边形的面积为，求出的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【考点】双曲线的简单性质7.【答案】B【解析】由、分别是边、的中点，故选B【提示】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【考点】平

9、面向量数量积的运算8.【答案】C【解析】在递减，则，函数在R上单调递减，则；解得，；由图像可知，在上，有且仅有一个解，故在上， 同样有且仅有一个解，当即时，联立，则，解得或1（舍去），当时，由图像可知，符合条件，综上：的取值范围为，故选C【提示】利用函数是减函数，根据对数的图像和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组，利用函数的图像，方程的解的个数，推出的范围【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断9.【答案】10.13【答案】6814【答案】或15【答案】16【答案】17.【答案】（1）由，可得，.正项数列，于是，时，时也适合（2）证明：由【提示】（1）由可求，然后利用，

10、时，可求；（2）由，利用裂项求和可求，利用放缩法即可证明.【考点】数列的求和，等差数列的通项公式18.【答案】（1）（2）【解析】（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有种，时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率；（2）两向量数量积的所有可能情形有，0，1，时，有2种情形；时，有8种情形；时，有10种情形.X的分布列为：X01P【提示】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求；（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值.【考点】离散型随机变量及其

11、分布列，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差19.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得，即，即，又B为三角形的内角，则；（2），即，由余弦定理得：，即，则.【提示】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据不为0求出的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将及的值代入表示出，根据a的范围，利用二次函数的性质求出的范围，即可求出b的范围.【考点】余弦定理，两角和与差的余弦函数20.【答案】（1）在中，E为BD的中点，可得，且，从而得到，可得，又中，FG是是的中位线，可得平面A

12、BCD，平面ABCD，平面ABCD，又EF、FG是平面CFG内的相交直线，平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得，设平面BCP的法向量，则解得，可得，设平面DCP的法向量，则解得，可得，.因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于.【提示】（1）利用直角三角形的判定得到，且.由得到，从而得到，所以且，结合题意得到FG是是的中位线，可得，根据平面ABCD得平面ABCD，得到，最后根据线面垂直的判定定理证出平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、的坐标

13、，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出和分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法21.【答案】（1）椭圆C：经过点，可得由离心率得，即，则，代入解得，故椭圆的方程为；（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为，代入椭圆方程并整理得，设，则，.在方程中，令得，M的坐标为，从而，.注意到A，F，B共线，则有，即有，所以代入得，又，所以故存在常数符合题意.方法二：设，则直线FB的方程为，令，求得，从而直线PM的斜率为，

14、联立，得，则直线PA的斜率，直线PB的斜率为，所以，故存在常数符合题意.【提示】（1）由题意将点代入椭圆的方程，得到，再由离心率为，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为，代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设，利用根与系数的关系求得，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3，比较即可求得参数的值；方法二：设，以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3，比较即可求得参数的值.【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程22.【答案】（1）证明：，的图象关于直线对称.（2）当时，有.只有一个解又，故0不是二阶周期点.当时，有.有解集，故此集合中的所有点都