线性代数2一、向量组的极大线性无关

1、2.3向量组的秩教学纲目一、向量组的极大线性无关组二、向量组的秩教学要求理解和掌握向量组的极大线性无关组及相关定理；理解和掌握向量组的秩及相关定理。Zhanglizhuo-2015一、向量组的极大线性无关组定义1向量组的一个部分组称为极大线性无关组，如果该部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量(如果有的话)中任取一个向量添进去，得到的新的部分组都线性相关。Zhanglizhuo-2015【注】(1)依上节定理6，极大线性无关组还可如下理解：部分组本身是无关的，任取其余一向量都可由该部分组线性表示。(2)依上节定理7，当用极大线性无关组表示向量时，其表示式唯一。Zhanglizhuo

2、-2015 = 0 ，= 1 线性相关。1 =，1 0 2 1 31例如向量组 其中1与2, 1与3, 2与3都是该向量组的极大线性无关组。【注】向量组的极大线性无关组可不唯一。Zhanglizhuo-2015定义2 设向量组1, 2, , m的每一个向量都可以 由1, 2, , s线性表示，则称向量组 1, 2, , m可以由1, 2, , s线性表示。如果向量组1, 2, , m与向量组1, 2, , s可以互相线性表示，则称向量组1, 2, , m与向量组1, 2, , s等价，记作1, 2, , m 1, 2, , s 。Zhanglizhuo-2015向量组的等价关系具有下述三条性质

3、：10 反身性。即任何一个向量组都与其自身等价；20 对称性。即如果1, , m 1, , s ，则1, 2, , s 1, 2, , m 。 30 传递性。即如果1, , m 1, , s ，且1, 2, , s 1, 2, , t ，则1, 2, , m 1, 2, , t 。【注】因为线性表出具有传递性, 所以等价也具有传递性。Zhanglizhuo-2015定理1向量组和它的极大线性无关组等价。【证】设向量组1, , m, m+1, , s，不妨设其一个极大无关组为1, , m，对任意i1, 2, , s，i=01+ +0i-1+1i+0 i+1+ +0s，1, 2, , m可由1,

4、, m, m+1, , s线性表出。同理1, 2, , s可由1, , m线性表示。事实上，如果mt，则向量组1, 2, , s线性相关。【证】若1, 2, , t仅含零向量，则由题设，1, s也仅含零向量，则1, 2, , s线性相关。若1, 2, , t零向量，不妨设其一个极大线性无关组为1, , r，则rt，且1, 2, , r1, 2, , t故向量组1, 2, , s也可由1, 2, , r线性表示，Zhanglizhuo-2015设 1=k111+k1rr，2=k211+k2rr，其中kij(i=1, , s, j=1, , r) ， 为已知数， =k +kss11srr线性方程组

5、 l11+l22+ +lss=O，即考虑1l1(k111+k1rr)2+l (k +k )22112rrs+ls(ks11+ksrr)=O，整理得(l1k11+l2k21+ +lsks1)1+ (l1k1r+l2k2r+ +lsksr)r=OZhanglizhuo-2015因为1, 2, , r线性无关，于是有以l1, l2, , ls为未知元的线性方程组l1k s0，0，0，k11ls1klkl 121s2sk srk1 rl1ls因为rts，依上节推论2，方程组有非零解，从而l1, l2, , ls可不全为零，所以1, 2, , s线性相关。Zhanglizhuo-2015推论2 设向量组

6、1, 2, , s可由向量组1, 2, , t线性表示，如果1, 2, , s线性无关，则st。推论3等价的线性无关向量组所含向量的数目相等。推论4向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的数目相等。Zhanglizhuo-2015二、向量组的秩定义3向量组的极大无关组所含向量的数目称为这个向量组的秩。向量组1, 2, ,s的秩记作r1, 2, ,s或者1, 2, ,s。r【注】如果向量组仅含零向量，则规定它的秩为零。Zhanglizhuo-2015命题1 向量组1, 2, , s线性无关的充分必要条件是r1, 2, , s=s。【证】向量组1, 2, , s线性无关1, 2, , s的极大线性

7、无关组是它自身r1, 2, , s=s。【注】向量组1, 2, ,s线性相关的充分必要条件是r1, 2, ,s0)，证明向量组中任意r个线性无关的向量都组。它的一个极大线性无关【证】设 i,i,i 是向量组的一个极大线性无关组，12r在向量组中任取r个线性无关的向量 j, j , j，在其12r余向量中任取一个向量k，由于 j1 , j2 , jr,k可由i ,i ,i12r线性表示，据定理2.10， j1 , j2 , jr,k必线性相关，因此 j, j , j是 , , 一个极大线性1s12r无关组。Zhanglizhuo-2015命题2如果向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则r(I

8、)r(II) 。【证】若向量组(I)仅含零向量，则r(I)=0r(II)，结论成立。若向量组(I)零向量，则(II)也必零向量，设1, 2, , r与1, 2, , s分别是向量组(I)与(II)的极大线性无关组，则1, , r可由(I)线性表示，又(I)可由(II)线性表示，并且(II)可由1, , s线性表示，所以1, , r可由1, , s线性表示，又1, , r无关，Zhanglizhuo-2015依推论2，则r(I)r(II)。Zhanglizhuo-2015定理3等价的向量组必有相同的秩。【证】依命题2立即。19Zhanglizhuo-2015【注】两个有相同秩的向量组不一定等价。

9、例如，4维向量组 1 0 0 0 0 1， 0, 0 0, 0 1 01234 0 0 0 1线性无关，则其中任两个向量都线性无关，且任一向量都不能由其余向量线性表示。Zhanglizhuo-2015 1 0 011 0, 2 0设向量组 (I) 0 0r1, 2=2, 0 0 0 0 1,向量组 (II) 034 0 1r , =2,34但向量组(I)与向量组(II)不能互为表示，因此不等价。Zhanglizhuo-2015例2两个向量组有相同的秩r(0)，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。【证】设向量组(I), (II),示。r(I)=r(II)=r,(II)可由(I)线性表因为(II)能由(I)线性表示, (I, II)能由(I)线性表示，又(I)能由向量组(I, II)线性表示，所以(I, II)(I)，r(I, II)=r(I)=r=r(II)，设1, , r为(II)的一个极大线性无关组，则1, , rZhanglizhuo-201