2020线性代数辅导讲义练习答案

1、2020 线性代数辅导讲义练习参考- 2019 年 4 月 18 日-金榜编辑部数学组目录第 2 页第 15 页第 17 页第 22 页第 28 页第 43 页第 47 页第 51 页第 54 页第 59 页第 71 页第 74 页第 78 页第 79 页第 85 页第 94 页第 98 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .今年考题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .今年考题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3346677889111213131415161617171819202021212122第 100 页第 103 页第 109 页第 120 页第 125 页第 145 页第 149 页第 158 页第 164 页第 16

9、9 页第 175 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .今年考题 . . . . .

12、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .限于能力和时间，难免有些错漏，恳请大家指正. 更欢迎大家不同的解法.第 2 页 今年考题第 15 页4 + 3 + 22 + 3 + 4: 行列式的计算方法很多. 计算时, 通过观察行列式的特点来简化计算. 比如本题按第一行展开就没有按第

14、一列展开计算方便. 按第一列展开后三角形行列式可以直接得出结果.- 3 -(2019,2)4: （方法一）1111 1 1A= 221 = 001 = 0 1 = 3,11 3 4 034 034 2 112 1 1A= (1)1+2 21 = 110 = 1 1 = 1,312 8 7 034 870 A11 A12 = 3 1 = 4.(方法二）A11 A12 = 1 A11 + (1) A12 + 0 A13 + 0 A14（行列式按第一行展开式）1100= 2111（第一行倍数分别加二、三行）3221 0034 1 100= 0 1 11（按第一列展开）0121 0034 1 11=

15、1（第一行加第二行）12 034 1 1 1= = 1 0 = 4.010 034 3 4 行列式的计算方法很多，比如一开始还可以用第一列加到第二列. 请自己多多练习.这里按第四列展开为例计算一下. 1000 1010 04011) = ( + + (1)4+3(1) 000113040312 2 + 1 ! 1101 = ( + 1)3 +3+1+ (1)4 32= 4 + 3 + 22 + 3 + 4.也可以利用行列式的性质10001000004004 110303第 3 行的 + 1倍加到第 4 行 = 112 2 + 1 + + 200 100004 10第 2 行的2 + + 2倍加

16、到第 4 行= 10 32 + + 2 + 300+ + + +0 1000 10行的3 + 2 + 2 + 3倍加到第 4 行= 第 = 4 + 3 + 22 + 3 + 4.第 4 行展开第 17 页- 4 -（1）(2018,3)2: 1 0 1 A 1, 2, 3 = 1 + 2, 2 + 3, 1 + 3 = 1, 2, 3 1 1 0 ,0 1 1（2）1: 矩阵不可逆, 矩阵行列式为零.|A| = 0,|A 2E| = 0,矩阵 A 的特征值为|3A + 2E| = 0（, 特征值|E A| = 0, 特征值的相关知识见第五章）2 = 0, 2, 3矩阵 A + E 的特征值为1

17、 = 1, 3, 3 , （3 阶矩阵 3 个特征值.）行列式 |A + E| 等于特征值乘积,1|A + E| = 1 3 3 = 1.- 5 -因为 1, 2, 3 线性无关，所以 1, 2, 3 可逆，为了方便，记 P = 1, 2, 3, 则 1 0 1 AP = P 1 1 0 ,()0 1 1 1 0 1 1 0 1 A = P 1 1 0 P1, 即 A 1 1 0 , 则有 （相似的矩阵，行列式值相等）0 1 10 1 11 0 11 01|A| = 1 1 0 = 0 1 1 = 1 1 = 1 (1) = 2. 0 1 1 0 11 11 也可以就关系式 () 两边取行列式

18、， 1 0 1 |A|P| = |P| 1 1 0 , 0 1 1 P 可逆，则 |P| = 0. 1 0 1 |A| = 1 1 0 = 2. 0 1 1 第 22 页T(1, 0, , 0): 线性方程组的系数行列式an11a11a2 1an1 2D =ATa a=0.(范 行列式)=ij.1an.1 j 0.111112 1213 1311121311又因 AA = |A| E, 即AAT = |A| E.T23两边取行列式, 有 |A|A | = |A| E| |A| = |A| |A| 等于 0 或 1.p3从而 3a11 = 1, 故 a11 =.23第 47 页- 7 -A: 因

19、为 B = E + AB, 所以1B AB = E, B (E A) = E, B = (E A) .又因为 C = A + CA, 所以1C CA = A, C (E A) = A, C = A (E A) .2. 伴随矩阵的秩的关系, n,r (A) = n,r (A) =1,r (A) = n 1, 0,r (A) n 1.根据题目条件，n r (A) = 2. r (A) = 4 2 = 2 4 1,r (A) = 0.选 A.第 51 页2114 22211:A2019 = P1TP P1TP P1TP= P1TT TP 20181TT= P P= P1TP101其中 T = 0,

20、1, 1 = 1.10 11又 T = 0, 1, 1 = 代入上式，10100010110100012114 22211 .上式=201=0第 54 页- 8 - 3 1 2 （I）a = 0, （II） 1 1 1 .2 1 1: （I）A3 = O A3 = 0 |A| = 0所以11B C = (E A) A (E A)1= (E A) (E A) = E.正确选 A.第 59 页 今年考题(2019,1)本题只要求数学一的同学掌握.解:(I) 由 在这组基下的坐标得， = b1 + c2 + 3.1 = b + c + 1,1 = 2b + 3c + a, 1 = b + 2c +

21、3.解得 a = 3, b = 2, c = 2.(II) 因为132133111 | , , | = 2 =0.23 所以 2, 3, 是 R3 的一个基.- 9 -而a10|A| = 1a1 = a3, 01a 故 a = 0.（II）22X (E A ) AX (E A ) = E,2(E A)X (E A ) = E.2E A, E A 必可逆.12 1X = (E A) (E A ) 11 0 1 00 1 1 2 1 1 2 0 1 = 111 01 0 = 1 1 1 0 10 01 11 0 21 101 00 3 1 2 = 1 1 1 .2 1 101002(2, 3, )

22、 = (1, 2, 3) , 即0 2111010001211100010(1, 2, 3) = (2, 3, ) ,= ( , , )223212111100010 就是所求的过渡矩阵.212r( , , ) =且r( , , ) =r(1, 2, 3 |2) = 2,r(1, 2, 3 |3) = 2r(1, 2, 3 |2) = 2,r(1, 2, 3 |3) = 2.123123- 10 -(2019,2 3) 解: 向量组 I 与向量组 II 等价，向量组中的向量可以相互表示，即方程组( (1, 2, 3)X = (1, 2, 3), (1)(1, 2, 3)Y = (1, 2, 3

23、)(2)有解.对矩阵 1, 2, 3 | 1, 2, 3 进行初等行变换 1 11101 111101 1 02123 0 110224 4a2 + 3 a + 3 1 aa2 + 300a2 1 a 1 1 aa2 1 1 02123 0 11022 .0 0a2 1 a 1 1 aa2 1当 a = 1 时, 1 02 123 1, 2, 3 | 1, 2, 3 0 1 1 02 2 .0 00 220r(1, 2, 3) = 2, r(1, 2, 3 |1) = 3.方程组 r(1, 2, 3)x = 1 无解，1 不能由 1, 2, 3 线性表示，向量组 I、II 不等价.当 a =

24、1 时, 1 02 123 1, 2, 3 | 1, 2, 3 0 1 1 0 2 2 .0 00 000 r(1, 2, 3 |1) = 2, r(1, 2, 3 |1) = 2,第 71 页证明: 设k11 + k22 + l11 + l22 + l33 = 0.(1)(1) 式A, 得k1A1 + k2A2 + l1A1 + l2A2 + l3A3 = 0.k111 + k212 + l121 + l222 + l323 = 0.(2)由 1, 2 不同，所以不全为 0, 不妨设 2 = 0.(1) 式乘 2, 得k121 + k222 + l121 + l222 + l323 = 0.

25、(3)(2) (3) 得k1(1 2)1 + k2(1 2)2 = 0.(2)1, 2 不同，所以 1 2 = 0, 即k11 + k22 = 0.- 11 -方程组 (1)(2) 均有解，向量均可相互线性表示，向量组 I、II 等价. 1 02 3 1, 2, 3 | 3 0 1 1 2 .0 00 0TT通解 (3, 2, 0) + k(2, 1, 1) , k为任意常数.3 = (3 + 2k)1 (k + 2)2 k3, k为任意常数.当 a = 1 时, r(1, 2, 3 |1) = 3, r(1, 2, 3 |1) = 3,r(1, 2, 3) =r(1, 2, 3 |2) =

26、3, 且r(1, 2, 3) =r(1, 2, 3 |2) = 3, r(1, 2, 3 |3) = 3, r(1, 2, 3 |3) = 3.方程组 (1)(2) 均有解，向量均可相互线性表示，向量组 I、II 等价. 1 023 1 0 0 1 1, 2, 3 |3 0 112 0 1 0 1 .0 0a2 1 a2 10 0 1 13 = 1 2 + 3.又因为 1, 2 线性无关，所以 k1 = 0, k2 = 0. 代入 (1) 式l11 + l22 + l33 = 0.同样，l1 = 0, l2 = 0, l3 = 0.所以，1, 2, 1, 2, 3 线性无关.第 74 页- 1

27、2 -: 设数 k1, k2, k3, 使得k11 + k22 + k33 = .记 A = 1, 2, 3, 则 能否由 1, 2, 3 线性表出就是看方程组 Ax = 是否有解.对矩阵 A, 做初等行变换, 1111 1111 1111 2a + 2 b 23 0ab1 0ab1 .03aa + 2b30 3aa + 2b300a b0当 a = 0 时, 1 111 1 111 A, 0 0 b1 0 0 b1 0 0 b00 001r(A) = r(A, ) , 故方程组无解, 不能由 1, 2, 3 线性表出.当 a = 0 且 a = b 时, 1111 1 0 0 1 1 aA,

28、 0ab1 0 1 0100a b0a0 0 10r(A) = r(A, ) = 3, 方程组有唯一解, 求得11k1 = 1 a , k2 = a , k3 = 0.即 = 1 1 + 1 .a1a 2当 a = 0 且 a = b 时, 1111 1 001 1 aA, 0aa1 0 1 110000a0 000第 78 页(1)A: 向量组 I 可由向量组 II 线性表出,r (I) r (II) s.若向量组 I 线性无关, 则r (I) = r.故 r s. 选（A）.通过反例排除（B）（C）（D）.（B）,I : (1, 0, 0) , (0, 2, 0) , (3, 4, 0)

29、线性相关,r = 3.II : (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) 可线性表出 I,s = 3.（C）,II : (1, 0, 0) , (0, 1, 0) 线性无关, s = 2.I : (1, 0, 0) , (0, 2, 0) , (3, 4, 0); r = 3.（D）,I : (1, 0, 0) , (0, 2, 0) , (3, 4, 0) ,r = 3.II : (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) , (0, 2, 0) , (3, 4, 0) 线性相关, 可表出 (I),s = 5.第 79 页- 13 -(2)B

30、: 矩阵可以改写成列向量、元素的形式, 故有 b1k b2k C = AB = 1, 2, , n . bnk = , k , ,r(A) = r(A, ) = 2, 方程组有无穷多解, 求得11k1 = 1 a , k2 = a + k, k3 = k, k为任意常数即 = 1 1 + 1 + k + k , k为任意常数.a1a23证明: 设 1, 2, , s 的秩为 r, 记其极大线性无关组为i1 , i2 , , ir .1, 2, , t 的秩为 q, 记其极大线性无关组为i1 , i2 , , iq .1, 2, , s 可以由 1, 2, , t 线性表出, 可以推出,i1 ,

31、 i2 , , ir 可以由 i 1, i2 , , iq 线性表出,定理 3.5 推论,r q,即r (1, 2, , s ) r (1, 2, , t ) .第 85 页- 14 -A: (B)(C)(D), 可以举反例排除.A = 1 0 , B = 1 0 , r(A) = 1, r(B) = 1,0 01 0r(ABA) = r 1 0 1 0 = 2 = r(A),0 0 1 0r(AB) = r 1 0 1 0 = 2 = maxr(A), r(B),0 0 1 0r(ATBT) = r 1 0 1 1 = 1 = r(AB).0 0 0 0对于选项（A）.矩阵的秩 = 矩阵列向

32、量组的秩 = 矩阵行向量组的秩.k = b1k1 + b2k2 + + bnkn,k = 1, 2, , n.C 的列向量可以由 A 的列向量线性表出.B 可逆,A = CB1 . 类似, A 的列向量可以由 C 的列向量线性表出.综上, C 的列向量与 A 的列向量等价.第 94 页 今年考题1: （2019,3）A | b 进行初等行变换,11001111a2 101a100010101a 1 0a2 1 方程组有无穷多解, r(A) = r(A | b) 3, 得 a = 1.(2019,1)A: 由图形三个平面没有公共交点. 三个方程的方程组无解. r(A) = r(A). 排除（B）

33、（D）.- 15 -T（2019,1）k(1, 2, 1) , k为任意常数.: 由 1, 2 线性无关, 得 r(A) 2. 由 3 = 1 + 22, r(A) 1.a11a21a12a22a13a23第 98 页第 100 页DT: Ax = 0 的基础解系为 (1, 0, 2, 0) , 即 n r (A) = 1,r (A) = n 1 = 3 4,知 |A| = 0.AA = |A| E = O, 知矩阵 A 的每一列都是方程组A x = 0的解, 即1, 2, 3, 4是方程组 A x = 0 的解. 由伴随矩阵的秩的关系, 得r (A) = 1,- 16 -B:A = O, r

34、 (A) 1. n,r (A) = n,伴随矩阵的秩的关系,r (A) =1,r (A) = n 1, 知 0,r (A) n 1.r (A) = n或n 1.非方程组有不同的解, 即有多个解,r (A) n.故 r (A) = n 1, 所以线性方程组的基础解系非零向量个数为 n r (A) = 1, 选（B）.故方程组 A x = 0 的基础解系含 3 个线性无关的解.10 = 2 = 0, , , 123413201, 3 线性相关. 排除（C）.正确选（D）.第 103 页第 109 页（I） 证明： 因为 3 = 1 + 22, 所以 1, 2, 3 线性相关. 故 |A| = 0,

35、 有特征值 = 0.设 A 的另外两个特征值为 1, 2, 且 1 = 2 = 0, 则0200001A 0 .0- 17 -: 由 AB = O 得r(A) + r(B) 3.又 A = O, B = O, 故 1 r(A) 2, 1 r(B) 2.当 k = 9 时,r(B) = 2. 此时, r(A) = 1.n r(A) = 3 1 = 2.因 AB = O 知 B 的列向量是 Ax = 0 的解.故 Ax = 0 的通解为k1(1, 2, 3)T + k2(3, 6, k)T, k1, k2为任意常数.当 k = 9 时,r(B) = 1. 此时,r(A) = 1 或 r(A) =

36、2.（1）当 r(A) = 1 时,Ax = 0 与 ax + b y + cz = 0 同解. 由 n r(A) = 2, (不妨设 a = 0) , 则 Ax = 0 通解为TTk1(b, a, 0) + k2(c, 0, a) , k1, k2为任意常数.（2）当 r(A) = 2 时，由 n r(A) = 1, 则 Ax = 0 通解为k1(1, 2, 3)T, k1为任意常数.所以,r(A) = 2.（II）由 3 = 1 + 22 有 1 + 22 3 = 0,1121A = (1, 2, 3) = 1 + 22 3 = 021T得 (1, 2, 1) 是 Ax = 0 的一个解.

37、 又111111A = (1, 2, 3) = 1 + 2 + 3 = 得 (1, 1, 1)T 是 Ax = 的一个解.由（I）r(A) = 2, 知方程组 Ax = 0 的基础解系只有 1 个解向量,Ax = 的通解为TTk(1, 2, 1) + (1, 1, 1) , k为任意常数.第 120 页- 18 -解: （I）初等列变换, 则 |A| = c|B|, c = 0,1 2a1a2 1 30 = c 011 , 2 7 a 111 1 2a1a2 0 1a = c 011 , 0 3 3a 0a + 1 3 0 = c(2 a),得 a = 2.（II）P 是方程组 AX = B

38、的解. 1 2212 2 1 22122 1 06344 1 3001 1 0 1 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2 7 2 1 1 10 000000 00000 3 6k14 6k24 6k3 得 X = 1 + 2k11 + 2k21 + 2k3 , k1, k2, k3为任意常数.k1k2k3第 125 页 今年考题（2019,1,2,3） 解: (I) A B ( (t r(A) = t r(B),2 + x 2 = 2 1 + y,4x 8 = 2 y.|A| = |B|.解得 x = 3, y = 2.(II) 2100 + 2 |E B| =00 + 10= ( +

39、2 + 1 2),)()( 求得矩阵 B 的特征值为 2, 1, 2. A, B 相似, 特征值相同，矩阵 A 的特征值为 2, 1, 2.TT当 = 2 时，解得 A 的一个特征向量为 (1, 2, 0) ;B 的一个特征向量为 (1, 0, 0) .TT当 = 1 时，解得 A 的一个特征向量为 (2, 1, 0) ;B 的一个特征向量为 (1, 3, 0) .1当 = 2 时，解得 A 的一个特征向量为 ( , 1, 2) ;B 的一个特征向量为 (0, 0, 1T) .T2故11112 21212 2122000002A12121=0000011100110010012000002B

40、= .0 331000011111212 2 21210010011001001AB,3321211=0000002 11 1111212 2 212110011001001 A= B.0 33212 1120000000- 19 -若 X 可逆, 则3 6k14 6k24 6k3344011|X | = 1 + 2k11 + 2k21 + 2k3 = 1 1 1 = 111 = k3 k2 =0.k1k2k3 k1k2k3 0k2 k1k3 k1 3 6k14 6k24 6k3 所以满足 AP = B 的可逆矩阵 P = 1 + 2k11 + 2k21 + 2k3 , k3 = k2.k1k

41、2k3 112121001001 所求的可逆矩阵 P =.3=211 0002【注】：可逆矩阵 P 不唯一.第 145 页第 149 页A: 重要的考点：T 与 T 谁是矩阵, 谁是数,特点.T 是秩为 1 的矩阵, 且是对称矩阵, 又 是列向量, 故 T = 1,T = (T) = 故 T 的特征值为 1, z0, | , 0(n 1个), 故 E T 的特征值为 0, z1, | , 1(n 1个).T因此, 矩阵 E 不可逆.- 20 -解: 矩阵 A 可逆，则 |A| = 0, A 可逆， = 0.A = ,两边同时A,AA = A,即 |A| = A, A = |A| . 2 11 1 |A| 1 3 + b|A| 1 1 21 b = b ,2 + 2b = b ,1 1a111 + b + a1对应分量相等， 3 + b= |A| (1)| 2 + 2b = A| b (2)1 + b + a = |A| (3)联立