7第二型线积分和面积分

1、第二型线积分和面积分场的概念对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分1一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧2曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面3n4默比BCBDM0ADAC(b)图( Mbius,A.F. 17901868, 德国 )典型单侧曲面:带5曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:在有向曲面上取一小块曲面 S,S在xoy面上的投影 (S ) xy 为( )xy当cos 0 时 ( )当cos 0 时.当cos 0 时(S)xyxy0其中( )表示投影区域的面积.xy6二、概念的引入实例:流向曲面

2、一侧的流量.流速场为常向量 v ,有向平面区域A,求(1)时间流过 A 的流体的质量(假定密度为 1).v流量K vcosAG0KKKK0nAAvA n vA7(2)设稳定的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度场由GGGGx ( y ,Q,y ) z,P)z ,i )(x,j(R,给出,是速度场中的一片有向曲面,函数,y, z),Q(,zx ,y)z都在上连续,求在时间内流向指定侧的流体的质量 .yox8把曲面分成n小块si (si 同时也代表1. 分割第i 小块曲面的面积),v在s 上任取一点iSinz( , ,)ii( , , ),iiiiii则该点流速为 vi.法向量为ni.yox9v

3、(v , ,)GiiiiGGk ,( ,P,) i ( Q,j ) R,(,iiiiiiiii该点处曲G面的G法向量G,kGcosi cosn jcos0iiii通过si 流向指定侧的流量的近似值为v).n v通过流向指定侧的流量niiS2. 求和ii 110n P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i i1R(i ,i , i ) cos i Si P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si ) xz i1 R(i ,i , i )(Si ) xyn 0 取极限得到流量的精确值.3.取极限11三、概念及性质定义设为光滑的有向曲面,

4、函数在上有界,把分成n块小曲面Si (Si 同时又表示第i 块小曲面的面积),Si 在xoy 面上的投影为(Si ) xy ,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0时,n , ,)(S )limR(存在,iiiixy 0i1则称此极限为函数R( x, y, z)在有向曲面上对坐标x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)12R记作x(y,z,)d,x即dyndlximdy Ri, x, (i, Si(Ry)z,i)x(y) 0i 1被积函数积分曲面类似可定义ndlyimdzPi, x, (i, Si(Py)z,i)y(z) 0i 1n (i, Si,i

5、)z(x)0i 113存在条件:x(,y当 , z),Q(向, 光x ,滑曲y) 在有z,面上连续时对坐标的曲面积分存在.组合形式:(dyd,zx (dzdx,)Qy,z,)(,R ,)x物理意义:(dyd,zx (dzdxz,)Qy,z,)(,R ,)14性质:Rdxdy1.2112RdxdyRdxdyxx(x()Pdydzx(Qdzdxx(Rdxdyx(2P.( y, z,y,z,)dydzQy,z,)y,z,)dzdxRy,z,)y,z,)dxdy15四、计算法设积分曲面是由方程z z( x, y)所给出的曲面上侧,在 xoy面上的投影区域为Dxy ,函数zz f ( x, y)oy(s

6、)xyz z( x, y)在D上具xyDxy有一阶连续偏导数,被积函数R( x, y, z)在上连续.x16n , ,R( x, y, z)dxdy lim)(S )R(iiiixy 0i1取上侧, cos 0,又 i z(i ,i )n ( ) xy ,(Si ) xy , ,)(S )limR(iiiixy 0i1n , , z( ,)( limR()iiiiixy 0i1 R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdy即Dxy17若取下侧, cos 0,(Si ) xy ( ) xy , R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdyD

7、xy如果由x x( y, z)给出,则有 P( x, y, z)dydz P x( y, z), y, zdydzDyz如果由y y(z, x)给出,则有 Q( x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), zdzdxDzx注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.18z计算 xyzdxdy例 1其中是球面2y y2 z 2 1外侧x 2x1在x 0, y 0的部分.把分成1和2两部分解1 :2 :z1 1 x y ;22z2 1 x2 y2 ,19 xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyDxy 2 xyDxy211 x2 y2 dxdy xy(Dxy1 x2 y2

8、dxdy1 x2 y2 )dxdy2 . 2 r 2 sin cos1 r 2 rdrd 15Dxy20五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面是由方程z z( x, y)给出,在xoy面上的投影区域为Dxy , 函数z z( x, y)在DxyR( x, y, z)在上连续.上具有一阶连续偏导数,nz zf ( x, y)对坐标的曲面积分为 R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdyDxyxdsyoDxy21曲面的法向量的方向余弦为 zxcos ,1 z2 z2xy zycos ,1 z2 z2xy 1cos .1z2xz2y22对面积的曲面积分为 R( x, y,

9、 z) cosdS R x, y, z( x, y)dxdyDxy所以 R( x, y, z)dxdy R( x, y, z) cosdS(注意取曲面的两侧均成立)两类曲面积分之间的联系 Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS23向量形式Gs G SdAdAn或AdSAdSnGGn,cos, A其,中 P,cRosQ为,法向cos有向曲面 上点( x,y ,z)量处的GGdydzdS, dzdx称为有 向dxd曲y面GG元, An 为向量A在n.上的投影24计算 (z 2 x)dydz zdxdy ,其中是例 2旋转抛物面z 1 ( x 2 y2 )

10、介于平面z 0及2z 2之间的部分的下侧. (z2 x)dydz (z2 x) cosds解 (z2 x) cos dxdy在曲面上,有cos25 1xcos cos,.1 x 2) y21 x 2 y2(zx2dydzzdxdy( x z2x)(z)dxdy12)x(y2y2dx4Dxyx 1x22(2y)dxdy2Dxycos2r122 rdr 8 ( 2r2 ).d20026六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”27思考题设 为球面 x 2 y 2 z 2 1，若以其球面的外侧为正侧，试问 y 1 x 2 z 2之左侧（即oy 轴与其法线成钝角的一侧）

11、是正侧吗？那么 y 是正侧吗？1 x 2z 2的左侧28思考题解答此时 y 1 x21 x2z2z2的左侧为负侧，y 的左侧为正侧.而29练习题一、填空题:1、 Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx=.2、第二类曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化成第一类曲面积分是，其中 , , 为有向曲面 上点( x , y , z)处的的方向角 .二、计算下列对坐标的曲面积分:1、 zdxdy xdydz ydzdx ,其中 是柱面x 2 y 2 1被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；30 xzdxdy0,yyzdzdx 中,其 是平面2、xydydzx0 z ,0 x ,y 1所z 围成的空间区侧；域的整个边界曲面的外e zdxdy中,其 为锥面zx22y和3、z2y2xz 1 2.