平面问题有限单元法3 有限单元法与程序设计 教学课件

1、平面问题有限单元法一、有限元分析的主要步骤(位移元)二、平面问题的常应变单元三、总体方程的集成四、位移条件的引入五、有限元分析中的误差及收敛性六、线性方程组的解法上次课主要内容一、有限元分析的主要步骤(位移元)1.连续介质离散化：形成有限元网格，并完成单元及结点编号5.引入位移强制边界条件：消除总刚度矩阵的奇异性6.解线性代数方程组：得到结点位移7.计算应力、应变：由结点位移计算单元的应力、应变8.其它要求：进行其他工程上的要求计算2.确定单元的近似位移模式：得到以结点位移为未知量的位移函数3.单元特性分析：建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成总体方程：形成总刚和总结点荷载列阵上次课主要内容 单

2、元分析4步骤：上次课主要内容二、平面问题的常应变单元上次课主要内容五、有限元分析中的误差及收敛性1、产生误差的原因2、提高精度的方法3、收敛准那么准则1：完备性要求。单元的位移模式包含刚体位移，且能反映单元的常应变状态。当用完全多项式表示单元中的场函数时，如能量泛函中该变量导数的最高阶数为p，则该多项式的阶至少为p，即为p次完全多项式。准则2：协调性要求。单元内部及相邻单元的边界上位移连续。如能量泛函中场函数导数的最高阶数为p，则要求场函数在相邻单元的交界面上有直至p-1阶的连续导数。一、有限元分析的主要步骤(位移元)二、平面问题的常应变单元三、总体方程的集成四、位移条件的引入五、有限元分析中

3、的误差及收敛性六、线性方程组的解法八、几种常用的平面单元七、计算结果的整理第三章 平面问题有限单元法七、计算结果的整理 位移：直接利用计算结果精度较高 应力：结点处应力绕结点平均法 两单元交线中点处应力两单元平均法123456aa21第三章 平面问题有限单元法1,2,3光滑连线交点0点，0点内力用三点抛物线插值得到。边界点应力-由内结点应力推算出来0123边界三点抛物线插值公式：0点应力：八、几种常用的平面单元2. 四结点矩形单元1. 六结点三角形单元3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法第三章 平面问题有限单元法八、几种常用的平面单元1. 六结点三角形单元对于6结点三角形单元，可取12个

4、广义坐标如何提高单元的精度？所以位移模式可取为：位移模式为完全二次式，这种单元又称为二次三角形单元提高位移函数的次数，其结果是增加广义坐标的数目，为求解广义坐标，需增加单元结点数第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元1)面积坐标：三角形内任一点P，可表示为：其中P第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元1)面积坐标：P令：即：第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元2面积坐标的性质a. 与j-m 边平行的线上的三角形内点有相同的值 Li b. 角点坐标为:Pc. 形心的坐标为：第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元2面积坐标的性质Pd. 每边的方程为：e.

5、三个坐标不是独立的，只有两个独立的坐标。第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元P3) 面积坐标与直角坐标的转换关系三角形面积：所以：常应变单元形函数第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元P3) 面积坐标与直角坐标的转换关系参考常应变单元位移函数可得：由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的多项式 直角坐标中的同阶多项式。第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元3) 面积坐标与直角坐标的转换关系利用：设Li、Lj为独立变量，那么Lm=1LLj，可把平面上任意三角形ijm变换为LiLj平面上的等腰直角三角形i1j1m1：第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三

6、角形单元4) 面积坐标的微积分计算a. 导数计算复合函数求导同理：第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元4) 面积坐标的微积分计算b. 积分计算 面积积分： 例：第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元4) 面积坐标的微积分计算b. 积分计算线积分三角形的某一条边i-j边上，边长为l注：此处不能有 ，在i-j边上，第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数确定形函数的两种方法：广义坐标法需求逆矩阵试凑法根据形函数的特点形函数的特点：1、在结点i处Ni=1，其他结点Ni=0；2、包含完全的一次多项式；3、由其定义的未知量在单元之间连续

7、；4、第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数试凑法的步骤：1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线；2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点为零”的条件自动满足。3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1”的性质确定待定参数。4、待求出所有结点的Ni后，需验证第三章 平面问题有限单元法1. 六结点三角形单元5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数如. 三结点三角形单元对于结点1，过其余点的直线方程是:L1=0设N1=aL1，由于在结点1，N1=1且L1=1，可得a=1，所以N1=L1同法可得：显然：第

8、三章 平面问题有限单元法6) 六结点三角形单元的形函数对于结点i,过其余结点的直线有两条:设:将i结点坐标及形函数取值带入上式得:所以:故:1. 六结点三角形单元第三章 平面问题有限单元法6) 六结点三角形单元的形函数同理可得j、m结点形函数:对于结点1，过其余结点的直线也有两条:设:所以:在结点1故:1. 六结点三角形单元第三章 平面问题有限单元法6) 六结点三角形单元的形函数同理可得2、3结点形函数:验算1. 六结点三角形单元第三章 平面问题有限单元法6) 六结点三角形单元的形函数形函数矩阵结点位移向量1. 六结点三角形单元第三章 平面问题有限单元法其中：7) 应变矩阵1. 六结点三角形单

9、元非常应变第三章 平面问题有限单元法其中：8) 应力矩阵1. 六结点三角形单元第三章 平面问题有限单元法9) 单元刚度矩阵：利用面积坐标的积分公式，可得到单元刚度矩阵的显式。1. 六结点三角形单元例：简支梁均布荷载问题。3m18m10 t/myx10 t/m3m9mxyCST单元网格(154DOF)y (米)1.501.000.500.00-0.50-1.00-1.50CST (Error)-249(23)-191(-11.5)-108(-18.8)-28(-28)52（-37.2）134（-45.5）210（-62）T6(Error)-272.7(-0.7)-180.5(-1.0)-89.2

10、(0.0)-0.6(-0.6)89.1（-0.1）179.6（0.1）271.2（-0.8）Exact-272.0-179.5-89.20.0089.2179.5272.0 在 x = 0 截面处的 x (t/m2)10 t/m3m9mxyT6 单元网格(182DOF)xyo2a2b2. 四结点矩形单元(x0 ,y0)o第三章 平面问题有限单元法为便于表达引入局部坐标系，八、几种常用的平面单元且有坐标变换式：可看出：,是坐标的无量纲数，在(-1，1)之间取值。该局部坐标系又称为正则坐标系或自然坐标系。2. 四结点矩形单元设位移模式取为：xyo2a2b1234(x0 ,y0)o第三章 平面问题有

11、限单元法代入结点坐标解出待定参数，可以得到用结点位移表示的单元位移模式：其中：也可用试凑法直接写出形函数，如对结点1：2. 四结点矩形单元第三章 平面问题有限单元法而：将1点自然坐标值及N1值带入，得：所以：其中：2. 四结点矩形单元第三章 平面问题有限单元法形函数矩阵：用矩阵表示：2. 四结点矩形单元第三章 平面问题有限单元法应变矩阵：其中：非常应变2. 四结点矩形单元第三章 平面问题有限单元法应力矩阵：其中：1. 四结点矩形单元第三章 平面问题有限单元法单元刚度矩阵：可得显式：yxLL例：方板纯弯曲问题CST0.31160.60450.41260.80880.46830.91210.489

12、90.9574R40.44610.93630.47970.97700.49310.98940.49780.9947Mesh(1/4Plate)( 11 )( 22 )( 44 )( 88 )ElementEuc/0Lxc/0Euc/0Lxc/0Euc/0Lxc/0Euc/0Lxc/0Exact Euc/0L=0.5000 xc/0=1.0000纯弯曲方板在C点的位移和应力ABDCyxLLABDC3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法八、几种常用的平面单元1) 问题的提出：构造曲线/曲面边界单元的必要性如何构造曲线/曲面边界单元：a) 在总体坐标系下直接进行曲边单元分析b) 将已知的自然坐标

13、下的正方形单元和三角形单元通过坐标变换，转换成曲边单元3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法2)等参单元的概念：如何描述单元几何形状？利用自然坐标下的单元构造曲边单元需解决的两个问题：如何描述单元内任一点的物理量？3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法2)等参单元的概念：如何描述单元几何形状？将单元母单元经坐标变换成曲边单元子单元，建立两个单元上点的一一对应关系。3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法2)等参单元的概念：由于母单元形函数具有在本点值为1，在其它结点值为0的性质，可利用它建立两种单元坐标的对应关系且为一一对应3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法2)等参单元的概念

14、：将母元中的坐标线映射到子元上，那么得到一个斜角坐标系或曲线坐标系 ，称其为局部坐标，原xy坐标系称为整体坐标。当母元确定后即结点数和形函数确定，坐标变换式只与子元结点坐标有关，而子元坐标与网格划分有关，故一个母元与一族子元相对应。试证明这种坐标变换形成的子元在相邻边界上能保证坐标连续。3. 等参数单元第三章 平面问题有限单元法2)等参单元的概念：在子元局部坐标系中考察子元，可利用母元形函数矩阵有：如何描述单元内任一点的物理量？(子元的位移模式在形式上子元与母元的位移模式一样，但两种的坐标系已不同，子元为斜角坐标，母元为直角坐标，故两者的位移分布是不同的。3. 等参数单元第三章 平面问题有限单

15、元法2)等参单元的概念：比较二者可看出：单元坐标变换和单元内位移场函数采用了相同的结点参数及相同的形函数进行变换，故称这类单元为等参单元。坐标变换：即：位移函数：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元2)等参单元的概念：等参元：单元的几何形状和位移场都采用相同的形函数亚参元：单元几何形状插值函数的阶数低于位移插值函数超参元：单元几何形状插值函数的阶数高于位移插值函数第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元3)等参单元中导数的坐标变换：由于单元的位移模式是以局部坐标表达的，而以位移求应变所用公式是以整体坐标系表达的，故需将对直角坐标系的求导运算变换成对局部坐标的求导运算。根据复合函数的求导

16、法则，有：代入得：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元3)等参单元中导数的坐标变换：由上式可得：称J为雅克比矩阵：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元4) 任意四变形单元的位移插值模式：在局部坐标系下而：其中：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元5) 任意四变形单元的应变矩阵：在局部坐标系下其中：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元6) 任意四变形单元的应力矩阵：其中：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元7) 任意四变形单元的单元刚度矩阵：由于局部坐标系两主轴不呈直角，所以：故有：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元8) 等参变换的条件：自然坐标和整体坐标之

17、间一对一变换的条件：则 表明自然坐标系中的面积微元对应直角坐标系中的一个点，这种变换显然不是一一对应的。由于：导致上述结果的原因：1、几个结点退化成一个结点；2、单元过分扭曲。第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：数值积分方法很多，根本过程都是在单元内选出某些点积分点，算出被积函数在这些点处的值，再分别乘以权系数，然后求其和作为近似积分值。由于被积函数较复杂，难以用精确积分得到显式结果，故要采用数值积分法。常用方法：Gauss积分法、Newton-Cotes积分法等第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：积分点的选取

18、：n个积分点对积分域n-1等分第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：近似被积函数：原被积函数近似被积函数利用积分点坐标及被积函数在积分点取值，构造一函数近似被积函数第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：Newton-Cotes积分法的近似被积函数为利用Lagrange插值法构造的n-1阶插值多项式：其中：显然：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：其中：称其为积分的权系数可看出：权系数与被积函数无关，只与积分点的个数

19、和位置有关。第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：可通过坐标变换，使权系数规那么化：知道积分点个数，便可预先得到这些积分常数。得：代入：其中：称其为n-1阶的N-C数值积分常数第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：例如n=2时：梯形公式例如n=3时：Simpson公式第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：a) 一维Newton-Cotes积分：n个积分点的N-C积分可达n-1阶的精度，如原被积函数是n-1次多项式，那么积分结果将是精确的。第三章 平面问题有

20、限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：b) 一维Gauss积分：积分点的选取：n个积分点不是等间距布置，具体的i由以下条件确定：其中：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：b) 一维Gauss积分：有：近似被积函数2n-1次多项式：其中：第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：b) 一维Gauss积分：Gauss积分式虽形式上与N-C积分式相同，但有本质区别：1、Gauss积分中的近似被积函数是2n-1次多项式，可达2n-1阶精度，N-C积分中的近似被积函数是n-1次多项式，只有n-1阶精度。2、Gauss积分中的积分点不是等间距布置。第三章 平面问题有

21、限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：b) 一维Gauss积分：令a=-1，b=1为便于计算积分点位置和权系数，可将积分限按下式规格化：那么计算得到的i和Hi对于原积分域(a,b)，积分点坐标和权系数分别为：和第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：c) 二维和三维Gauss积分：可利用一维Gauss积分法求解二维或三维积分：在计算内层积分时，保持外层积分变量为常量第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：d) 等参元计算中积分阶次的选择：积分点数的选择也就是数值积分阶次的选择 计算精度直接影响 计算工作量 计算费用第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元

22、9) 数值积分：d) 等参元计算中积分阶次的选择：精确积分：若插值函数的阶数为P，微分运算时导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是2(p-m)次多项式，为保证精度，应选择高斯积分的阶次n=p-m+1。如对于四结点双线性单元，它的插值函数阶数为2，被积函数是2次多项式，故n=2-1+1=2，即应采用2x2阶高斯积分。第三章 平面问题有限单元法3. 等参数单元9) 数值积分：d) 等参元计算中积分阶次的选择：减缩积分：高斯积分阶数低于精确积分所需阶数的积分1、精确积分常是由插值函数中非完全项的最高次方要求，而决定有限元精度的是完全多项式的方次。2、基于变分原理的位移有限元法的解答具有下限性质。作

23、业：1.什么是二维等带宽存储,什么是一维变带宽存储?二者有何优缺点?2.对于多组载荷情况为什么系数矩阵的消元或三角分解只要进行一次?如何实现多组载荷的求解?3.试述有限元素法的求解步骤？4.试述形函数的两种构造方法，并用试凑法构造右图在自然坐标下的八结点矩形单元的位移函数。5.什么是等/超/次参单元？作业：8.什么是刚度矩阵的精确积分和减缩积分?7.数值积分的实质是什么? 同为n个积分点, 为什么New-Cotes积分是n-1阶精度,而高斯积分具有2n-1阶精度?6.什么是等参变换的条件? 在实际分析中如何保证此条件的实现?第四章 空间问题有限单元法实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级的结构，必须按空间三维问题求解。空间问题的有限单元法中的位移仍然只有平动位移，所以仍属于C0连续问题，因此构造单元并不难。将平面问题有限元法“稍加变动并“加以推广便可用于空间问题。第四章 空间问题有限单元法由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要难题：1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要求较高。第四章 空间问题有限单元法解决问题：1、编程建模2、采用高精度单元由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题根本上都靠软件来解决。一、空间问题常用单元第四章 空间问题有限单元法二、常应变四面体单元一、空间问题常用单元第