周四下午2413弧弦圆心角剖析

1、周四下午2413弧弦圆心角剖析船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9m.在RtONH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥.圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?一、考虑圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.NO把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，NON把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆

2、O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由此可以看出，点N仍落在圆上。圆的旋转不变性： 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA二、概念如图中所示， AOB就是一个圆心角。 如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时，显然AOBAOB，射线OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点A与A重合，B与B重合OABOABABAB三、探究因此，弧AB与弧AB 重合，AB与AB重合ABAB =圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等.O

3、ABABOABOAB由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB可推出同样，还可以得到：在同圆或等圆中，假设两条弧相等，那么它们所对的圆心角_， 所对的弦_；在同圆或等圆中，假设两条弦相等，那么他们所对的圆心角_，所对的弧_这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等四、定理 如图，AB、CD是O的两条弦1假设AB=CD，那么_，_2假设 ，那么_，_3假设AOB=COD，那么_，_4假设AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？CA

4、BDEFOAB=CDAB=CD练习证明：AB=AC AB=AC, ABC 等腰三角形又ACB=60， ABC是等边三角形，AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例题例1 如图在O中，AB=AC ，ACB=60，求证:AOB=BOC=AOC.AB圆心角圆心角 顶点在圆心的角(如AOB).弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的间隔 (如线段OD).如图,在O中,分别作相等的圆心角和AOB和AOB, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和OA重合. 你能发现那些等量关系?说一说你的理由.OOABDOABDABABABABABABDDDDDDABD圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理

5、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.OABDABDOABDOABD由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出在同圆或等圆中,假设轮换下面五组条件:同样，还可以得到：在同圆或等圆中，假设两条弧相等，那么它们所对的圆心角_， 所对的弦_，所对的弦的弦心距_ 。 ；在同圆或等圆中，假设两条弦相等，那么他们所对的圆心角_，所对的弧_，所对的弦的弦心距_ 这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。 相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的

6、其余各组量也相等四、定理相等相等1.如图，AB、CD是O的两条弦1假设AB=CD，那么_，_2假设 = ，那么_，_3假设AOB=COD，那么_，_4假设AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？CABDEFOAB=CDAB=CD相 等 因为AB=CD ，所以AOB=COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以AOB COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，所以 OE = OF.六、练习CDABABCD=ABCD=2.如图，AB是O的直径， , COD=35，求AOE的度数AOBCDE解：BCCD=DEBCCD=DE1弧n1n弧把圆心角等分成360份,那

7、么每一份的圆心角是1.同时整个圆也被分成了360份.那么每一份这样的弧叫做1的弧.这样,1的圆心角对着1的弧, 1的弧对着1的圆心角. n 的圆心角对着n的弧, n 的弧对着n的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结1圆心角1弧CDn圆心角n弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。1的圆心角所对的弧叫做1的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，n的圆心角对着n的弧。弧的度数（2） 所对的圆心角和 所对的圆 心角相等在两个圆中，分别有 , 若 的度数和 相等，则有 （1） 和 相等判断1.在半径相等的O和O 中,AB和A B 所对的圆心 角都是60.

8、 (1)AB和A B各是多少度? (2)AB和A B 相等吗? (3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.完毕试一试例2：如图，在O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为4cm，求AB的长OABCOABCD如图，AC与BD为O的两条互 相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=DA 证明: AC与BD为O的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=B

9、C=CD=DA(圆心角定理)点此继续知识延伸 1如图，AB是O 的直径， COD=35，求AOE 的度数AOBCDE解：练习 2：如图，点P在O上,点O在EPF的平分线上， EPF的两边交O于点A和B。求证：PA=PB. EFABPO基础练习 3：如图，点O在EPF的平分线上，O和 EPF的两边分别交于点A，B和C，D。求证：ABCDEFOPACBD变式1 4：如图， O的弦AB，CD相交于点P，DPO= BPO 。求证：ABCDOCDABP变式25、：在O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。6、AB和CD为O的两条直径，弦EC/AB,弧EC的度数为40，求BOD的度数。OBADCE练习考虑如图，已知AB、CD为的两条弦，求证ABCD. 7如图，AD=BC、求证AB=CD. OABCD变式：如图，假设弧AD=弧BC，求证：AB=CDABCDMNO 8如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.求证：AMNCNM 9、如图，AB、CD是O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G， 试证明：AE=CFP. OABC