采样周期的选取

1、8-1采样周期的采用8-1-1采样定理采样定理也称香农(Shannon)定理,其结论如下:如果采样角频次s(或频次fs)大于或等于2m(或2fm),即s2m(8-1)式中m(或fm)是连续信号频谱的上限频次,见图8-1,则经采样获得的脉冲序列能无失真的再恢复到原连续信号.|(j)|-m0m图8-1连续信号频谱从物理意义上来理解采样定理那就是,如果选择这样一个采样频次,使得对连续信号所含的最高频次来说,能做到在其一个周期内采样两次以上,则在经采样获得的脉冲序列中将包含连续信号的全部信息.反之,如果采样次数太少,即采样周期太长,那就做不到无失真的再现原连续信号.8-1-2采样周期的采用采样周期T0

2、是数字控制系统设计的一个重点因素,必须恩赐充分注意.工程实践证明,采样周期T0根据表8-1给出的参照数据采用时,能够取得满意的控制效果.对于随动系统,采样周期的采用在很大程度上取决于系统的性能指标.在一般情况下,控制系统的闭环频次响应拥有低通滤波特性,当随动系统输入信号的频次高于其闭环幅频特性的谐振频次r时,信号经过系统将会很快衰减,而在随动系统中,一般可近似认为,开环频次响应幅频特性的剪切频次c与闭环频次响应幅频特性的谐振频次r相当凑近,即幅频特性的谐振频次.也就是说,经过随动系统的控制信号的最高频次分量,超过的分量经过系统时将被大幅度的衰crcc减掉.根据工程实践经验,随动系统的采样频次s

3、可选为10sc(8-2)考虑到T=2/,则按式(8-2)采用的采样周期0sT与系统剪切频次0的关系为c1T05c(8-3)从时域性能指标来看,采样周期T0经过单位阶跃响应的上涨时间tr及调整时间ts可按下列经验关系式采用,即T01tr(8-4)10T01ts40(8-5)8-2信号保持表8-1采样周期T0的参照数据信号保持是指将离散信号脉冲序列变换成(或恢复到)连续信号的变换过程.用于控制过程采样周期(s)流量1压力5液面5这种变换过程的元件称为保持器.从数学意义上来讲,保持器的任务是解决各采样时刻之间的插值问题.8-2-1零阶保持器零阶保持器是在数字控制系统中应用最宽泛的且拥有常值外推功能的

4、保持器,用符号H0来表示.也就是说,对于零阶保持器有下式建立,即nT0p式中p为常值,的变化范围是0T0.显然,在=0时,式(8-6)也建立,这时有nT00由式(8-6)及(8-7)求得nT0nT0,0T0(8-8)说明零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器.它把前一个采样时刻nT0的采样值(nT0)不增不减的保持到下一个采样时刻(n+1)T0到来以前的一瞬间.当下一个采样时刻(n+1)T0到来时,应以(n+1)T0为常值持续外推.也就是说,任何一个采样时刻的采样值只能作为常值保持到下一个相邻的采样时刻到来以前,其保持时间显然是一个为采样周期T0.零阶保持器的输出信号H(t)如图8-2所示零阶

5、保持器的时域特性gH(t)如图8-3(a)所示,它是高度为1,宽度为T0的方脉冲.高度等1,说明采样值经过保持器既不放大,也不衰减;宽度等于T0,说明零阶保持器对采样值只能不增不减地保持一个采样周期.由图求得零阶保持器的传达函数GH(s)为由式求得零阶保持器的频次响应为1eT0s从图GHs,它并不等于采样前8-2看到,经由零阶保持器变换获得的连续信号拥有阶梯形状sinT0sj0的连续信号(t).平均地看,由零阶保持器转T换获得的连续信号(图8-2中的点划线特性)在GHsT02e20时间上要迟后于采样前的连续信号.式表示,这个迟后时间等于采样周期的一半,即T/2.8-2-2一阶保持器T02(nT

6、0)与(n+1)T0按线性外推规律保持脉冲序一阶保持器是一种鉴于两个采样值列(t)的保持器.线性外推函数的斜率为,而外推函数值为*nT0n1T0T0nT0nT0n1T0nT0T0式中=t-nT0;nT0t(n+1)T0.鉴于线性外推规律获得的一阶保持器的输出信号(t)示于图8-4.根据输出信号HH(t)可求取一阶保持器的时域特性gH(t),并由时域特性gH(t)求得相应的频次响应为T022sin2jT0arctgT0GHjT01T0eT02从式(8-12)可见,一阶保持器的迟后相移较零阶保持器的迟后相移为大,其平均相移约等于零阶保持器平均相移的两倍.因此,数字控制系统普遍采用零阶保持器.(8-

7、6)(8-7)(8-8)(8-9)(8-10)8-3Z变换8-3-1Z变换1.设连续时间函数x(t)可进行拉氏变换,其象函数为X(s).考虑到t1,则上式可写成下列闭式,即1z1z1z2zn1z1z1z1z1(8-18)因为式中=Res,所以条件|z|1意味着0.这也就是单位阶跃函数能进行拉氏变换的条件.zeT0seT0部分分式法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)为复变量s的有理函数,并拥有如下形式:MsXsNs其中M(s)及N(s)分别为复变量s的多项式,并且有degM(s)degN(s),以及degN(s)=n.将X(s)展开成部分分式和的形式,即nAiX(s)i1ssi式中siN(

8、s)的零点,即X(s)的极点;AMssidiN为s常系数;NiNdsissi由拉氏变换知,与Ai/(s+si)项对应的原函数Aiesit,又根据式Zet1T1zT1e0zze0ZAiAizsizesiT0s便可求得因此,函数x(t)的Z变换由相函数X(s)求得为(8-20)例2.试求取拥有拉氏变换为/s(s+)的连续时间函数x(t)的Z变换.XznAizi1zesiT0解首先写出x(t)的拉氏变换X(s)的部分分式展开式,即Xs11ssss其次对上式逐项求取拉氏变换,获得最后根据上列时间函数逐项写出响应的Z变换,即得连续时间函数x(t)的变换,即XzzzeTz1eT0 x(t)1(t)2T0T

9、0z1zeT01ezez留数计算法已知连续时间函数x(t)的拉氏变换相函数X(s)及其全部极点si(i=1,2,n),则x(t)的Z变换可经过下列留数计算式求得,即nzXzresXsizesiT0i1n1dri1riXszssii1ri1!dsri1zesT0ssi式中ri重极点si的个数;n彼此不等的极点个数.常用时间函数的Z变换及其相应的拉氏变换列入表8-1.例3.试求取连续时间函数0,t0 x(t)t,t0Z变换.首先写出x(t)的拉氏变换,即X(s)1s2由上式求得X(s)的重极点si=0,其个数ri=2,以及n=1.其次根据式(8-22)求取的Z变换,即(8-23)8-3-2Z变换的

10、基本定理1d1z(1)线性定理02Xzs2sT设连续时间函数x(t),x(t)及x(t)的Z变换分别为X(z),X(z)及X(z),0并设为常数或与1221!dss1zes02时间t及复变量z,则有T0zzZ2xtXz1(8-24)Zx1tx2tX1zX2z(8-25)(8-24)及(8-25)所表达的便是Z变换的线性定理.迟后定理设连续时间函数x(t)当t0时为零,且拥有Z变换,则有ZxtkT0zkXz(8-26)式(8-26)所示为Z变换的迟后定理,它说明当原函数x(t)在时间上产生k个采样周期(kT0)的迟后时,其相应的Z变换拥有经过z-k表示的k步负偏移或k步迟后.终值定理设连续时间函

11、数x(t)的Z变换为X(z),并设X(z)不含z=1的二重以上极点,以及在z平面单位圆外无极点,则x(t)的终值经过其Z变换X(z)求之为limxtlimz1Xztz1(8-27)式(8-27)所表达的便是Z变换的终值定理.8-3-3Z反变换长除法将连续时间函数x(t)的Z变换X(z)展开成z-1的无穷级数,即Xzx0 xT0z1x2T0z2xnT0zn(8-28)设象函数X(z)为复变量z的有理函数,即式中XMzMzb1z2bzm;bzbz012NzmNza0a1z1a2z2akzk;km.经过分子多项式M(z)除以分母多项式N(z)的长除法,可获得拥有式(8-28)所示形式的无穷级数.级数

12、中z-n项系数x(nT0)(n=0,1,2,)将是采样脉冲序列x*(t)的脉冲强度.因此,根据x(nT0)(n=0,1,2,)便可写出原函数x*(t),即x*txnT0tnT0n0注意应用长除法求取式(8-28)所示无穷级数时,多项式M(z)及N(z)均需写成z-1的升幂形式.例4试求取的反变换x*(t).解由Xz10zz1z2应用长除法求得Xz10z130z270z3150z4Xz10z10z1z1z213z12z2比较式(8-28),由上获得X(0)=0X(T0)=10X(2T0)=30X(3T0)=70因此,脉冲序列x*(t)可写成xt10tT030t2T070t3T0150t4T0部分

13、分式法由已知的象函数X(z)求出极点z1,z2,zn,再将X(z)/z展开成部分分式和的形式,即XznAizi1zzi由X(z)/z求取X(z)的表达式X(z),即nAizXzi1zzi最后,逐项的经过查Z变换表求取Aiz/(z-zi)对应的Z反变换,并根据这些反变换写出与象函数X(z)对应的原函数x*(t),即xtZ1AiztnT0n0zzi(8-29)式中Z-1是对括号内的象函数求Z反变换的符号.例5试应用部分分式法求取的Z反变换.Xz10z,即z1z2解将原式展开成部分分式和的形式Xz1010zz1z2Xz10z110zzz2由上式求取,即经过查变换表,求得Z1z1z1Z最后,写出对应的

14、原函数为12nz2xt1012ntnT0n0其中xnT01012nn0,1,2,即由此求得X(0)=0X(T0)=10X(2T0)=30X(3T0)=70留数计算法应用留数及算法求取已知X(z)的Z反变换,首先求取x(nT0)(n=0,1,2,即),resXzzn1resXzn1xnT0z其中留数和可写为l1dri1riXzresXzzn1riri1zzizn1i11!dzzzi式中zi(i=1,2,为,l)X(z)彼此不相等的极点,这些极点的总数为l;ri为重极点zi的重复个数.其次由求得的x(nT0)可写出与已知象函数X(z)对应的原函数脉冲序列xtxnT0tnT0n06.试求取X(z)=

15、z/(z-)(z-1)2的Z反变换.应用留数及算法求取X(z)的Z反变换.首先根据已知的X(z),经过式(8-30)计算出x(nT0).为此,由X(z)求得其极点为z1=及z2=1,其中z1为单极点,即r1=1,z2为二重极点,即r2=2.由式(8-30)计算出最后,求得已知X(z)的Z反变换为zzn1xnT0zz12nzzn1xt1d2tn1nT02z2n0z1z1z1z8-4脉冲传达函数21!dz12z1n变换与输入脉冲序列的Z变换之比.如脉冲传达函数的定义是,输出脉冲的序列的Zn1n0,1,2,图8-5所示开环线性数字控制系统的连续部分的脉冲2传达函数G(z)为2111GzZctCzZt

16、z脉冲传达函数G(z)可经过连续部分的传达函数G(s)来求取.图8-6所示为线性数字控制系统开环方框图的三种形式.其中G0(s)为前向通道传达函数,H(s)为主反应通道传达函数;图(a)为单位反应系统方框图,图(b)及(c)为非单位反应系统方框图.下面分三种情况解析线性数字控制系统的开环脉冲传达函数.串通环节间无同步采样开关间隔时的脉冲传达函数8-7(a)所示串通环节间无同步采样开关间隔时,其脉冲传达函数G(z)=c(z)/(z)由描绘连续工作状态的传达函数G1(s)与G2(s)的乘积G1(s)G2(s)来求取,记为GzZG1sG2sG1G2z(8-33)设二串通环节的传达函数分别为G1(s)

17、=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.求取它们之间无同步采样开关间隔时的脉冲传达函数,按式(8-33)要求,首先计算G1sG2s111s0.1s1ss10然后由G(z)=ZG1(s)G2(s)求得脉冲传达函数z1e10T0GzG1G2z1ze10T0z对于图(8-6)(a)所示单位反应线性数字控制系统,其开环脉冲传达函数GzZG0sG0z其中G0(s)能够是若干(如m个)无同步采样开关间隔的串通环节的等效传达函数.在这种情况下,开环脉冲传达函数G(z)为GzZG1sG2sGmsG1G2Gmz(8-34)GzZG0sHsG0Hz对于图(8-6)(b)所示非单位线性数字控制系统,其开环脉冲传

18、达函数(2)串通环节间有同步采样开关间隔时的脉冲传达函数8-7(b)所示串通环节间有同步采样开关间隔时,其脉冲传达函数G(z)=c(z)/(z)等于各串通环节的脉冲传达函数G1(z)与G2(z)之积,即GzG1zG2z(8-35)其中G1(z)=ZG1(s)及G2(z)=ZG2(s)分别由相应的传达函数G1(s)及G2(s)求取.设图8-7(b)中的G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.按式(8-35)求取它们之间有同步采样开关间隔时的脉冲传达函数,首先需计算G1zZG1s10ze10T0zG2zZG1sz1z然后由式(8-35)求得脉冲传达函数为10z2GzG1zG2z10T

19、0z1ze对于图8-6(c)所示非单位反应线性数字控制系统,由式(8-35)求得其开环脉冲传达函数为GzZG0sZHsG0zHz其中若G0(s)为若干个环节无同步采样开关间隔时的串通传达函数,则相应的G0(z)需按式(8-34)求取.(3)环节与零阶保持器串通时的脉冲传达函数设零阶保持器的传达函数(1-e-T0s)/s以及另一串通环节的传达函数为G2(s),它是复变量s的有理分式.显然,在这种情况下,两个串通环节之间无同步采样开关间隔.为求取总的脉冲传达函数,首先需要计算Tss1T0sG1e0eG2s1,G2sGs2sG1sG2ssG1sG2s其中直接按式(8-33)来计算G1G2(z),但由

20、G1s1seT0s1eT0sG2s.由于不是复变量s的有理分式,故不能G1sG2s1eT0sG2sG2sG2seT0s看出,G代表两个时域特性的组合,其中-T0s是时域特性L-1G2(s)在拥有1(s)G2(s)G2(s)e时滞等于一个采样周期T0的迟后特性.因此,鉴于Z变换的迟后定理,求得环节G2(s)与零阶保持器串通时总的脉冲传达函数为G2sGzZG1sG2sZG2sG2seT0sG2sZG2sZG2sz11z1ZG2s(8-36)式中/s.设与零阶保持器串通的环节的传达函数为G2kss其中k与为常量.按式(8-36)求得环节G2(s)与零阶保持器串通的脉冲传达函数为8-4-2线性数字控制

21、系统的闭环脉冲传达函数11k8-8所示.首先求取在控制信号r(t)作用下线典型线性数字控制系统的方框图如图Gz1zZsss.从图8-8可写出下列关系式:性数字控制系统的闭环脉冲传达函数C(s)=G1(s)G2(s)(s)111*1z1Zks2Y(s)=H(s)C(s)2sskT01eT0z1e2z1zeT0T0eT0T0(8-37)(s)=R(s)-Y(s)由上列各式求得sRsG1sG2sHss(8-38)其中*(s)代表对偏差信号(s)进行采样所得脉冲序列的拉氏变换,也就是离散偏差的变换,即有sz(8-39)将式(8-39)代入式(8-38),并对式(8-38)等号两边各项取Z变换,可得zR

22、zG1G2HzzzRz11G1G2Hz由上式求得偏差信号对于控制信号的闭环脉冲传达函数为(8-40)考虑到CzCzG1G2zzG1G2zRz1G1G2Hz由式(8-40)求出被控信号对于控制信号的闭环脉冲传达函数为其次,求取在扰动信号f(t)独自作用下线性数字控制系统的闭环脉冲传达函数,从8-8可写出CzG2zFzG1G2zzCzzHzzCzG2Fz1G1G2zHz由上列二式最终求得被控制信号对于扰动信号的闭环脉冲传达函数为对于单位反应线性数字控制系统,由于,故式(8-40)(8-42)分别变成例7.试求取图8-9所示线性数字控制系统的闭环脉冲传达函数.图中1eT0s/s为零阶保持器的传达函数

23、;k/s(s+)为连续部分的传达函数,k与均为常数.z1Rz1G1G2zCzG1G2zRz1G1G2zCzG2zFz1G1G2zGzkT01eT0z1eT0T0eT02z1zeT0kGs1eT0ssss解经过Z变换,根据开环传达函数GzZGs1z1Z1ksss求取开环脉冲传达函数由式(8-37)求得给定系统的开环脉冲传达函数为由于给定系统是单位反应线性数字控制系统,故由上式所示开环脉冲传达函数根据式(8-43)及(8-44)可求得给定系统的闭环脉冲传达函数为z2z1zeT0Rz2z2kT01eT021eT0zk1eT0T0eT02eT08-5线性数字控制系统的时域解析CzkT01eT0z1eT

24、0T0eT0Rz2z2kT01eT021eT0zk1eT0T0eT02eT08-5-1线性数字控制系统的响应过程应用Z变换方法解析线性数字控制系统,需根据其闭环脉冲传达函数C(z)/R(z),经过给定输入信号的Z变换R(z),求取被控制信号的Z变换C(z),最后经Z反变换求取被控制信号的脉冲序列c*(t).c*(t)代表线性数字控制系统对给定输入信号的响应过程.鉴于超调量p,调整时间ts=T0(为大于零的整数,T0为采样周期)为稳态误差等项性能指标,根据线性数字控制系统的响应过程c*(t)便可解析系统的动向与稳态性.例8.试应用Z变换方法解析图所示线性数字控制系统.已知r(t)=1(t)以及参

25、数k=1,=1及采样周期T0=1s.解将已知参数k=1,=1以及采样周期T0=1sec代入在例获得的对于闭环脉冲传达函数(z)/R(z),C(z)/R(z)的表达式求得给定系统的闭环脉冲传达函数为z21.368z0.368Rzz2z0.632Cz0.368z0.264Rzz2z0.632求取给定系统r(t)=1(t)在作用下的单位阶跃响应.为此,将R(z)=z/(z-1)代入上列闭环脉冲传达函数C(z)/R(z),求得被控制信号的Z变换经过长除法,将C(z)展成无穷级数形式,即Cz0.368z20.264z2z21.632z0.632z3C(z)=0.368z-1+z-2+1.4z-3+1.4

26、z-4+1.147z-5+0.895z-6+0.802z-7+0.868z-8+0.993z-9+1.077z-10+1.081z-11+1.032z-12+0.981z-13+0.961z-14+0.973z-15+0.997z-16+1.015z-17+1.017z-18+1.0072z-19+0.996z-20+鉴于Z变换定义,由上式求得被控制信号c(t)在各采样时刻的函数值c(nT0)(n=0,1,2,为)C(0)=0C(7T0)=0.802C(14T0)0.961C(T0)=0.368C(8T0)=0.868C(15T0)=0.973C(2T0)=1C(9T0)=0.993C(16T

27、0)=0.997C(3T0)=1.4C(10T0)=1.077C(17T0)=1.015C(4T0)=1.4C(11T0)=1.081C(18T0)=1.017C(5T0)=1.147C(12T0)=1.032C(19T0)=1.0072C(6T0)=0.895C(13T0)=0.981C(20T0)=0.996根据上列c(nT0)(n=0,1,2,数)值绘制的给定线性数字控制系统的单位阶跃响应c*(t)如图8-10所示.从图求得给定系统的单位阶跃响应的超调量p=40%,调整时间ts12s(以误差小于5%计算).8-5-2线性数字控制系统的稳态误差线性数字控制系统稳态误差可经过误差系数和输入信

28、号及其各阶导数在采样时刻上的数值来求取.设线性数字控制系统响应理想单位脉冲(t)的响应误差为K*e(t),则该系统响应输入脉冲序列的响应误差为trnT0tnT0r*n*0*t2T0etr0KetrT0KetT0r2T0KernT0Ke*tnT0响应误差e*(t)在采样时刻的数值为enT0r0KenT0rT0Ken1T0r2T0Ken2T0rnT0Ke0考虑到t0时r(t)=0,上式可写成enT0KekT0rnkT0k0若系统的输入信号r(t)对于所有的t,前m阶导数均存在,则可将r(t-)展成泰勒级数,即23rtrtrtrtrtm2!3!1mrmtm!在式(8-47)中,令t=nT0及=kT0

29、,可得rnkT0rnT0kT0rnT01kT02rnT01kT02!1mmmnT0rm!将式(8-48)代入式(8-46),可得式中enT0KekT0rnT0kT0KekT0rnT00kT02KekT0rnT02!c0KekT0k01m1kT0mKekT0rmnT0c1m!kT0kT0Kec2k02KekT0kT0kT0KekT0rnT0KenT0rnT0k0cmmm1kT0KekT0k0(8-50)系数c0,c1,c2,cm,定义为线性数字控制系统的误差系数.从式(8-49)可见,在已知误差系数以及输入信号及其各阶导数情况下,便可求出在采样时刻nT0上系统响应输入信号r(t)的稳态误差e*s

30、s(t)的数值ess(nT0).如果对于n=0,1,2,各采样时刻的ess(0),ess(T0),ess(2T0),都按式(8-49)计算出来,则可写出线性数字控制系统响应输入信号r(t)的稳态误差e*ss(t)essessnT0tnT0n0下面介绍经过线性数字控制系统的闭环误差脉冲传达函数e(z)计算误差系数的方法.设ez01z12z2kzk(8-51)由于Z-1e(z)=K*e故对上式取反变换,获得(t),Ket0t1tT02t2T0ktkT0kKekT0k0,1,2,(8-52)式中将zeT0s代入式(8-51),可得ezT0ses01eT0s2e2T0skekT0sze取上式对s的各阶

31、导数,获得desT01eT0s22e2T0s33e3T0skkekT0sds在上列各式中,令s=0,可得d2es2T0s22T0s23e3T0sk2kekT0sds2T01e22e3dmes1mT0m1eT0s2m2e2T0s3m3e3T0skmkekT0sdsm同理求得e0012kKekT0k0deskT0KekT0dss0k0dmes1mkT0mKekT0dsms0k0(8-53)比较式(8-53)与式(8-50),求得cmdmesdsms0(8-54)式(8-53)便是计算线性数字控制系统误差系数的比较实用的关系式.例9.试应用误差系数法求取图8-9所示单位反应线性数字控制系统在参数k=

32、1,=1及采样周期T0=1s情况下响应输入信号r(t)=t2/2的稳态误差.解从例8求得图8-9所示单位反应线性数字控制系统在给定参数下的闭环误差脉冲传达函数为Ezz21.368z0.368ezz2z0.632Rz将zeT0s及T0=1代入上式,求得Eze2s1.368es0.368eze2ses0.632Rz根据*e(s)及其导数d*e(s)/ds,d2*e(s)/ds2,由式(8-54)分别求得误差系数c0,c1及c2为c0=0c1=1c2=1最后根据式(8-49)求得稳态误差e*ss(t)在各采样时刻上的数值从上式可见,给定系统响应r(t)=t2/2的稳态误差esstn0.5tnn0,1

33、,2,n0为离散时间nT0(T0=1s)的函数,它说明稳态误差是随时间的推移在增大,当t时,稳态误差值e*ss().8-6最少拍系统的脉冲传达函数在采样过程中,平时称一个采样周期为一拍.在典型控制信号作用下,在各采样时刻上无稳态响应误差,且能在有限个采样周期内结束响应过程进而完全追踪控制信号的离散系统或数字控制系统,称为最少拍或有限拍系统.典型控制信号,如地点阶跃,匀速与匀加快信号的Z变换分别为Z1t11z1ZtT0z121z1t2T02z11z1Z221z13esslim1z1ezRzz1Azlim1z1ez0z1Az1z1Rz1z1ez1z1zz1ezCzzRz其一般形式可写成(8-55)

34、其中A(z)为不含因子(1-z-1)的以z-1为变量的多项式.从最少拍系统相应控制信号,即(5-55)无稳态响应误差,即(8-56)角度要求闭环误差脉冲传达函数e(z)拥有(1-z-1)的因子.设(8-56)其中(z)是在z=1处既无极点也无零点的z-1有理分式.对于单位反应系统,有(8-57)因此由(8-58)求得线性离散系统输出c(t)的Z变换为Cz1ezRzCzRzAzz(8-59)将式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60)从式(8-58)或(8-59)看出,为知足线性离散系统响应典型控制信号的响应过程在最少ez1z1拍内结束进而达到完全追踪控制信号的要求,需使

35、系统的闭环脉冲传达函数e(z)及(z)所含z-1项数最少.在式(8-56)中,若取(z)=1,便能知足上述要求.这时,由式(8-56)及(8-57),可得(8-61)(8-62)这便是以无稳态响应误差且在最少拍内结束响应过程进而完全追踪控制输入为标志的最少拍系统的闭环脉冲传达函数,其中幂指数与系统响应控制输入的种类相关,比方相应地点阶跃,匀速与匀加快输入时,分别取1，2，3.下面解析最少拍系统相应地点阶跃,匀速与匀加快等典型输入时的情况.z11z1当r(t)=1(t),即Rz111z1z2zn1z其中A(z)=1及=1,取(z)=1时,求得最少拍系统的闭环脉冲传达函数为ez1z1zz1(8-63)(8-64)根据式(8-63)或(8-64),由式(8-58)(8-60)求得最少拍系统响应