初中数学代数最值问题常用解决方法

1、. 中学数学代数最值问题常用解决方法 最值问题,也就是最大值和最小值问题；它是中学数学竞赛中的常见问题； 这类问题显现的试题,内容丰富,学问点多,涉及面广,解法灵敏多样,而且具 有确定的难度； 一. 配方法 例 1. （ 2022 年全国中学数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛） 可取得的最小值为； 解：原式 由此可知,当 时,有最小值 ； 二. 设参数法 例 2. （中等数学奥林匹克训练题）已知实数 中意 ；就 的最大值为 ； 解：设 ,易知 由 ,得 从而, 由此可知, 是关于 t 的方程 的两个实根； 于是,有 解得 ；故 的最大值为 2； 例 3. （ 2022 年全国中学联赛武汉选拔赛

2、） 如 ,就 可取得的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 精选 第 1 页,共 6 页. 解：设 ,就 从而可知,当 时, 取得最小值 ；应选（ B）； 三. 选主元法 例 4. （ 2022 年全国中学数学竞赛）实数 中意 ； ；就 z 的最大值是； 解：由 得 ； 代入 消去 y 并整理成以 为主元的二次方程 ,由 x 为实数,就判别式 即 , 整理得 解得 ； 所以, z 的最大值是 ； 四. 夹逼法 例 5. （ 2022 年北京市初二数学竞赛复赛） 是非负实数,并且中意 的最大值；就 ；设 ,记 为 m 的最小值, y 为 m ； 解：由 得 精选 第 2 页,共 6 页

3、. 解得 由 是非负实数,得 从而,解得 ； 又 , 故 于是, 因此, 五. 构造方程法 例 6. （ 2022 年山东省中学数学竞赛）已知矩形 A 的边长为 a 和 b,假如总有另 一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k,试求 k 的最小值； 解：设矩形 B 的边长为 x 和 y,由题设可得 ； 从而 x 和 y 可以看作是关于 t 的一元二次方程 的两个实数 根,就 由于 , , 所以 解得 精选 第 3 页,共 6 页. 所以 k 的最小值是 四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例 7. （ 2022 年全国中学数学竞赛）已知 为整数,且 ； ；如

4、,就 的最大值为 解：由 得 ,代入 得 ； 而由 和 可知 的整数； ； 所以,当 时, 取得最大值,为 七. 借助几何图形法 例 8. （ 2022 年四川省中学数学联赛）函数 的最小 值是； 取最小值时,必定有 ； 解：明显,如 ,就 ；因而,当 如图 1,作线段 AB=4 , 点 O,令 OA=x ,就 ； 那么,问题转化为在 AB 上求一点 O,使 OC+OD 最小； 图 1 设点 C 关于 AB 的对称点为 E,就 DE 与 AB 的交点即为点 O,此时, ；作 EF/AB 与 DB 的延长线交于 F； 在 中, 精选 第 4 页,共 6 页. 易知 ； , 的最小值为 5； 所以, 因此,函数 八. 比较法 例 9. （ 2022 年全国中学数学竞赛）某项工程,假如有甲,乙两队承包 天完 成,需付 180000 元；由乙,丙两队承 包 天完成,需付 150000 元；由甲,丙 两队承包 天完成,需付 160000 元；现在工程由一个队单独承包,在保证一完成的前提下,哪个队承包费用最少？ 周 解：设甲,乙,丙单独承包各需 天完成,就 解得 又设甲,乙,丙单独工作一天,各需付 元,就 解得 精选 第 5 页,共 6 页. 于是,由甲