北京市各区2021-2022学年高三上学期期末考试数学解答题分类-空间向量与立体几何

1、2021-2022学年度第一学期北京市各区高三期末数学解答题分类之空间向量与立体几何（2022年海淀区期末第17题）如图，已知长方体中，.为中点，平面交棱于点.（）求证：；（）求二面角的余弦值，并求点到平面的距离.（2022年西城区期末第16题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，且.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值. （2022年西城区期末第16题）刍甍（ch mng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.九章算术中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于.（）求证：平面； （

2、）若，再从条件，条件，条件中选择一个作为已知，使得刍甍存在，并求平面和平面夹角的余弦值条件：，； 条件：平面平面；条件：平面平面.（2022年东城区期末第17题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点（）若直线平面，求证：为的中点；（）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. （2022年丰台区期末第17题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，.（）求证：平面；（）求平面与平面夹角的余弦值；（）求直线到平面的距离.（2022年房山区期末第17题）如图，梯形，所在的平面互相垂直，点为棱的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）判断直线与平面是否相交，如果相交，求

3、出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离 （2022年石景山区期末第17题）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为直角三角形，（）求证：；（）求证：；（）若，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为（2022年昌平区数学第17题）如图，四棱锥的底面是直角梯形，,平面，是的中点，与平面交于点， .() 求证: 是的中点;() 若为棱上一点,且直线与平面所成的角的正弦值为，求的值. 2021-2022学年度第一学期北京市各区高三期末数学解答题分类之空间向量与立体几何答案与解析1、解：（）证法1：因为长方体中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 证法2：因为长方体中，平面平面

4、，平面，所以平面， 因为平面，平面平面=，所以. （）因为，两两垂直，所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示： -5分则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，所以， 所以. 又因为二面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 设点到平面的距离为，则. 2、解：（）因为平面，平面，所以.因为，所以，.所以.所以，所以.又因为，所以平面.（）因为平面，平面，平面，所以，.又因为是矩形，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量为，则 即 令，则，.于是.因为平面，取平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦

5、值是.3、解：（）证明：正方形中，平面，平面，所以平面 .5分 （）条件符合题意过点作于点，过点作且交于点，连接 因为平面平面，且平面平面， 所以平面所以以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系因为平面,平面，平面平面，所以在四边形中，所以，.在正方形中，所以 因为，且，所以 所以，,所以， ，设平面的一个法向量为由得令，所以设平面的一个法向量为由得令，所以设平面与平面夹角为，则.所以平面和平面夹角的余弦值为 4、解：（）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO. APDCBMOAPDCBMO因为直线平面，又平面平面，APDCBMOxyzAPDCBMOxyz APDCBMOAPDCBM

6、O APDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面，APDCBMO所以因为正方形， 所以为的中点 所以为的中点（）因为底面为正方形，平面，所以AB，AD，AP两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 设，可得， ，则设，则设为平面的法向量，则 即令，则，可得又，所以为平面的法向量，解得，所以.5、证明：（）因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面. （）因为底面为正方形，平面，所以，两两互相垂直如图，建立空间直角坐标系因为，所以， ，.因为平面，所以为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则 即令，则.于是.设平面与平面的夹角为，所以 即平面与平面夹角的余弦值为 （）由（）知，平面的法向量为，.因为

7、，且平面，所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.因为，所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为. 6、 （）证明：因为，所以 又， 所以平面 （）证明：因为平面，所以又 所以两两互相垂直. 如图以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 由,可知，, ， 设为平面的一个法向量，则，即， 令则，所以， 设为平面的一个法向量，则，即， 令则，所以，则 易知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为. （）由， 得因为所以与平面不平行，所以直线与平面相交.在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点易知，所以. 7、解：（）因为四棱锥中， 所以， 因为， 所以 （）因为，所以， 又因为，所以， 因为， 所以 （）存在，当为线段中点时，理由如下：由（）可知，因为，所以，又，如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由得令，所以设（），则，所以，直线与平面所成角为，所以，解得，符合题意，所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为8、解：因为，平面，平面,所以平面