北京市门头沟区2021-2022学年高三上学期期末调研数学试题

1、高三数学试卷 第 PAGE 24 页 (共 NUMPAGES 24 页)门头沟区2021-2022学年度第一学期期末调研 高 三 数学 2022.1考生须知1本试卷共6页，共3道大题，21个小题。满分100分。考试时间90分钟。2在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答题卡相应位置处。3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。4考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。）（1）复数（A）（B）（C）（D）（2）集合，则 （A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数是（A）（B）（C）（D）（4） “角的终边关于轴对称”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）下列函数中，在为增函数的是（A）（B）（C）（D）（6）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是 （A） （B）（C） （D）（7）等差数列的公差，数列的前项和，则（A） （B）（C）（D）（8）点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（A）（B）（C）（

3、D）（9）在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行排序，排序高者中标。分值权重表如下：综合得分技术商务报价技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价标则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是分，若报价每高于基准价，则在基准分的基础上扣分，最低得分分；若报价每低于基准价，则在基准分的基础上加分，最高得分为分。若报价低于基准价以上(不含)每再低，在分在基础上扣分。在某次招标中，若基准价为（万元），甲、乙两

4、公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲分分分乙分分分甲公司的报价为（万元），乙公司的报价为（万元），则甲、乙两公司综合得分分别是（A） （B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）（11）双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .（12）已知为平面上的动点，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为 . （13）函数的图像向左平移 个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为 .（14）在梯形中， ，是的中点，则= .（15）已知函数为奇函数，且，当时，给出下列四个结论： 图像关于对称 图像关于直线对称在区间单调递减其中所有正

5、确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，满分85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。）（16）（本小题满分12分）在中，.（）求；（）若，从条件、条件、条件中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.条件：条件： 条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 （17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，分别为，的中点（）判断直线与的位置关系，并说明理由；（）求二面角的余弦值；（）求点到平面的距离（18）（本小题满分13分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组

6、织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数（）从这名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛.（）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？（）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望.（19）（本小题满分15分）已知函数 （）求在点处的切线方程；（）证明：在区间存在唯一极大值点；（）证明：当， （20）（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.（

7、）求的方程；（）设直线与分别相交于两点，直线与相交于点试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.（21）（本小题满分15分）若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质（）判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）（）已知集合（）具有性质（）求；（）证明：门头沟区2021-2022学年第一学期期末调研高三数学答案解析 （1）复数（A）（B）（C）（D）解：直接计算可得（A）（2）集合，则（A）（B）（C）（D）解：易得（C）（3）在的展开式中，的系数是（A）（B）（C）（D）解：由通项公式直接计算得（B）（4） “角的终边

8、关于轴对称”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解：由三角函数的定义可得（A）（5）下列函数中，在为增函数的是（A）（B）（C）（D）解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知（D）正确（A）（B）（C）（D）（6）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是 （A） （B）（C） （D）解：由线面垂直判定定理可得A,B,C都符合直线与平面垂直，但D中的与所成的角为，选择（D）（7）等差数列的公差，数列的前项和，则（

9、A） （B）（C）（D）解：设，则，当时，得，选择（C）（8）点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（A）（B）（C）（D）解：由定义得此最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离得(B)（9）在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）解：由指对函数性质可知，其实就是研究函数与函数是否有二个不同交点，当时，不合 题意；当时，有二个交点 得（C）（10）公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行排序，排序高者中标。分值权重表如下：综合得分技术商务报价技术标、商务标基本

10、都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价标则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是分，若报价每高于基准价，则在基准分的基础上扣分，最低得分分；若报价每低于基准价，则在基准分的基础上加分，最高得分为分。若报价低于基准价以上(不含)每再低，在分在基础上扣分。在某次招标中，若基准价为（万元），甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲分分分乙分分分甲公司的报价为（万元），乙公司的报价为（万元），则甲、乙两公司综合得分分别是（A） （B）（C）（D）解：由题意分析可得（A）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）（11）双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .解: （12

11、）已知为平面上的动点，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为 . 解：由数量积定义得：（13）函数的图像向左平移 个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为 .解：（写出符合条件的一个值即可）； （14）在梯形中，是的中点，则= .解：思考一：投影法=14思考二：几何运算：思考三：坐标法：以中点为原点，所在直线为轴，用坐标运算也可。（15）已知函数为奇函数，且，当时，给出下列四个结论： 图像关于对称 图像关于直线对称在区间单调递减其中所有正确结论的序号是 .解：函数为奇函数得：可得图像关于关于对称；由得，所以正确，正确；，所以不正确；正确.所以，正确题目的顺序号为三、解答题

12、（本大题共6小题，满分85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。）（16）（本小题满分12分）在中，.（）求；（）若，从条件、条件、条件中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.条件：条件： 条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 解：（）由正弦定理得2分所以2分（）选条件由正弦定理得：2分2分2 分2分注：若利用余弦定理，结论正确同样可得满分。选条件2分2分4分（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，分别为，的中点.（）判断直线与的位置关系，并说明理由；（）求二面角的余弦值；（）求点到平面的距离.解：

13、（）.连结，因为分别是，的中点，所以.1分又因为，所以，1分所以四边形为平行四边形，故1分注：回答与共面，也给满分。（）由已知两两垂直，建立如图所示坐标系.1分2分设平面法向量为，.2分平面的法向量为1分2分二面角的余弦值为.1分（），.1分设点到平面的距离为，则2分（18）（本小题满分13分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数（）从这名学生中随机抽取2名学生参加区里冬奥

14、知识比赛.（）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？（）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望.解:（）（）20名学生中随机抽取两名学生共有.2分设恰好2名学生都来自同一班级共有1分.1分注：如果没有设，有答不扣分，没有设，也没有答扣1分（）可取0，1，2，1分，.3分的分布列为：012.1分的期望.1分（）可取0，1，2，1分，所以2分注：只写出，不扣分.（19）（本小题满分15分）已知函数 （）求在点处的切线方程；（）证明：在区间存在唯一极大值点；（）证明：当， 解：（）.2分，得切线方程

15、为2分（）由（）得，时，.1分时，单调递减，2分由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，1分且当，所以，在区间存在唯一极大值点2分（）由（）可知，在区间上单调递增，在单调递减，.1分，所以，当时，.2分当时，.2分（20）（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.（）求的方程；（）设直线与分别相交于两点，直线与相交于点试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.解：（）由题意得：.3分（）若，与椭圆相交于.1分直线：，直线1分.1分由椭圆的对称性若可得交点为.1分当变化时，点恒在定直线上 1分若时，1分设交点为，由韦达定理得：（1）.1分直线：与定直线相交于，得.1分同理直与直线相