2026年四川省内江市九年级下学期第一次模拟考试数学试题附答案

九年级下学期第一次模拟考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．表示（）A．的倒数 B．的相反数C．7的倒数 D．7的相反数2．2025年11月6日6时27分月球过近地点，距离地球约357000公里，这是2025年所有满月中与地球最近的一次，将数据357000用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．4．如图，直线，直线EF分别交、于点E、F，过点F作交于点G，垂足为F，若，则的度数为（）A． B． C． D．5．“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．6．某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10，6，9，11，8，10，下列关于这组数据描述正确的是（）A．中位数是10 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是67．如图，在中，，，，则的值为（）A．2 B． C．3 D．8．如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C．2 D．9．已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A（4，1），B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为（1，0），则△ACD的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．510．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（）A． B．C． D．11．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；③若，则；④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．因式分解：．14．在函数中，自变量x的取值范围是．15．为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有．16．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）17．计算：．18．如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．（1）求证：；（2）若平分，求证：．19．某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题：（1）参与调查的学生共有______人，补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______；（3）若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数；（4）已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率．20．安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端点的俯角为，点的仰角为，点离地面的高度．求大树的高．（结果精确到米，参考数据：．）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当时，直接写出自变量的取值范围；（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．若，则．23．对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是．24．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为．25．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26．某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元．（1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？（2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．①请问A型器材最多购买多少套？②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．27．如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点（1）求证：平分；（2）若，请判断和的数量关系，并证明结论；（3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积.28．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标；（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得表示的倒数，

故答案为：A

【分析】根据倒数的定义结合题意即可得到表示的倒数。2．【答案】A【解析】【解答】解：，故选：A【分析】本题主要考查科学记数法的运用。科学记数法的标准形式为a，其中1|a|<10，n为整数。解决此类问题的关键是准确确定a和n：先移动小数点得到a，再根据移动的位数确定指数n的正负与大小。本题中，将357000化为科学记数法，需特别注意指数n等于原数整数部分的位数减1。3．【答案】D【解析】【解答】解：A.，原计算错误；B.，原计算错误；C.，原计算错误；D.，计算正确；故选：D．【分析】本题主要考查整式运算中的常见法则，包括完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及幂的乘方。解题时需逐项验证：完全平方公式结果应为三项；积的乘方要把每个因式分别乘方；同底数幂相除指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘。根据这些法则判断各选项的正误即可。4．【答案】A【解析】【解答】，，，，．故选：A．【分析】根据三角形外角的性质可知，结合平行线的性质与垂直的定义，分别求出两个角的度数，进而得到结果．5．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别。轴对称图形是指存在一条直线，图形沿该直线对折后两部分完全重合；中心对称图形是指将图形绕某一点旋转180°后能与自身重合。解题时，需要同时满足两个条件：既要找到对称轴，又要找到旋转180°后重合的中心。根据定义逐一判断各选项即可得出答案。6．【答案】B【解析】【解答】解：学生的成绩按照从小到大的顺序排列为6，8，9，10，10，11∴中位数为（9+10）÷2=9.5

∴众数为10

∴平均数为（6+8+9+10+10+11）÷6=9

方差为（32+12+0+12+12+22）÷6=

故答案为：B.

【分析】根据题意，由中位数、众数、平均数、方差的含义进行计算，分别判断得到答案即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：，，故选：B．【分析】本题以直角三角形为背景，考查了锐角三角函数的定义，重点是对正弦概念的理解与运用。正弦值等于直角三角形中锐角的对边与斜边之比。解题时，先识别∠A的对边BC和斜边AB，再代入已知边长计算比值并化简即可。8．【答案】C【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∴，

∴

，

故选：C．

【分析】本题以圆和扇形为背景，考查了不规则图形面积的求法，涉及圆心角与圆周角的关系、勾股定理、扇形面积公式及三角形面积公式。解题的关键是将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差运算：连接辅助线后，阴影面积等于扇形COB的面积加上AOC的面积再减去扇形CAD的面积。先根据已知条件求出各半径、圆心角和线段长，再代入公式计算即可。9．【答案】D【解析】【解答】解：∵点A（4，1）在反比例函数y＝上，

∴m＝xy＝4×1＝4，

∴y＝．

把B（a，2）代入y＝得

2＝，

∴a＝2，

∴B（2，2）．

∵把A（4，1），B（2，2）代入y＝kx+b

∴，解得，

∴一次函数的解析式为，

∵点C在直线上，

∴当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3）

过A作AE⊥x轴于E．

∴S△ACD＝S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA＝．

故选：D．

【分析】本题以反比例函数与一次函数相交为背景，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征以及坐标系中三角形面积的求法。解题的关键是先由点A坐标求出反比例函数中的m，再代入点B求出其横坐标a；接着利用A、B两点坐标确定一次函数解析式，并求出它与x轴的交点C的坐标；最后过点A作x轴的垂线，将△ACD的面积转化为梯形与两个直角三角形面积之差进行计算。10．【答案】B【解析】【解答】解：初始会做人数为1，

第一节课后，会做人数变为，

第二节课，新教会人数为，

∴会做的总人数为．

故选：B．

【分析】本题以实验技能传播为背景，考查了列一元二次方程解决实际问题，属于典型的传播问题模型。解题的关键是理清每一轮新增会做实验的人数：初始有1人会做；第一节课后，这1人教会了x名同学，此时共有1+x人会做；第二节课时，这1+x人每人再教会x名同学，因此新增人数为(1+x)x。将初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数相加，即得总人数方程。11．【答案】C【解析】【解答】解：二次函数中，，

则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确．

令，

则，

当时，则，

则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确．

点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，

故若，则，故③错误．

联立与，

则，

整理得：，

则，解得：，

令，对称轴为直线，

∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，

故当时，，

解得：．

解得：，故④正确，

综上：①②④正确，

故选：C

【分析】本题以二次函数为核心，综合考查了二次函数的图象与性质、判别式与交点个数的关系、函数值大小与点到对称轴距离的联系，以及函数图象交点问题。解题时需逐项分析：①根据二次项系数和对称轴公式直接判断开口方向和对称轴；②令函数值为0，通过判别式>0确定与x轴有两个交点的条件；③利用开口向上时“离对称轴越远函数值越大”的规律，由推导距离关系；④联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的存在性问题，并结合自变量范围确定参数的取值范围。掌握这些知识是正确判断结论的关键。12．【答案】C【解析】【解答】解：∵直线l为正比例函数的图象，

∴，

∴，

∴正方形的面积，

由题意得、是等腰直角三角形，

由勾股定理得，，

∴，

∴正方形的面积，

同理，，

∴正方形的面积，…，

由规律可知，正方形的面积，

故选：C．

【分析】本题以正比例函数y=x与正方形序列的构建为背景，综合考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、正方形的面积计算以及从特殊到一般的规律探究能力。解题的关键是发现每个正方形的边长与前一图形之间的关系：由直线y=x可知，从而\、等均为等腰直角三角形。依次计算出第一个、第二个、第三个正方形的面积，观察它们构成以为底数的指数形式，指数与序号n的关系为n-1，进而归纳出第n个正方形面积的表达式。掌握这种通过前几项找规律的方法即可正确求解。13．【答案】【解析】【解答】解：，故答案为：．【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了完全平方公式的灵活运用及整体思想。解题的关键是将(m+n)视为一个整体，观察多项式符合的结构，其中a=m+n，b=3。识别出这种形式后，直接套用完全平方公式即可分解为。整体代入思想是解决此类“复合式”因式分解问题的核心。14．【答案】x≥2且x≠3【解析】【解答】根据题意得：，即，解得：x≥2且x≠3．故答案为x≥2且x≠3．【分析】要确定该式中自变量)的取值范围，需要结合二次根式的性质和分式的意义分析：二次根式中被开方数需要满足大于等于0，因此可得x-20；分式的分母不能为0，因此可得x-20，结合两个条件即可求出自变量x的取值范围.15．【答案】（1）（4）【解析】【解答】解：本题中的个体是每个考生的数学会考成绩，样本是200名考生的数学会考成绩，故（2）和（3）错误，不符合题意；总体是我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，样本容量是200．故（1）和（4）正确，符合题意．

故答案为（1）（4）．

【分析】本题以考生数学成绩统计为背景，考查了总体、个体、样本、样本容量这四个统计基本概念的区别与判断。解题的关键是明确考查对象是“成绩”而不是“考生本人”：总体是6000名考生的数学成绩，个体是每名考生的数学成绩，样本是抽取的200名考生的数学成绩，而样本容量是200（只指数目，不带单位）。理解每个概念的具体含义，并注意区分“考生”与“成绩”的不同表述，是正确解答此类题目的核心。16．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：∵，

∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，

连接OC交圆O于点，

∴当点E位于点位置时，线段CE取最小值，

在矩形中，∠ABC=90°，

∵，

∴OA=OB==1，

∵，

∴，

∴

故答案为：

【分析】本题以矩形中的动点及垂直关系为背景，考查了圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）及利用圆外一点到圆上点的距离最值（点与圆的位置关系）求线段最小值。由AE⊥BE得点E在以AB为直径的圆上运动。连接圆心O与点C，线段OC与圆的交点即为使CE最小的点E'，利用勾股定理求OC，再减去半径即得CE的最小值。17．【答案】解：．【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、乘方、二次根式的化简以及特殊角的三角函数值。解题的关键是分别准确计算出每一部分的值：|-4|=4，=4，，tan，再按照实数的运算顺序（先乘方和化简，再加减）进行合并计算，注意同类二次根式的合并。18．【答案】（1）证明：如图，∵，∴，即．在和中，∵，∴≌（）；（2）证明：∵≌，∴，．∵，平分，∴．∵，∴．在和中，∵，∴≌（）．∴．∴．【解析】【分析】（1）因为∠BAC和∠FAG相等，等式两边同时减去公共角∠DAC后，可得∠1=∠2，结合已知的AB=AC、AF=AG，即可证明△ABF≌△ACG；（2）根据（1）中三角形全等的结论，可以得到对应边相等，即AF=AG，BF=CG。又已知AB=AC，且AD平分∠BAC，所以可以推出∠2=∠3，再结合AE是公共边，即可证明△AEF≌△AEG，由此可以推出BE=CG，同时能得到AE⊥FG的结论.（1）如图，∵，∴，即．在和中，∵，∴≌（）；（2）∵≌，∴，．∵，平分，∴．∵，∴．在和中，∵，∴≌（）．∴．∴．19．【答案】（1）60，

C：数理的人数为：人，

补全条形统计图如图；

（2）（3）解：（人），答：估计九年级选择科技书的人数为120人；（4）解：列表如下：

男1男2男3男4女1女2男1

男2男1男3男1男4男1女1男1女2男1男2男1男2

男3男2男4男2女1男2女2男2男3男1男3男2男3

男4男3女1男3女2男3男4男1男4男2男4男3男4

女1男4女2男4女1男1女1男2女1男3女1男4女1

女2女1女2男1女2男2女2男3女2男4女2女1女2

由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．

∴P（一男一女）．【解析】【解答】（1）解：人，

∴参与调查的学生共有60人，

（2）解：，

∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是

【分析】本题以校园阅读活动为背景，综合考查了扇形统计图与条形统计图的关联分析、用样本估计总体、以及列表法（或树状图法）求概率。

（1）根据A类的人数和百分比求出总人数，再由C类的百分比求出C类人数，从而补全条形图；

（2）用D类人数占总人数的比例乘以360得到扇形圆心角；

（3）用样本中B类的比例乘以九年级总人数进行估计；

（4）用列表法列举所有等可能结果，再数出一男一女的组合数，最后用概率公式计算。掌握从统计图表中提取数据、进行比例运算以及列举求概率的方法是解决本题的核心。（1）解：人，∴参与调查的学生共有60人，∴C：数理的人数为：人，补全条形统计图如图；（2）解，∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是（3）解：（人），答：估计九年级选择科技书的人数为120人；（4）解：列表如下：

男1男2男3男4女1女2男1

男2男1男3男1男4男1女1男1女2男1男2男1男2

男3男2男4男2女1男2女2男2男3男1男3男2男3

男4男3女1男3女2男3男4男1男4男2男4男3男4

女1男4女2男4女1男1女1男2女1男3女1男4女1

女2女1女2男1女2男2女2男3女2男4女2女1女2

由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．∴P（一男一女）．20．【答案】解：过点作于，

如图2所示：

在中，，

由，

解得，

在中，，

解得，

∴，

答：大树CD的高为米．【解析】【分析】本题以智能手机测高为背景，考查了解直角三角形的实际应用，涉及仰角、俯角的概念以及正切函数的运用。解题的关键是过点A作AECD于点E，将大树高度CD拆分为CE与DE两部分，其中CE=AB。先在Rt△CEA中，利用俯角的正切值求出水平距离AE；再在Rt△ADE中，利用仰角的正切值求出DE；最后将两部分相加即可得到大树高度。理解将实际问题转化为直角三角形模型，并正确选用三角函数是解决此类问题的核心。21．【答案】（1）解：将代入，解得：，∴反比例函数表达式为，将代入，解得：，∴，将，代入，得，解得：，∴一次函数的表达式为：；（2）（3）解：∵，令，解得：，∴，设，则，∵的面积为9，∴，解得：或，∴或．【解析】【解答】

（2）∵，根据函数图象可得：当时，；【分析】

（1）利用待定系数法，首先将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k2，进而确定反比例函数解析式；再将点A的坐标代入求出m，最后利用点A、B的坐标建立方程组求出一次函数解析式。

（2）利用数形结合的思想，不等式>kx+b>0的几何意义是反比例函数图象在一次函数图象上方，且一次函数图象在x轴上方，通过观察图象中两函数图象的交点及与坐标轴的交点位置，确定x的取值范围。

（3）利用三角形面积公式，先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，设点P的坐标，以PC为底，点A的纵坐标绝对值为高，根据面积列方程求解.22．【答案】4【解析】【解答】解：∵，

∴，即，

∴原式．

故答案为：4

【分析】本题以分式的恒等变形为背景，考查了代数式的整体代入求值技巧。解题的关键是先由已知条件=3通分得到=3，进而得出x-y=-3xy。然后将所求分式的分子和分母分别用x-y表示，即分子为2(x-y)-14xy，分母为(x-y)-2xy。最后将x-y=-3xy整体代入，通过约分消去xy（注意xy0）即可求出值。掌握这种“整体代换”的策略是解决此类问题的核心。23．【答案】3567【解析】【解答】解∶根据题意，四位自然数是“博文数”，

，，

解得，，

因此这个数是，符合“博文数”的定义．

故答案为：3567

【分析】本题以新定义“博文数”为背景，考查了阅读理解能力及一元一次方程的应用。解题的关键是根据定义中的两个条件将文字描述转化为数学等式：十位数字（6）等于千位数字（x）的2倍，即6=2x；个位数字（y）比百位数字（5）多2，即y-5=2。分别解出x和y后，代入原数得到3567，再验证各位数字不同且均不为0，符合定义要求。理解新定义并准确列出方程是正确解答的核心。24．【答案】4【解析】【解答】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴四边形是矩形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴当与重合且与重合时，取得最小值4，故答案为：4．

【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，由矩形性质及垂直定义得，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形对边相等，四个角都是直角得，，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BHPF是矩形，根据矩形对边相等得CD=AB=DE，可判断出△DEC是等腰直角三角形，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PG，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案．25．【答案】16【解析】【解答】解：，

解①得：，

解②得：，

关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，

不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1，

∴，

解得：，

解方程，得，

关于的分式方程的解为的解为非负数，

且，

解得且，

且，

则所有满足条件的整数m的值之和是，

故答案为：．

【分析】本题以不等式组和分式方程的综合应用为背景，考查了由整数解个数确定参数范围、分式方程的求解及解的限定条件（非负数且分母不为零）。解题的关键是分两步进行：先解不等式组，根据“有且仅有3个整数解”确定解集为<4，整数解为1、2、3，从而得到0<，解得0<m6；再解分式方程，化为整式方程得y=m-2，要求解为非负数且y2，即m2且m4。综合两部分得到26且m4，最后求出所有符合条件的整数m（2、3、5、6）之和。注意分式方程验根是易错点。26．【答案】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得：，解得答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元；（2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，由题意可得：解得，答：A型器材最多购买套；②设购买A型器材套，则购买B型器材为套，由①可得：根据题意可得：，解得∴又∵为正整数，∴的取值为，即有三种购买方案，具体为：A型器材为套，B型器材套，A型器材为套，B型器材套，A型器材为套，B型器材套．【解析】【分析】（1）先设购买1套A型器材需要x元，购买1套B型器材需要y元，再结合题目给出的条件列出二元一次方程组，最终解这个方程组就能得到对应结果；（2）①设购买A型器材的数量为a套，结合题目给出的总费用限制列出一元一次不等式，解不等式就能得到对应结果；②同样根据题目的条件列出相关不等式，求解不等式就能得到最终结果.（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得：，解得答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元；（2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，由题意可得：解得，答：A型器材最多购买套；②设购买A型器材套，则购买B型器材为套，由①可得：根据题意可得：，解得∴又∵为正整数，∴的取值为，即有三种购买方案，具体为：A型器材为套，B型器材套，A型器材为套，B型器材套，A型器材为套，B型器材套．27．【答案】（1）证明：如图，连接，直线是的切线，，，又，，，，又，，，平分．（2）解：，理由如下：直线是的切线，，，，，是等边三角形，，由（1）得，，又，，，．（3）解：由（2）得，，半径为，，，图中阴影部分面积

．​​​​​​【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.

（2）根据切线性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠FOD，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据直线平行性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠EDM，再根据含30°角的直角三角形性质即可就出答案.

（3）根据含30°角的直角三角形性质可得DF，再根据勾股定理可得DF，再根据割补法，结合三角形，扇形面积即可求出答案.（1）证明：如图，连接，直线是的切线，，，又，，，，又，，，平分．（2）解：，理由如下：直线是的切线，，，，，是等边三角形，，由（1）得，，又，，，．（3）解：由（2）得，，半径为，，，图中阴影部分面积．28．【答案】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，

∴A(−4，0)，B(0，4)．

∵抛物线经过A、B两点，

∴．

解得．

∴抛物线的解析式为．（2）解：如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA．

∵OA=OB=4，

∴∠OAB=45°．

∴∠HDE=45°，且DE=．

∴HE=HD=2．

设点P的坐标为(，--3+4)，

则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．

∴|PD|=-−3+4-(+4)=--4，|EF|=--7-6-(+6)=--8-12．

∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)

=×2(--4--8-12)

=-2-12-12

=-2(+3)2+6．

∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6．

此时点P的坐标为(−3，4)．（3）存在，点M的坐标为：，，【解析】【解答】解：满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下：∵OG=2，

∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)．

设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得．

∴直线AG的方程为．

∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0）

令=0可得−+-2=0，解得=-4，

∴点M的坐标为(-4，0)．

联立直线与直线AB方程可得，解得．

∴点N的坐标为(，)．

∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)．

∴MF2=(-4+2)2=-4+4，

MN2=(-4-)2+(0−)2=()2+()2=，

NF2=(+2)2+()2=．

当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论：

①当MN=MF时，即=-4+4，

解得=或=．

此时点M的坐标为或．

②当MN=NF时，即=，

解得=-6(舍去)或=2．

此时点M的坐