一阶动态电路分析

1、一阶动态电路分析第1页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 学 习 目 标 进一步理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于电路分析。 深刻理解零输入响应、零状态响应、全响应的含义，并掌握它们的分析计算方法 。 弄懂动态电路方程的建立及解法。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。第2页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六一阶电路及其特征若电路中仅包含（或者能等效为仅含）一个动态元件，则电路必为一阶电路。若电路中仅含有一种动态元件（电容或者电感），但数量在两个以上，则要根据连接关系确定动态电路是否是一阶电路。只含一种动态元件，且连接方式为简

2、单的串联或者并联关系，则对应的电路输入方程输出方程必为一阶线性微分方程。第3页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.图5- 1-1 RC电路的零输入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)5.1 零 输 入 响 应 图5-1-1 (a) 所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。 5.1.1 RC电路的零输入响应第4页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六-uR+uc=0而uR=i R, ，代入上式可得

3、 上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept t0式式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程为RCP+1=0式换路后由图（b）可知，根据KVL有第5页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六从而解出特征根为 则通解 式将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为 将 代入式，得到满足初始值的微分方程的通解为 式放电电流为 t0 t0 式第6页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六令=RC，它具有时间的量纲，即 故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 t0 t0由于为负，故uc和 i

4、 均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及 当t时，uc和 i 衰减到零。 第7页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图 画出uc及i的波形如下图所示。 第8页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 由此可见，时间常数是表示放电快慢的物理量。时间常数越大，放电速度越慢；反之，则放电越快。 定性地看，时间常数与电阻R和电容C的取值呈正比。当R增大时，放电电流减小，电容放电时间增长；当C增大时，电容电压相同的情况下存储的电荷量增大，放电时间增长。第9页，共49页，2022年，5月20日，23点

5、39分，星期六5.1.2 RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图5-1-2 (b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。图5-1-2 RL电路的零输入响应第10页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0 将代入上式得 1式iL=Ae pt t0上式为一阶

6、常系数齐次微分方程，其通解形式为 2式将2式代入1式，得特征方程为 LP+R=0 故特征根为 第11页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六则通解为 若令 ，是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为 t0t03式将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分常数A为 iL (0+)=A=I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 t04式第12页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 电阻及电感的电压分别是t0t0 分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图5-3(a)、(b)所示。 第13页，共49页，2022年，5月20日

7、，23点39分，星期六图5-3 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形第14页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六由图5-3可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶RC零输入电路情况相同。 第15页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入

8、响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为 t0 应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者=RC，后者=L/R。第16页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六一阶电路零输入响应的简化分析方法简单RC和RL电路零输入相应归纳：RC电路：=RC，t 0+= LG ，t 0+RL电路：零输入相应=初始值第17页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六求解零输入响应的一般步骤：1.根据电路模型、元件属性和原始状态确定

9、待求电路变量的初始值。2.根据换路后的电路模型确定电路的时间常数。3.写出零输入响应。（零输入相应=初始值 ）第18页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六例 1：如图5-1 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t0时的电压uc、uR和电流ic。解 由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。图 5-1 例 1 图所以由换路定律，得 作出t=0+等效电路如图(b)所示，第19页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六电容用4V电压源代替，由图(b)可知 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为：

10、 时间常数为第20页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六AVt0t0也可以由 求出 i C = -0.8e -t A t0 Vt0计算零输入响应，得第21页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 5.2 零 状 态 响 应 在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。5.2.1 RC电路的零状态响应 图5-2-1所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。 图5-2-1 (a) R C电路的零状态响应在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t

11、=0+ 时电容相当于短路，uR(0+)=US，故电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，第22页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六uR则逐渐降低，iR（等于ic） 逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。由kVL uR+uc=US而uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc为变量的微分方程 t0 初始条件为 uC(0+)=0 1式 1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即 uc=uch

12、+ ucp 第23页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故 由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同, 因此其通解应为式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）为ucp =k=US第24页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六由于稳态值 uc ()=US，故上式可写成 t0 2式由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时，uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态

13、值uc=()=US的63.2%所需的时间是。而当t=45时，u c上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为t0 t0t0第25页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如5-2-1 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。图5-2-1 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及uR波形图第26页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六5.2.2 RL电路的零状态响应图5-2-2 (a) 一阶RL电路的零状态响应 对于图5-2-2(a

14、)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有： uL+uR=US 将 , uR=RiL , 代入上式，可得初始条件为 iL (0+)=01式第27页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp其齐次方程的通解也应为式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由

15、于激励为直流电压源，故特解 iLP为常量，令iLP =K，代入1式得因此完全解为第28页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得于是 由于iL的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0 第29页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六它们的波形如图5-2-2 (b)、(c)所示。t0t0图5-2-2 (b) (C) 一阶RL电路的零状态响应波形图 第30页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 其物理过程是，S闭合后，iL(即 iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值 uL(0+)=U

16、S 逐渐下降，而uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。 第31页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六RC电路零状态响应：RL电路零状态响应：一阶电路零状态响应的简化分析：第32页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 5.3 全 响 应 由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。 如图5-3所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。 图5-3 RC电路的全响应第33页，

17、共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US1式第34页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六从而得到 通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中

18、第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US = uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有 全响应=暂态响应+稳态响应 2式第35页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得： 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即 全响应=零输入响应+零状态响应 3式第3

19、6页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六5.4 求解一阶电路三要素法 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为： 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。 第37页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 用三要素法求解直流电源作用下一阶

20、电路的响应，其求解步骤如下： 一、 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，第38页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六图3-16 电容、电感元件在t=0时的电路模型

21、L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。可用图3-16说明。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。第39页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六二、确定稳态值f() 作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、i()。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的

22、等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。 例2 图5-4 (a)所示电路中，t=0时将S合上， 求t0时的 i1、iL、uL。 第40页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六 图 5-4 例 2 图解(1) 先求iL(0-)。作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路线代替，则 第41页，共49页，2022年，5月20日，23点39分，星期六(2)求 f(0+)。作t=0+电路，见图(C), 图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-)一致。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有 3 i1 (0+) +6 i1 (0+) -iL (0+)=12得