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1、第一章 行列式 行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程、技术及经济等众多领域. 本章首先介绍预备知识，接下来从低价行列式入手，给出行列式的一般定义；然后讲解行列式的性质和计算方法；最后研究任意阶线性方程组的行列式解法-克莱姆法则.1.1 预备知识一、和号和积号 二、排列及其性质 三、小结第一章 行列式1.和号 如,表示 的连加和. 其中 称为下标,下标是虚拟变量,可由任意字母替代,如一、和号和积号 表示 个数 的连加和. 在本课程中,我们还要采用双重和号,如表示所有可能的 的连乘积 .积号 在学习中还要用到求积的符号,如 表示 的连乘积 再如 定义

2、1 由自然数 组成的一个无重复有序数组 称为一个 级排列. 例 由自然数 可组成几级排列？分别是什么？解 组成一个三级排列,它们是 二、排列及其性质显然，三级排列共有 个，所以 级排列的总数为个. 定义 在一个级排列中，如果较大排在较小数之前，即，则称这一对数构成一个逆序，一个排列中逆序的总数,称为数它的逆序数. 可表示为. 例 求 解 在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有因此 . 在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31 21,54,51,41,因此 定义3 如果排列的逆序数为偶数，则称它为偶排列; 如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.例3 试求 ,并讨论其奇偶性.解

3、易见在n阶排列1,2,3,n中没有逆序,所以 ,这是一个偶排列,它具有自然顺序,故又称为自然排列.在n,n-1,3,2,1中,只有逆序,没有顺序,故有 可以看出，排列n,n-1,3,2,1的奇偶性与n的取值有关,从而当 n=4k 或 n=4k+1 时这个排列为偶排列,否则为奇排列.定义4 排列中，交换任意两数与的位置，称为一次交换，记为 如一般,我们有以下结论.定理1 任意一个排列经过一次对换后,改变其奇偶性.定理2 在全部n级排列中(),奇偶排列各占一半.1.（重点）会求排列的逆序数，会判断排列的奇偶性。 （1）标准排列（偶排列）（2）奇排列（3）偶排列2. 了解对换的概念 对换一次改变排列

4、的奇偶性。掌握求排列逆序数的方法三、小 结一、二阶和三阶行列式二、n阶行列式四、小结第一章 行列式1.2 行列式的定义三、特殊阶行列式1.二阶行列式将 四个数排成两行两列的数表,记作,称此为二阶行列式.用 D 表示，并规定其中叫做二阶行列式的元素,元素 的第一个下标 i 称为行标，第二个下标 j 称为列标.如表示这个元素位于（行列式的）第一行、第二列. 把到的实线连接称为主对角线， 到连接称为次对角线(或副对角线). 二阶行列式的值可以说成是主对角线元素的乘积减去次对角线虚线元素的乘积.可以看出，二阶行列式一共有个元素,共 2! 项；二阶行列式值中的每项均为选自不同行、不同列的两个元素的乘积.

5、 上述二阶行列式可用对角线法则记忆,如图例1 计算二阶行列式解:例2 设,问 故当解:令则或为何值时， 时,或2.三阶行列式类似地，可以定义三阶行列式. 设有九个数排成三行三列的数表 并规定由上式可见，三阶行列式共有选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以项,每项均为正负号，三阶行列式可用对角线法则记忆,其规律如图1.2：例3 计算三阶行列式 解:注意 对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式,为了研究4阶及更高阶的行列式,下面我们介绍 n阶行列式. 二、n阶行列式 由二、三行列式值的规律特点，不难得出:1.个数排成n行n列,两边加竖线就是一个n阶行列式.共有项, 每项都来自于不同行不同列的几个元

6、素的连乘积, 其中 为列标的一个n阶排列. 2. 每项符号的确定:当列标为偶排列, 项取正号;当列标为奇排列, 该项取负号.即符号可写成由此得出行列式的一般义:定义1 由个数排成n行n列，写成 (1) 称为n阶行列式,其中为i第行,第j列的元素;其值为项,每一项取自不同行不同列的n个元素的连乘积,即的代数和 . 其中 构成一个n级排列.若用D表示行列式,则（2）种排列所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，表示当行标为标准排列时,对列标的每一从上面的分析及定义,可得到n阶行列式的另一种定义形式：定义 2即把列标写成标准排列 为行标的一个n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式. 定义 3其中

7、为行标的一个n阶排列,为列标的一个n阶排列. 例4 四阶行列式 共有多少项？乘积是D中的项吗？ 解 共有4!=24项. 乘积不是D中的一项，因为其中有两个元素,均取自第2列. 例5 已知 ，求 的系数. 解 由行列式的定义，展开式的一般项为 要出现 的项，则 需三项取到.显然行列式中含 的项仅有两项，它们是：及 即 及故 的系数为 三、特殊行列式下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式. 称为对角行列式. 1对角行列式根据行列式的定义得分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解2. 上三角形行列式称为上三角形行列式. 根据行列式的定义得分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解3

8、. 下三角形行列式称 为下三角形行列式. 同理可得 4. 副对角行列式称 为副对角行列式. 根据行列式的定义得分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解2、n阶行列式的定义1、二阶和三阶行列式的计算方法四、小结3、4种特殊的行列式1.3 行列式的性质一、行列式的性性质二、利用行列式性质计算行列式第一章 行列式三、小结一、行列式的性质性质1 将行列式的行、列互换，行列式的值不变. 即 ,则 ,行列式 称为 的转置行列式. 注意 这一性质表明行列式中行与列的地位是对称的，也就是说凡是行列式对行成立的性质，对列也是成立的.性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号. 即 推论 如果行列

9、式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零. 性质3 以数k乘行列式的某一行(列)中的所有元素，就等于用k去乘以此行列式.即由性质3可得下面的推论：推论1 行列式一行（列）的所有元素的公因子可以提取到行列式的外面. 推论2 如果行列式中有一行（列）的元素全为零，推论3 如果行列式中有两行（列）的对应元素成则此行列式值为零.性质4 如果行列式的某一行（列）的所有元素都比例，则此行列式值为零.是两个数的和，则此行列式等于两行列式之和. 即 性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变. 例如，以数k乘第i行加到第 j行上，当 时,有 利用性质4，

10、性质5可知性质6成立.二、利用行列式性质计算行列式为了说明运算过程,这里规定,用 表示第 行;用 表示第k行与第s行对换;用 表示第k行的 倍加到第s行后取代原来的第s行；用表示第j列;其余记号与行相同,不再一一列举. 例1 计算行列式解 例2 计算行列式解例3 计算行列式解例4 解方程解 由于于是原方程为 ,解得例5 计算n阶行列式 解 把行列式的所有列乘1都加到第1列上得例6 计算阶行列式解把行列式的第2列 ,第3列 , 第 都加到第1列得 理解转置行列式的定义。2. 记住行列式的6个性质和3个推论。3. 用对角行列式法计算出行列式的值。三、小结1.4 行列式展开定理 一、余子式与代数余子

11、式二、行列式展开定理第一章 行列式三、小结一、余子式与代数余子式定义1 在n阶行列式中,将元素所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的n-1阶行列式，称为元素 的余子式，记作 .令,称是的代数余子式. 例1 求行列式中的元素的余子式和代数余子式. 解 引理 在n阶行列式D中，如果第i行的元素仅其余的为零,则在n阶行列式的定义中是把行列式按第一行的元素展开的, 但实际上行列式可以按任意一行(列)元素展开,下面介绍行列式按行(列)展开定理. 二、行列式展开定理定理1 n阶行列式 等于它的任意一行(列)的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或证明 类似地，可证明 该定理叫做行

12、列式按行（列）展开定理，也称为行列式的降阶展开式.利用这一定理再结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.推论 n阶行列式D的任意一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明 把行列式D的第s行元素换为第 行的对应元素,得到新的行列式，中有两行元素完全相同，因此 ,把按 第s行展开，得=类似可证 例2 已知 , 求 解法1 因为 与 的第1列元素的代数余子式相同,所以将 按第1列展开可得 解法2 因为 的第3列元素与 的第1列元素的代数余子式乘积之和为0,即所以 注意 在计算行列式时往往不急于展开计算, 通常总是根据行列式的性质尽量把它的其中一个或一行中的更多元素变

13、成零，然后对这一行(列)展开再加以计算.例3 计算 解 例4 计算行列式 解 例5 计算行列式 解 = 例6 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 证明 用数学归纳法 当n=2时，有 即当n=2时结论成立.假设对于n-1阶范德蒙德行列式时成立，要证对n阶范德蒙德行列式,结论也成立. 为此，设法把 降阶；从第n行开始，后行减去倍，有 前行的 上式(n-1)是阶范德蒙德行列式 计算n阶行列式,有时要用到数学归纳法,但是归纳法的主要步骤是不能省略的. 余子式和代数余子式的定义。2. 行列式按行（列）展开定理。3. 范德蒙德行列式。三、小结1.5 克莱姆(Cramer)法则一、线性方程组的基本

14、概念二、克莱姆(Cramer)法则三、小结第一章 行列式一、线性方程组的基本概念 从实际问题导出的线性方程组通常含有很多个未知量和很多个方程，它的一般形式为 （1） 其中 是未知量， 是未知量的系数， 叫做常数项或方程的右端，这里m与n未必相等. 线性方程组（1）的解是指这样的一组数 当用它们依次替换方程组(1)中的未知量 时，方程组中的每个方程都成立. 如果 则（1）变成 （2） （2）叫做(1)的对应齐次线性方程组，而（1）称为非齐次线性方程组.显然， 是齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解 当m=n时，方程组（1）变成 （3） 叫做n阶线性方程组. 在n阶线性方程组（3）中，它的

15、系数 组成的 称为方程组（3）的系数行列式. 二、克莱姆(Cramer)法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（3）的系数行列式 ，即 ，则方程组(3)有惟一解 ， ， ， 其中 是把系数行列式D中的第j列元素对应换为常数项 例1 求解线性方程组 解 系数行列式所以方程组有唯一解，而， ， ， 由克莱姆法则得, ， ， ， 当线性方程组（3）的行列式为零的时候，会出现两种情况：一是无解；一是无穷多解对于这种情况的详细讨论将在第三章进行 对于n阶齐次线性方程组 而言，有下面两个推论 推论1 若齐次线性方程组 的系数行列式 ，则方程组只有零解. 推论2 若齐次线性方程组 有非零解,则系数行列式 例2 判断方程组 是有零解还是有非零解? 解 由于系数行列式所以方程组只有零解. 例3 已知 有非零解, 求 k . 解 因为方程组的系数行列式为 由推论2知，它的系数行列式 ，即故k=1或k=-1. 三、本章小结概要本章重点内容可以归结为三个方面：一个概念（n阶行列式）两种计算行列式的方法九类可直接求出的行列式一、n阶行列式 n阶