高中数学必修二 5 章末演练轻松闯关

1、A基础达标1将3eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)ab)blc(rc)(avs4alco1(af(2,3)b)（2ba）)化成最简式为()Aeq f(4,3)aeq f(5,3)bB4a5bC.eq f(4,3)aeq f(5,3)b D4a5b解析：选B.原式3eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)11)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)2)b3eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)af(5,3)b)4a5b.2设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则

2、|ab|()A.eq r(5) B.eq r(10)C2eq r(5) D10解析：选B.由题意可知eq blc(avs4alco1(2x40，,42y0，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y2，)故ab(3，1)，|ab|eq r(10).3在ABC中，B45，C60，c1，则最短边长为()A.eq f(r(6),2) B.eq f(r(6),3)C.eq f(1,2) D.eq f(r(3),2)解析：选B.A180(6045)75，故最短边为b，由正弦定理可得eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，即beq f(csin B,sin C)eq f(1sin 4

3、5,sin 60)eq f(r(6),3)，故选B.4在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若2asin Beq r(3)b，则角A等于()A.eq f(,12) B.eq f(,6)C.eq f(,4) D.eq f(,3)解析：选D.由已知及正弦定理得2sin Asin Beq r(3)sin B，因为sin B0，所以sin Aeq f(r(3),2).又Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以Aeq f(,3).5在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C，且sin A2sin Bcos C，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形

4、 D等腰直角三角形解析：选D.由sin2Asin2Bsin2C及正弦定理可知a2b2c2A为直角；而由sin A2sin Bcos C，可得sin(BC)2sin Bcos C, 整理得sin Bcos Ccos Bsin C，即sin(BC)0，故BC.综合上述，BCeq f(,4)，Aeq f(,2).即ABC为等腰直角三角形6已知非零向量a(t，0)，b(1，eq r(3)，若a2b与a的夹角等于a2b与b的夹角，则t_解析：由题设得eq f(（a2b）a,|a2b|a|)eq f(（a2b）b,|a2b|b|)，所以|b|(|a|22ba)|a|(ab2|b|2)，将a(t，0)，b(

5、1，eq r(3)代入整理得2t2t|t|8|t|4t，当t0时，3t212t，所以t4；当t0时，t24t，所以t4.综上，t的值为4或4.答案：4或47在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2asin Beq r(3)b，bc5，bc6，则a_解析：因为2asin Beq r(3)b，所以2sin Asin Beq r(3)sin B.所以sin Aeq f(r(3),2)，因为ABC为锐角三角形，所以cos Aeq f(1,2)，因为bc6，bc5，所以b2，c3或b3，c2.所以a2b2c22bccos A223226eq f(1,2)7，所以aeq r(7).答

6、案：eq r(7)8(2019湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若eq o(AD,sup6()eq o(EB,sup6()2，则eq o(AB,sup6()的模为_解析：因为在平行四边形ABCD中，eq o(EB,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq o(BC,sup6()，又eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq o(EB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq

7、o(AD,sup6()，所以eq o(AD,sup6()eq o(EB,sup6()eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()2eq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|eq o(AD,sup6()|cos 60|eq o(AD,sup6()|2eq f(1,4)|eq o(AB,sup6()|12，所以|eq o(AB,sup6()|12.答案：129已知向量e1，e2，且|e1|e2|1，e1，e2

8、eq f(,3).(1)求证：(2e1e2)e2；(2)若me1e2，n3e12e2，且|m|n|，求的值解：(1)证明：因为|e1|e2|1，e1，e2eq f(,3)，所以(2e1e2)e22e1e2eeq oal(2,2)2|e1|e2|coseq f(,3)|e2|2211eq f(1,2)120，所以(2e1e2)e2.(2)由|m|n|得(e1e2)2(3e12e2)2，即(29)eeq oal(2,1)(212)e1e23eeq oal(2,2)0.因为|e1|e2|1，e1，e2eq f(,3)，所以eeq oal(2,1)eeq oal(2,2)1，e1e211coseq f

9、(,3)eq f(1,2)，所以(29)1(212)eq f(1,2)310，即260.所以2或3.10已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若Beq f(,3)，且(abc)(abc)eq f(3,7)bc.(1)求cos C的值；(2)若a5，求ABC的面积解：(1)由(abc)(abc)eq f(3,7)bc，得a2(bc)2eq f(3,7)bc，即a2b2c2eq f(11,7)bc，由余弦定理，得cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(11,14)，所以sin Aeq f(5,14)eq r(3).又因为Beq f(,3)，所以cos Ccos(AB)c

10、os Acos Bsin Asin Beq f(1,7).(2)由(1)得sin Ceq f(4,7)eq r(3).在ABC中，由正弦定理，得eq f(c,sin C)eq f(b,sin B)eq f(a,sin A).所以ceq f(asin C,sin A)8，所以Seq f(1,2)acsin Beq f(1,2)58sineq f(,3)10eq r(3).B能力提升11飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标C的距离为()A5 000米 B5 000eq r(2)米C4 000米

11、 D4 000eq r(2)米解析：选B.如图，在ABC中，AB10 000米，A30，C753045.根据正弦定理得，BCeq f(ABsin A,sin C)eq f(10 000f(1,2),f(r(2),2)5 000eq r(2)(米)12在ABC中，点D满足BDeq f(3,4)BC，当E点在线段AD上移动时，若eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，则t(1)22的最小值是()A.eq f(3r(10),10) B.eq f(r(82),4)C.eq f(9,10) D.eq f(41,8)解析：选C.如图所示，存在实数m使得eq o

12、(AE,sup6()meq o(AD,sup6()(0m1)，eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()，所以eq o(AE,sup6()meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)o(AB,sup6()f(3,4)o(AC,sup6()eq f(m,4)eq o(AB,su

13、p6()eq f(3m,4)eq o(AC,sup6()，所以eq blc(avs4alco1(f(m,4)，,f(3m,4)，)所以t(1)22eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,4)1)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3m,4)eq sup12(2)eq f(5,8)m2eq f(m,2)1eq f(5,8)eq blc(rc)(avs4alco1(mf(2,5)eq sup12(2)eq f(9,10)，所以当meq f(2,5)时，t(1)22取得最小值eq f(9,10).13在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22eq r(3

14、)x20的两个根，且2cos(AB)1.则C_，AB_解析：因为cos Ccos(AB)cos(AB)eq f(1,2)，所以C120.由题设，得eq blc(avs4alco1(ab2r(3)，,ab2，)所以AB2AC2BC22ACBCcos Ca2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(2eq r(3)2210.所以ABeq r(10).答案：120eq r(10)14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ab)cos Cccos B，ABC的面积S10eq r(3)，c7.(1)求角C；(2)求a，b的值解：(1)因为(2ab)cos Cccos B，所

15、以(2sin Asin B)cos Csin Ccos B，2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B，即2sin Acos Csin(BC)所以2sin Acos Csin A.因为A(0，)，所以sin A0.所以cos Ceq f(1,2).所以Ceq f(,3).(2)由Seq f(1,2)absin C10eq r(3)，Ceq f(,3)，得ab40.由余弦定理得c2a2b22abcos C，即c2(ab)22abeq blc(rc)(avs4alco1(1cosf(,3)，所以72(ab)2240eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2).所以a

16、b13.由得a8，b5或a5，b8.C拓展探究15某单位有A，B，C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等已知这三个工作点之间的距离分别为AB80 m，BC70 m，CA50 m假定A，B，C，O四点在同一平面内(1)求BAC的大小；(2)求点O到直线BC的距离解：(1)在ABC中，因为AB80 m，BC70 m，CA50 m，由余弦定理得cosBACeq f(AB2AC2BC2,2ABAC)eq f(802502702,28050)eq f(1,2).因为BAC为ABC的内角，所以BACeq f(,3).(2)法一：因为发射点O到A，B，C三个工作点的距离相等，所以点O为ABC外接圆的圆心设外接圆的半径为R，则在ABC中，eq f(BC,sin A)2R.由(1)知Aeq f(,3)，所以sin Aeq f(r(3),2).所以2Req f(70,f(r(3),2)eq f(140r(3),3).即Req f(70r(3),3).如图，连接OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D.在OBD中，OBReq f(70r(3),3)，BDeq f(BC,2)eq f(70,2)35，所以ODeq r(OB2BD2)eq r(（f(70r(3),3)）2352)e