高中数学必修二 3 第3课时应用案巩固提升

1、A基础达标1某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A500米B600米C700米 D800米解析：选C.由题意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos 120，所以AB700米，故选C.2若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110米 B112米C220米 D224米解析：选A.如图，设CD为金字塔，

2、AB80米设CDh，则由已知得(80h)eq f(r(3),3)h，h40(eq r(3)1)109(米)从选项来看110最接近，故选A.3设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20eq r(3) m，eq f(40r(3),3) m B10eq r(3) m，20eq r(3) mC10(eq r(3)eq r(2) m，20eq r(3) m Deq f(15r(3),2) m，eq f(20r(3),3) m解析：选A.由题意，知h甲20tan 6020eq r(3)(m)，h乙20tan 6020tan 3

3、0eq f(40r(3),3)(m)4一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的速度是()A5eq r(2) 海里/时 B5海里/时C10eq r(2) 海里/时 D10海里/时解析：选D.如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5海里，所以这艘船的速度是10海里/时故选D.5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的

4、距离是()A5 km B10 kmC5eq r(3) km D5eq r(2) km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得eq f(15,sin 120)eq f(BC,sin 30)，即BCeq f(15f(1,2),f(r(3),2)5eq r(3)，即这时船与灯塔的距离是5eq r(3) km.6.如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2eq r(2) mm，ABeq r(29) mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cos

5、ACBeq f(32（2r(2)）2（r(29)）2,232r(2)eq f(r(2),2).因为ACB(0，)，所以ACBeq f(3,4).答案：eq f(3,4)7湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75方向，则小岛到公路的距离是_km.解析：如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得eq f(BC,sinCAB)eq f(AB,sinACB)，BCeq f(sin 15,sin 60)eq f(r(6)r(2),2r(3)(km)设C到直

6、线AB的距离为d，则dBCsin 75eq f(r(6)r(2),2r(3)eq f(r(6)r(2),4)eq f(r(3),6)(km)答案：eq f(r(3),6)8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，则塔高AB_ m.解析：在RtABC中，ACB45，设ABh，则BCh，在RtABD中，ADB30，所以BDeq r(3)h，在BCD中，CBD30，CD200 m，由余弦定理可得40 000h23h22heq r(3)heq f(r(3),2)

7、，所以h200，所以塔高AB200 m.答案：2009.如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km.在BCD中，由余弦定理，得cosBDCeq f(CD2BD2BC2,2CDBD)eq f(1,7).设ADC，则cos eq f(1,7)，sin eq f(4r(3),7).在ACD中，由正弦定理eq f(AD,sin ACD)eq f(CD,sin CAD)，得eq

8、 f(AD,sin（60）)eq f(21,sin 60)，所以ADeq f(42,r(3)sin(60)eq f(42,r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )15 (km)，即所求的距离为15 km.10空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45，同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度解：如图，设CDx，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx.在RtBCD中，CBD30，所以CBeq f(CD,tan 30)eq r(3)x.在

9、ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以2662x2(eq r(3)x)22xeq r(3)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，所以x38eq r(7)(m)所以气球的高度为38eq r(7) m.B能力提升11一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A.如图，设水柱的高度是h m，水柱底

10、端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCeq r(3) h，根据余弦定理得，(eq r(3)h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.12.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角ADC150，从D处再攀登800米到达C处，则索道AC的长为_米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因为ADB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，A

11、Deq r(AB2BD22ABBDcos 120)400eq r(3).在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400eq r(3)280022400eq r(3)800cos 150400213，所以AC400eq r(13)，故索道AC的长为400eq r(13)米答案：400eq r(13)13.如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30方向，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，则P，C间的距离为_海里解析：因为AB40，BAP120，ABP30，所

12、以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 12040240224040eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4023，所以BP40eq r(3).又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40eq r(3)280211 200，所以PC40eq r(7) 海里答案：40eq r(7)14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，1)，直线OB的倾斜角为45，且|OB|eq r(2).(1)求点B的坐标及线段AB的长度；(2)在平面直角坐标系xOy中，取1厘米为单位长度现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60的射线BC运动，另

13、一质点Q同时以eq r(2)厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？解：(1)设点B(x0，y0)，依题意x0eq r(2)cos 451，y0eq r(2)sin 451，从而B(1，1)，又A(3，1)，所以ABx轴，则|AB|1(3)|4.(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则ACeq r(2)t，BCt.由ABx轴及BC的倾斜角为60，得ABC120.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos 120，所以2t216t28teq f(1,2)，化简得t24t160，解得t22eq r(5)(舍去)或t22eq r(5)

14、.即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(22eq r(5)秒C拓展探究15如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30方向，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60方向，俯角为60的C处(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：(1)在RtPAB中，APB60，AP1，所以ABAPtan 60eq r(3).在RtPAC中，APC30，所以ACAPtan 30eq f(r(3),3).在ACB中，CAB306090，所以BCeq r(AC2AB2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sup12(2)（r(3)）2)eq f(r(30),3).则船的航行速度为eq f(r(30),3)eq f(1,6)2eq r(30)(千米/时)(2)在ACD中，DAC906030，sinDCAsin(180ACB)sinACBeq f(AB,BC)eq f(r(3),f(r(30),3)eq f(3r(10),10)，sinCDAsin(ACB30)sinACBcos 30cosACBsin 30eq f(3r(10),10)e