线性代数格林函数

1、4.3 格林函数一. 格林函数的引入上节的基本积分公式给出了调和函数的表达式其中，我们期望用它来求解第一边值问题（2）项。 （1）为此，要设法在（1）式中消去法向导数（3）数学物理方程先考虑为有界区域的情形。，对g,u应用第二格林公式（4）（5）令并用（1）式减去（4）式，有设另有一个调和函数若在上，上式中含有的项就为零， 从而数学物理方程内的调和函数u就可仅由它在再由条件（3）得（6）上的函数表示出来，从而在形式上求出了问题于是，值f和（I）的解。由上面的讨论过程知，对于任意的，g关于应满足格林函数：，其中g变量由（5）式给出的函数满足（II）。数学物理方程（I）的解，仍必须验证，因为（6）

2、式导出的过程是以承认问题（I）有属于 注1：问题（I）和（II）都是第一边值问题，一般说来，求解它们有相同的难度，但对某些特殊区域，用镜像法容易求出问题（II）的解，这样，在这些区域中，边界值为任意函数的问题（I）的解就可由（6）式表示了。的解，且格林函数存在，存在，（6）式决定的函数是否就是问题的解为前提的。注2：从（6）式的推导过程可以推断，若问题（I）有属于则问题（I）的解必可由（6）式表示；但即使格林函数数学物理方程 因此，对于无界区域上的格林函数，当为无界区域，若u,g在无穷远处正则，除满足（II）外，的导出过程可以发现，与边界条件无关，仅与所讨论的式和（4）式仍成立，从而也可得到（

3、6）式，那么（1）还要求它在无穷远处正则。注：由格林函数格林函数区域有关。 数学物理方程二. 一些特殊区域的格林函数除外处处调和，点有某种关系的点为奇，显然，只要在外，它就在内调和，是点在某种意义下关于的对称点，基本解构造g，把g设想为以与点的函数这就要求点因而对区域的特殊性有较高的要求。利用基本解关键是要使它满足问题（II）的边界条件，数学物理方程是关于与（一） 上半空间区域的格林函数取为关于平面的对称点，则g作为P的函数在区域内调和。关于平面对称，当P在边界上时，因而可取，得从而得到上半空间区域的格林函数为（1）的对称点。 其中令因为数学物理方程就是若把平面看成镜子，的像， 注：在直角坐标

4、系下，利用格林函数（1）可得上半空间区域的第一边值问题的形式解（上半空间的泊松公式）这种求格林函数的方法称为镜像法。所以（1）数学物理方程，使应在球外，为使当（二） 球的格林函数设B是以A为心，R为半径的球，对任意，仍，显然，时，则必须要求设想若取关于是一对反演点，即在以A为端点的同一条射线上，且满足则当时，与有公共角，且从而相似，数学物理方程右端是不随P变化的定数，为使，取，便得因而（2）记这就是球的格林函数。 注：在极坐标系下，利用格林函数（2）可得球的泊松公式其中。数学物理方程是以A为心，R为半径的圆时，与球的情形类似，内调和，在对于二维情形，可以完全类似地定义格林函数其中g在上使，与（

5、6）当（三） 圆的格林函数式相应的第一边值问题解的表达式为应用反演点可得圆的格林函数数学物理方程建立以圆心为极点的极坐标系，可以得到圆上第一边值问题的形式解（圆的泊松公式）数学物理方程所围的空间用点的单上的格林函数内的电势点电荷和内的电场是格林函数在静电学中有明显的物理意义：若封闭曲面包围点，表示，上，此和为零，上的感应电荷产生的电场的叠加，的物理意义，右端第一项是点电荷所产生的电势，-g是感应电荷产生的电势。（四） 其他区域的格林函数位正电荷在周围空间形成静电场，其电势为曲面是导体并接地，这时，所以也是这两个电场的电势的和，在这就是在数学物理方程 一般说来，后者不容易求出，前面所用的镜像法是把感应电荷产生的电势设想为某一个点电荷产生的电场的电势，使它们在内等效，对于较复杂的区域，可用几个点电荷产生的电势的和来代替感应电荷的电势。可利用关于球面的反演点例如半球形区域，及它们关于平面的对称点求出数学物理方程和，和和，和显然，在半球内调和，关于平面对称，关于整个球面互为反演点，因而G是