线性代数行列式完整版

1、关于线性代数行列式完整版第一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第1章 行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则行列式的一个简单应用数学实验第二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月2第1.1节 n阶行列式的定义 本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式返回第三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月3即 称其为二阶行列式 .记号：它表示数：左上角到右下角表示主对角线，第四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月4例例设(1)当 为何值时，(2)当 为何值时解或右上角到

2、左下角表示次对角线，第五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例3 求二阶行列式第六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月(2)三阶行列式记号 即 称为三阶行列式. 它表示数第七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月7 可以用对角线法则来记忆如下.第八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8主对角线法第九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月9例4 计算三阶行列式解:由主对角线法，有第十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月10例5第十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零第十二

3、张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例7的充分必要条件是什么？解或或第十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月练习：计算下列行列式解第十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月1.排列及其逆序数(1)排列 由自然数1,2,n,组成的一个有序数组i1i2in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123 132 213 231 312 321（总数为 n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)构成逆序.1.2 n阶行列式第十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月15(2)

4、排列的逆序数定义： 在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N (i1i2in).=3 =2例1 N (2413) N(312)第十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月16(2)排列的逆序数定义： 在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N (i1i2in).奇偶排列: 若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.=3 =2例1 N (2413)

5、 N(312)第十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月17逆序数的计算方法即例2 N(n(n-1)321) N(135(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)第十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月证明：对换： 对换在一个排列i1isit in中，若其中某两数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列i1itis in,这种变换称为一个对换, 记为( is it).例3定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。第十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月19对换在相邻两数

6、间发生，即设排列 jk (1) 经j,k对换变成 kj (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列 ji1isk (3) 经j,k对换变成 k i1is j (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 kj i1is j经s次相邻对换成为 ki1is j 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇

7、偶性改变. |第二十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月20定理1.2第二十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月思考练习（排列的逆序数详解）方法1 在排列x1x2xn中，任取两数xs和xt(st),则它们必在排列x1x2xn或xnxn-1x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2xn中取两数的方法共有 依题意，有故排列 x1x2xn 与 xnxn-1x1 中逆序之和为此即 第二十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月22方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,n),若在排列x1x2xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1

8、x1中对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+(n-i)-li= n-i (i=1,2,n)此即 第二十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月23（二）n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）(iii)项数为 3！=6第二十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月24推广之，有如下n 阶行列式定义第二十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月定义： 是所有取自不同行、不同列n个元素的乘

9、积并冠以符号 的项的和. (i) 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；(iii) 表示对所有的 构成的n！个排列求和.第二十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月26例1 证明下三角行列式证： 由定义和式中,只有当所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .第二十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月27第二十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例2 计算解由行列式定义,和式中仅当第二十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月29注：第三十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年

10、6月例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：第三十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例4应为何值，符号是什么？此时该项的解此时或(1)若则取负号(2)若则取正号若是五阶行列式的一项，则第三十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例5用行列式定义计算解：第三十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明定理1.3: n阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为其中i1i2in和j1 j2 jn都是n级排列 .或另一定义形式另一定义形式推论:n阶行列式D=Det (aij) 的值为第

11、三十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月344.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若第三十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月35 用定义计算思考练习 （n阶行列式定义）答案第三十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月361.3 行列式的性质 对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易, 但对一般的、高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的 . 因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.返回第三十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月37性质1

12、行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上,若记 DT=Det(bij),则解例1 计算行列式第三十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月38性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号 .推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 .性质3推论 (1) D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符号的外面， (2) D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.第三十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月39性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为

13、对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即证第四十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月40性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即第四十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月41第四十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例2 计算行列式解 第四十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月43解第四十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月44解第四十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月45第四十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022

14、第四十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022即第四十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022第四十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022第五十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022例6 计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)第五十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月52解(1) 注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回第五十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月53解(2)注意到行列式各行元素之

15、和等于有返回第五十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月54解 (3)返回箭形行列式第五十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月55第五十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022第五十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022第五十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月2022/8/28阜阳师范学院数学与计算科学学院第六十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例9 证明证 第六十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月61证第六十二张，PPT共一

16、百一十三页，创作于2022年6月622.证明1.计算行列式思考练习 （行列式的性质）第六十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月63思考练习（行列式性质答案） 第六十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月64=右边思考练习（行列式性质答案） 第六十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月65第1.3 节 行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.返回返回第

17、六十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月66例1 求出行列式解第六十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月67引例：第六十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022第六十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022定理1.4 行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即第七十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月70证(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ; 第七十一张，PPT共一百一

18、十三页，创作于2022年6月71(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即 将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即(iii) 一般地由 (i)第七十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月72由(ii)第七十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月73定理1.5 n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即第七十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月74证考虑辅助行列式0=

19、t列j列第七十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月75例2 计算行列式解法1法2选取“0”多的行或列第七十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月76第七十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022注：第七十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例4 讨论当 为何值时，解所以当论 ， 第七十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月79例5 求证证明：首先从第1行起，每行减去下一行，然后按第1列展开，之后又从第1行起每行减去下一行，化为下三角行列式即得结果，即第八十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月80第八十一张，PPT共

20、一百一十三页，创作于2022年6月81第八十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月82例6 已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算.第八十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月83第八十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月84例7 证明范得蒙行列式（Vandermonde)证 用数学归纳法第八十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月85 假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形.第八十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月86第八十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月87例8 计算行列式解1计算

21、时，性质与按行（列）展开定理结合使用.第八十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月88解2 利用范德蒙行列式的结论第八十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月89例9 计算n阶行列式解第九十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月90解第九十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月91思考练习 （按行展开定理）计算行列式第九十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月92思考练习（按行展开定理详解1）第九十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月93思考练习（按行展开定理详解2）第九十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月942*.拉普

22、拉斯（Laplace）定理k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列 （1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而 为其代数余子式.这里i1,i2,ik, j1, j2, jk分别为 k阶子式N的行标和列标.第九十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月95在n阶行列式 拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1 kn),由这k行元素组成的k阶子式N1, N2 ,V t 与它们的代数余子式 的乘

23、积之和等于D，即第九十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月96例7 计算行列式解第九十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月97一般地第九十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月98第1.5节 克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个方程,n个未知量的n元线性方程组的问题.先以二元线性方程组为例第九十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022当系数行列式D0时，方程组有唯一解：二元线性方程组称为方程组的系数行列式。第一百张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月8/28/2022定理1.7（克莱姆法则） 如果n元线性方程组则方程组有唯一解的系数行列式返回返回第一百零一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月101其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即定理的结论有两层含义：方程组（1）有解； 解惟一且可由式(2)给出.第一百零二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月102证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将 代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开得 即式(2