北京市清华大学附中全国高校自主招生考试数学复习讲义：第一讲不等式

1、数学自主招生讲义（讲义仅供参考,讲课过程中有补充内容,以实际讲课为准）第一讲 不等式一、学问扩展 1. 均值不等式2 a 12 a 2n2 a na 1a 2na nna 1a 2an1n1.1a 1a 2a n2. 柯西不等式设a i,b iR , i2,1 ,n,就2 b 22 a n2 b n,a 2,a nan2a 1 b 1a 2b 2a nb n22 a 12 a 22 a n2 b 1当且仅当a 1a2ani时,等号成立 . b 1b2bna 1推论（ 1）当b 1b 2nb1时,n2 a 12 a 2可以推出2 a 12 a 22 a na 1a2an.a 1a 2Rnnn2（

2、2）当b 11,b 21,bn1时,a 1a2a na21112 a 1a22n2 a 12 a 22 a na 2a n2（3）如ai,b iRi,12,n,就a 1a 1a 2a nb 1b 2b nb 1b 2b n3. 排序不等式：两组实数a 1a 2a n,b 1b 2a 1b 1b n,a nb n,递序和 就有a 1 b na 2b n1an b 1a 1 bj1a 2bj2a nbjna 2b 2乱序和 次序和 . 4. 琴生不等式：如xfx是a,b上的凸函数,就.nfx 1fx2fx nfx 1x2nn5. 含有立方的几个不等式：a,b ,cR2cb2c2abbcac ;（1

3、）a3b 3a2 bab 2;ca（2）a3b3c33abc,a33 b3 c3 abc ab（3）3abcabcabcaba33 ab3c3;333b（4）abbcac1abc2（c时取等号）36. 常用不等式放缩法（1）1n11nn11 11nn11 1111n2n1n1. n2nnnnnn（2）1n1nn1nn12二、例题解析 、不等式解析例 1（2022 年复旦高校千分考）设zn 是一个正整数,就函数x1n在x轴正nx半轴上的最小值是（）Cnn1Dnn1Ann1Bn2n1例 2：（2022 清华）已知x0 ,y,00,a,b ,c是x ,y,z的一个排列,求证：abc3xyz例 4：（

4、山东 2022 预赛）如x10 ,y0,z0,且xyz1. m0求证：111x11y12. z例 5：（34 届俄罗斯竞赛）设a,b,c是 ABC 三边长,且求征：aambbmccmx 1x2xn0 ,且in1x i1例 6：（同学练, 35 届俄罗斯）设i求证：in2 ix1x 1,x 2,x 3,nxn124. 1例 7：（2022 浙江高校）小于 1 的正数 . 且x 1x 2nx1. 求证：x 113 x 1x13 x 23 x nx n2例 8：（2022 复旦）设a 1,a 2,a 3,a n是各不相同的正自然数a2. 求证：求证：1a1aa1a2. 1a 1a2知a3,x 2,anx n1.10.2022北约 已:x 1x 3,x nR且x x22x 12x 22x nn2,1n. nn1xnexx2.11（2022 华约） 7. 已知：Nxn 求证：n、不等式与方程例 9：