线性代数3第三章线性方程组

1、第三章 线性方程组 n维向量3.1 消元法解线性方程组3.2 n维向量3.3 向量组的秩3.4 矩阵的秩3.5 线性方程组解的一般理论3.1 消元法解线性方程组一、用消元法解线性方程组例1阶梯形方程组消元过程得方程组的解回代过程1对方程组共进行了三种变换 (1)交换两方程的位置； (2)方程两边乘以不为0的数 k； (3)一个方程加上另一个方程的k 倍. 2消元与回代的操作可通过 进行“数表”对上述作法进行归纳方程组 “数表”方程组的初等变换(同解变换)定义 3.1 由数域 F 中的 个数 排列成的矩形数表称为数域 F上的 矩阵, 简称 矩阵.每个 称为元素, 矩阵简记为 【注】矩阵是数表，行

2、、列个数可以不等; 行列式是一个算式，计算结果是数值， 行、列个数必须相等. m=n时：方阵(1) 这种矩形数表称为矩阵(2) 由线性方程组得到的矩阵，称为方程组的增广矩阵 ,记作 ，相应有系数矩阵 A. 例如线性方程组与增广矩阵一一对应 ! 有n 个未知量，m 个方程的线性方程组 用矩阵实现例消元和回代过程阶梯形矩阵阶梯形方程组方程组的解3、定义以下三种变换为矩阵的初等行变换(1)交换两行的位置;(2)一行乘以不等于0 的数 k;(3)一行加上另一行的 k 倍.4、规范的消元法，即通过矩阵的初等变换(三种行变换和第一种列变换)，将增广矩阵化为阶梯形,保证相应的线性方程组与原方程组同解.列也有

3、如上变换，称为矩阵的初等列变换，行变换和列变换统称为矩阵的初等变换. 解 增广矩阵 矩阵中第三行对应的方程为 为矛盾方程，所以方程组无解. 例2 解线性方程组含有多余方程 用箭头，不要用等号!例3 解线性方程组解 方程组的增广矩阵为 最后矩阵对应的线性方程组为： 由方程知道 ，从而方程为可知两个未知量 有一个可以任意赋值，称其为自由未知量，另一个则相应确定，不再“自由”. 继续对最后一个矩阵作初等行变换，完成回代 代表的方程组为方程组的一般解x4为自由未知量二、线性方程组解的状况与判断 1解的状况 2解的判断 有n 个未知数，m 个方程的线性方程组 消元法 （1）化阶梯形矩阵;(2）判断是否有

4、解;（3）若有解，回代. 目标：一个方程中仅有一个非自由未知量且非自由未知量系数为1.增广矩阵经过一系列初等行变换(必要时可交换两列)化为如下形式的阶梯形矩阵其中r:系数部分中元素不全为0的行数(阶梯矩阵中阶梯的个数)最后矩阵对应的线性方程组为： （2） ，有解有唯一解 有无穷多解， 恰有 个非自由未知量. （1） ， 无解判定线性方程组解的状况的基本思路 对增广矩阵 实施一系列初等行变换，化阶梯形矩阵； 在阶梯形矩阵中，根据系数部分中元素不全为0的行数(阶梯矩阵中阶梯的个数) r 与增广矩阵中元素不全为0的行数是否相等来判断是否有解； 若有解，再根据r 与未知量的个数n之间的关系，判断有唯一

5、解还是无穷解.例4 判断线性方程组解的情况，若有解求出其唯一解或一般解.则无矛盾方程,原方程有解, 继续回代求解.则方程组的解为(c为任意常数)例5 取什么值时，下述线性方程组无解？有唯一解？无穷多解？(1)当出现矛盾方程时,原方程无解,则原方程无解.(3) 时,有无穷多解;(2) 时,有唯一解;经过一系列初等行变换(必要时可交换两列)增广矩阵（2） ，有解有唯一解 有无穷多解， 恰有 个非自由未知量. （1） ， 无解【回顾】 n 个未知量m 个方程的线性方程组的解法3. n 个未知量m 个方程的齐次线性方程组解的判断 （1）解的状况 一定有解 一定为0(2)定理1 如果方程个数m 小于未知量个数n，一定有非零解.(3)定理2 n个未知量，n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式 D=0.n 个未知量，m 个方程的齐次线性方程组 (1)齐次线性方程组一定有零解, 即 例6 当 a 取何值时，方程组有非零解？ 解法1：系数行列式 解法2： 因为3个未知数，要有非零解应有 r3 所以基本概念： 系数矩阵、增广矩阵、矩阵的初等变换 自由未知量基本方法：消元法解线性方程组 增广矩阵化阶梯形判断解的情况回代求解如果方程个数m 小于未知量个数n，齐次线性方程组一定有非零解. n个未知数，n个方程的齐次线性方