线性代数期末考试题目

1、综合练习题A一、单项选择题的特征值为，则下列矩阵中非奇异矩阵是（ A ）A.； B. ； C.； D.解 因为若为三阶矩阵的特征值，则，也即当为矩阵的特征值时，矩阵为奇异矩阵. 由于不是矩阵的特征值，所以，即矩阵非奇异. 故答案A正确.2.与矩阵相似的矩阵是（ C ）A.； B.； C.； D. 解 由于答案A，B，C，D均为上三角矩阵，其特征值均为，它们是否与矩阵相似，取决于对应特征值四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即.由于只有答案C对应的，即对应有两个线性无关的向量，所以答案C正确.的矩阵是（ C ）.A.； B. ； C. ； D. 解 因为，所以二次型矩阵为，故答案C正确.，其中为

2、阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（ D ）.为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.的标准形是唯一的； D.的规范形是唯一的.解 因为二次型的规范形是唯一的，所以答案D正确，而答案A,B,C均不正确.故答案D正确. 二、解答下列各题1.试证:由所生成的向量空间就是.证:设 ，因为于是，故线性无关.由于均为三维且秩为3. 所以为此三维空间的一组基，故由所生成的向量空间就是.2.利用施密特正交化方法，将向量组化为正交的单位向量组解:令=，=， =，=（，再将向量组单位化，即得到正交的单位向量组 3.判别矩阵是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵，使为对角阵解:矩阵的特征多项式为=由，得矩阵的特征值为对

3、于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系.对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，.由于有三个线性无关的特征向量，故可对角化令 则4.求一个正交变换将二次型化为标准形.解:二次型的矩阵为，其特征多项式为令，得矩阵的特征值为当时, 解方程组，由. 得基础解系 . 当时，解方程，由 得基础解系 . 当时，解方程，由 得基础解系 .将单位化，得,于是正交变换为. 且标准形为 5.判别二次型=是否为正定二次型.解 二次型的矩阵为.由于，即的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.三、证明题如果为阶实对称矩阵，为阶正交矩阵，证明为阶实对称矩阵证: 因为又为阶实对称矩阵，为阶正交矩阵，

4、所以 及，即于是 所以为阶实对称矩阵综合练习题B相似的矩阵是（C）A.； B.； C.； D. 解 由于答案A，B，C，D均为上三角矩阵，其特征值均为，它们是否与矩阵相似，取决于对应特征值四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即.由于只有答案C对应的，即对应有两个线性无关的向量，所以答案C正确.与相似，其中，已知矩阵有特征值，则（A）A.； B.； C.； D.解 因为相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵的特征值为.由，得，故答案A正确.均为阶矩阵，且与合同，则（D）.A. 与相似； B. ； C. 与有相同的特征值； D. 解 因为与合同，所以存在阶可逆矩阵，使得，故故答案D正确.，其中为阶实对

5、称矩阵，下述各结论中正确的是（D）.为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.的标准形是唯一的； D.的规范形是唯一的.解 因为二次型的规范形是唯一的，所以答案D正确，而答案A,B,C均不正确.故答案D正确. 二、解答下列各题的一组基为，求向量在此基下的坐标.解 设，则是方程组 的解.解得，所以向量在此基下的坐标为.的特征值和特征向量解 矩阵的特征多项式为=令，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为（为不等于零的常数）对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为（为不全等于零的常数）.3.试求一个正交相似变换矩阵，

6、将实对称矩阵化为对角矩阵.解 矩阵的特征多项式为 由，得矩阵的特征值为 对于，解方程组，得方程组的一个基础解系；对于，解方程组，得方程组的一个基础解系；对于，解线性方程组，得方程组的一个基础解系.分别将单位化得，令 ， 则 .化成标准形 并写出所用变换的矩阵：解 对二次型配方，得 令 即 写成矩阵形式为，变换矩阵为在此变换下二次型化为规范形 .t为何值时，二次型=为正定二次型.解 二次型的矩阵为 .此二次型正定的充要条件为 , =0, 0，由此解得 .三、证明题若矩阵与相似，试证明（1）与有相同的特征多项式和特征值；（2）与的行列式相等，即.证 （1）由相似定义可知，存在可逆矩阵，使得，于是即

7、与的特征多项式相同，因而有相同的特征值.（2）由，有，即与的行列式相等.综合练习题C一、单项选择题为阶矩阵，且与相似，则（D）A.；B.与有相同的特征值和特征向量；C.与都相似于一个对角矩阵；，与相似.解: 因为由与相似不能推得，所以答案A错误；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B错误；由与相似不能推出与都相似于一个对角矩阵，所以答案C错误；由与相似，则存在可逆矩阵，使，所以所以，对于任意常数，与相似. 故答案D正确.为阶实对称矩阵，则（C）A.的个特征向量两两正交；B.的个特征向量组成单位正交向量组；C.的重特征值，有；D.的重特征值，有.解

8、: 由实对称矩阵特征值的性质可知，对于实对称矩阵的重特征值，有. 故答案C正确.，则与合同的矩阵是（A）.A.； B. ； C. ； D. 解: 两矩阵合同时，其正惯性指数相同，且负惯性指数也相同，只有答案A满足题意. 故答案A正确.，其中为阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（D）.为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.的标准形是唯一的； D.的规范形是唯一的.解: 因为二次型的规范形是唯一的，所以答案D正确，而答案A,B,C均不正确.故答案D正确. 二、解答下列各题的两个基为求由基到基的过渡矩阵 解: 取矩阵，对作初等行变换故过渡矩阵.2.设矩阵可相似对角化 求 解: 矩阵的特征多项式为由，得矩阵的特征值为 因为可相似对角化，所以对于 齐次线性方程组有两个线性无关的解 因此 由知当时 即为所求 3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵化为对角矩阵.解 矩阵的特征多项式为 由，得矩阵的特征值为 对于，解齐次线性方程组，得方程组的一个基础解系 ，对于，解齐次线性方程组，得方程组的一个基础解系 将向量组正交单位化得 将向量单位化得 ，令 则 .为标准形 并写出所用变换的矩阵.解: 先将含有的项配方.=+ =+再对后三项中含有的项配方，则有令 即所作变换为 写成矩阵形式为，变换矩阵为在此变换下二次型化为标准形为 t为何值时，二次