高中数学必修二 6.4.3 正余弦定理的实际运用（精练）（含答案）

1、6.4.3 正余弦定理的实际运用（精练）【题组一 正余弦定理的综合运用】1（2020浙江杭州市高一期末）已知的内角，的对边分别是，且（1）求的大小；（2）若的面积等于，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），由余弦定理得，（2）因为，所以，又，故，于是，所以2（2020霍邱县第一中学高一期末）在中，分别为内角所对的边长，.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）由内角和定理得，因为，故，因为，所以.所以根据正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）由（1）得，所以.3（2020三门峡市外国语高级中学高一期中）已知中，内角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的

2、大小；（2）若边长，求的周长最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），根据正弦定理得，即，由余弦定理得.又，所以；（2），由正弦定理得，可得：，由可得，可得.因此，的周长的最大值为.4（2020四川高一月考（文）已知的内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.【答案】（1）；（2）有最大值，此时为等腰三角形.【解析】（1）由正弦定理及已知得到，又，所以，从而，所以，又在中，所以.又，所以.（2）由（1）及正弦定理知道，所以，.所以.因为，所以.从而.因为，所以当时，有最大值，此时，为等腰三角形.5（2020江苏泰州市兴化一中高一期中）

3、已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.（1）求角B；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理，得，即，又，又得.（2）在中，由正弦定理，.6（2020安徽和县高一期末（理）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，由余弦定理得又为的内角，所以. （2）由正弦定理得，即有，. 所以因为，所以，所以，所以即.故的取值范围为7（2020浙江高一期末）在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】

4、（1），结合余弦定理，可得：，又，（2）因为，所以，所以，所以是锐角三角形，所以，解得,综上，的取值范围是8（2020浙江高一期末）在中，角，的对边分别为，.（）求角的大小；（）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】（）因为， 由正弦定理可得，即为.由余弦定理可得，因为，所以.（）在中由正弦定理得，又，所以，所以， ，因为为锐角三角形，所以，且，所以且，所以且，所以，所以，所以周长的取值范围是.9（2020四川省成都市盐道街中学高一期中）已知、为的三内角，且其对边分别为、，若（1）求（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理可得：，（2）由，

5、由余弦定理得，即有，故的面积为10（2021湖南益阳市高二期末）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若_，求的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1），由正弦定理可得，又，又由已知，由（2）若选择，由余弦定理得：，若选择，由余弦定理得：，整理得：，解得：，或（舍去），若选择，则，由正弦定理得：，【题组二 正余弦定理与三角函数综合运用】1（2020浙江）已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）中，的对边分别为，已知，求，的值.【

6、答案】（1）最小正周期为；最小值为.（2），【解析】（1）.所以的最小正周期，的最小值为.（2）因为，所以，又，所以，得，因为，由正弦定理得，由余弦定里得，又，所以，.2（2020河南新乡市）已知函数f(x)=3sinxcosx-cos2x-12（1）求函数y=f(x)在0,2上的最大值和最小值；（2）在C中，角、C所对的边分别为a、b、c，满足c=2，a=3，f()=0，求sin的值【答案】（1）最大值为0，最小值为-32；（2）sin=32114【解析】（1）f(x)=3sinxcosx-cos2x-12=32sin2x-12cos2x-1=sin(2x-6)-1（3分） x0,2， 2x

7、-6-6,56， sin(2x-6)-12,1， f(x)-32,0所以y=f(x)的最大值为0，最小值为-32（2）因为f()=0，即sin(2-6)=1 (0,)， 2-6(-6,116)， 2-6=2， =3又在C中，由余弦定理得，b2=c2+a2-2cacos3=4+9-22312=7，所以C=7，由正弦定理得bsin=asin，即7sin3=3sin，所以sin=321143（2021柳州市第二中学高二期末（理）已知函数，.（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角，的对边分别为，且，若向量与共线，求，的值.【答案】（1）函数的最小值为，最小正周期为；（2），.【解析】（1）由

8、于函数，故函数的最小值为，最小正周期为.（2）中，由于，又，所以，.又向量与共线，所以.由正弦定理得，且.故有，化简可得，又，.又，可得，解得，.4（2020江西南昌市高一月考）已知，函数.（）求函数零点；（）若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（）由条件可知，所以函数零点满足,由，解得 （）由正弦定理得，由（），而，得，又，得，代入上式化简得： 又在锐角中，有，则有，即：.5（2021江西新余市高三期末（文）已知函数中，角的对边分别为，且（1）求的单调递减区间；（2）若，求三角形中的值【答案】（1）；（2）.【解析】(1)依题又故的单调递减区间为(2

9、)由题意知，又，故，依题意，在三角形中，由余弦定理故.6（2020全国）已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，求求的值；求.【答案】（1），；（2），；.【解析】解：（1），最小正周期因为，所以，所以所求函数的单调递减区间为（2）因为，又，所以，所以，又因为，由正弦定理可得，由可得，由正弦定理可得，所以，又所以所以7（2020山东）已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1由解得：，故函数的单调递增区间为（2），又，又，在中，由正弦定理得：

10、，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：【题组三 正余弦定理在几何中的运用】1（2020湖北武汉市高一期末）如图，在中，点在边上，（）求边的长；（）若的面积是，求的值【答案】（1）2（2）【解析】（）在中，设，则由余弦定理得：即：，解之得：即边的长为2（）由（）得为等边三角形，作于，则，故 ，在中，由余弦定理得：在中由正弦定理得： ，2（2020江西）如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1, CD3，cos B.(1)求ACD的面积；(2)若BC，求AB的长【答案】(1) ；（2）4.【解析】(1)因为D2B，cos B，所以cos Dcos 2B2cos2B1.因为D

11、(0，)，所以sin D.因为AD1，CD3，所以ACD的面积SADCDsin D13.(2)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcos D12，所以AC2.因为BC2，所以，所以AB4.3（2020湖北省崇阳县第一中学高一月考）在中，D为上一点，.（1）求角B；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）在中，所以因为，所以，在中，由余弦定理得，所以.4（2020四川绵阳市三台中学实验学校高一开学考试）如图，在中，角，的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若，点、在的异侧，求平面四边形面积的最大值. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）

12、因为，且，所以，在中，,所以,所以，所以 因为在中，所以 因为是的内角所以.（2）在中，因为是等腰直角三角形，所以，所以平面四边形的面积 因为，所以 所以当时， 此时平面四边形的面积有最大值5（2020福建泉州市高一期末）在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由题，在中，根据正弦定理，因为，所以，（2）由（1）可知，中，中，解得或（舍，的面积【题组四 正余弦定理在实际生活中的运用】1（2020黑龙江大庆市铁人中学高一期末）如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，且，则建筑物的高度为（ ）ABCD【答案】B【

13、解析】由题意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：.故选：B.2（2020眉山市彭山区第一中学高一期中）中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）ABCD【答案】B【解析】如图，由题意，在中，即，（米/秒）故选B3（2020邵东市第一中学高一月考）如图所示，在山底A

14、处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=（ ）A500米B1500米C1200米D1000米【答案】D【解析】依题意，过点作于，于，米，米，依题意，在中，在中，在中，米，米，故选：D4（2020雅安市教育科学研究所高一期末）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且C120，则A，B两点间的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得 ，所以故选A【解题必备】当的长度不可直接测量时，求，之间的距离有以下三种类型（1）如图1，A，B之间不可达也不可视，计算

15、方法：测量，及角，由余弦定理可得 （2）如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量，角，角，则，由正弦定理可得（3）如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求 图1 图2 图35（2020成都市实验外国语学校（西区）高一期中）如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为_分钟.【答案】【解析】由题意知：，则在中，利用余弦定理知：，代入数据，得，解得：，则从到所用时间为，则，即.故答案为：.6（20

16、20和县第二中学高一期中（文）和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是_.【答案】30【解析】设塔高，在中，由已知可得，在中，由已知，在中，由余弦定理可得，即，解得（负值舍去）故答案为：307（2020广东云浮市高一期末）在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是_千米【答案】【解析】由题设可知，在中，所以，由正弦定理得，即，解得故答案为：.8（2020山东济宁市高一期末）如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，则两景点B与C的距离为_km.【答案】【解析】在中，因为，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因为，所以，由正弦定理得： ，所以.故答案为：9（2020山东临沂市高一期末）如图，在四边形ABC