暑假平面几何讲义四点共圆

1、2014年暑期平面几何讲义：四点共圆(教师版)2014年暑期平面几何讲义：四点共圆(教师版)17/172014年暑期平面几何讲义：四点共圆(教师版)四点共圆文武光彩数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点A、B、C、D,若AD,则A、B、C、D四点共圆方法二线段AC、BD交于E,若AEECBEED,则A、B、C、D四点共圆方法三线段AC、BD交于E,若AEBECEED,E则A、B、C、D四点共圆方法四：若四边形ABCD,AC180，A则A、B、C、D四点共圆方法四、已知AD是ABC内角或外角均分线，ABAC,且BDDC,则DA、B、C、D四点共圆ABDA证明设AD

2、ADsinBsinCBAD,因为DBDC,所以sinBADsinCAD，所以sinBsinC，C内角时BC180,外角时BC，所以A、B、C、D四点共圆托勒密定理：OCOTolemy(托勒密定理）C若四边形ABCD是圆O内接四边形,则AD?BC+AB?CD=AC?BDB证明在AC上取点E,使EDC=ADB,因为ABD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD?BC+AB?DC=AE?BD+BD?CE=AC?BD例1、已知点D、E在ABC内，ABDCBE,BAECAD.求证ACDBCE.AQA证明(一)（文武光彩数学工作

3、室南京潘成华）作E关于BC、AB、AC对称点P、R、Q,易知BRDBPD,ARDAQD,于是DPDDQ,RDR所以DCPDCQ,DPCDQCD,从而BCEACD.获取证明（二）作EDBCABE获取BDS外接圆交AD延长线于S,可知ASCE,CABEASC,所以ABSAEC,得C到ACEASBDSB,BBP所以BCEACD.A南京潘成华）E是ABC内一点，点例2、已知（文武光彩数学工作室D在BC上，且BAEDAC,EDBADC.则AECBED180DECB证明先证明ABBE,过E作AB、AC、BC垂线EF、EG、EL交AB、AC、BC分别ACEC于F、G、L，直线EL、AD交于J,取AF中点K,

4、易知B、F、E、L四点共圆，FLE、G、C、L四点共圆，所以ABsinCBEFLCE(1),(B、C是ABC的内ACsinBLGLGBECE角)，因为EDBADC，所以ELLJ,于是KL/AJ,易知A、F、E、G四点共圆，圆心是K，BAEDAC,所以ADFG,从而KL/FG，获取KL是FG中垂线，所以FLLG，(1)得ABBEACEC下边我们证明AECBED180，因为sinAECACsinEAC,AEsinBAEABsinBAE,两式相除得sinAECsinEACsinBADBEsinBAEsinBAEsinDACABsinBADECBDECsinBED,因为ACsinDACBECDBEsi

5、nDECAECBAEBEDDEC360所以，AECBED180证明（二）在AB取H,使得AHBPDB,所以AHPADC,从而获取AHDAPC,易知H、P、D、B四点共圆，所以APCBPDBHDAHD180HA例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答P已知，D是ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足12，34。求证：PBAB。PCACBD证明作BPD、CPD外接圆交AB、AC分别于H、I，易知AHPADC,所以AHDAPC，所以ACADABD,从而获取ABPPCDH（1）,易知APIADI,所以ABAD（2）,易知A、H、P、I四点共圆，所以BPDIAHIAPIABC,所以HI/B

6、C,IHDHDB3HDP3HBP4ADIIDCHID,所以HDID,从而依据（1）、（2）获取PBAB。PCAC例4、已知ABC是锐角三角形，AD是BC边上中线，H是ABC垂心，HIAD于点I，求证B、C、H、I四点共圆AA证明（一）：延长AD到G使得AD=DG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为CHAB，BHAC,所以HBGHCG90,获取I、B、G、C、H，所以IHHB、C、H、I四点共圆ABDBDCIHFCCG证明（二）HACHBDBFD,所以FD是(AIHF)切线，所以DC2FD2DIDA,所以DICDCA,获取DCADACBHI,所以B、C、H、I四点共圆第四题、第51届波兰数学奥

7、林匹克，1999例5、已知在ABC中，ABAC,点P在ABC内部，点D是BC中点，CBPACP.求证BPDAPC180.证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）设ACPx,ABPy,BPD,DPC,APB,APC,因为BDCD,可知，可APAPsinysinxBPsinPCsin知sinysinsinxsin,（1），ABAC,可知sinsin获取sinysinsinxsin（2），依据（1）、（2）得sinsin180，即BPDAPC180。sinsin证明(二)（文武光彩数学工作室潘成华给出）延长CP交以A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G,FACPPBC,所以GPCB,于是G在A

8、上，PFGPBC,所以APFDPB,可知APFBPD,即BPDAPCAPFAPC180,得证例6、已知M是ABC边BC中点，AM交ABC外接圆O于D,过点D作DE/BC交O于E,在AD上取点F,使得FCAC.求证AFCEFC证明(一)（文武光彩数学工作室以ABEC是调停四边形，易知直线南京潘成华）因为DE/BC,AE、过点B、C切线共点，获取点M是BC中点，所MC均分AMC,ECF90ABEOAEPME12EMF,所以C是EMF旁心，从而AFCEFC.证明（二）因为M是ABC边BC中点，所以SABDSACD,获取ABBDACCD,易知BCED是等腰梯形，所以ABCEACBE,依据托勒密定理可知

9、2ABCEABCE+ACBE=AEBC2BMAE,获取ABCEBMAE，ABMAEC,所以ABMAEC，所以EACBAD,可知EABCAD,取AE中点S,同理可得ACSECBBAEDAC,所以CS与AD交点设为N,则N为AF中点，所以CN/EF,于是EFCNCFAFCA证明（三）（田开斌老师）作CJ/BD交AD于J，所以ACJBDCE,JCEBDCBCE,AFC90DAC90DBC90ECBJEC,所以NJSJ、F、E、C四点共圆，因为JCEC,所以AFCBMEFC例7、已知AD是ABC角均分线交BC于D，ABD、ACD、FABC外心分别是BMO1、O2、O,求证O1O=OO2DE证明易知1B

10、ACAFDACO1AB90AO1O90ADC90BOAC2DEOAD，BAO901AOB90CO1O1AO=O2AO（1），又2DAO2,所以O2AOO1ADC、AO2OADB，于是AOO1+AO2OADC+ADB=180，所以OA、O1、O2、O四点共圆，依据（1）获取O1O=OO2BDC证明（二）记ABC三角A、B、C，设直线BO1、CO2交于E，BCECACO2C(90ADC)C(90B1A)BCA,同理EBCBCA,222所以BECE，BOO1ADC、CO2OADB，BOO+COOADC+ADB=18012EA所以E、O1、O2、O四点共圆获取O1O=OO2例8、已知P、O交于A、B,

11、四边形ABCD是平行四边形，C在O上，PFBC交AB于F,直线CF交O于G.O1求证E、G、D、C四点共圆AO2DADK证明DKEC是延长DA交P于点K,连接KE、KB，易知AKBE是等腰梯形，O等腰梯形，CFFGAFFBEFFK,所以K、G、E、PC四点共圆，所以PGOK、G、E、C、D五点共圆,从而E、G、D、C四点共圆FGOBDFC例9、已知O、I分别是ABC外心，内心，求证OIAI的充要条件是ABAC2BC,CBEBE证明延长AI交圆O于D,依据托勒密定理，AB?DC+AC?BD=AD?BC(1),因为OIAI，所以AI=ID,由（1）得：AB+AC)?BD=BC?2DI,因为BID=

12、IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BCCCC此题，若O，I分别是ABC外心，内心，AB+AC=2BC，求证OIAI证明方法是相同的例10、P为ABC外接圆上一点，P在BC、AC上的射影为D、E.点L、M分别是AD、BE中点。证明DELM.证明取AB中点N，连接MN、NL、AP、BP,易知BPDAPE，所以DPBD,PEAE所以DPPEMNNL,可知MNLEPD,所以DELM第十题、已知M是ABC边BC中点，AM交ABC外接圆O于D,过点D作DE/BC交O于E,在AD上取点F,使得FCAC.求证AFCEFC例11、已知（文武光彩数学工作室南京潘成华）O、I外切于S,O弦AB切I于T,点P

13、是AI延长线上一点,求证BPAB充要条件是TSSP.（2014688：49于镇江大港中学）证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）过S作两圆公切线交AT于Q,线段AS、QI交于,TS等价于IR/PS,等价于AIAR,因为RSPAPASQTRQSAABS,获取TR/BS,所以，AIAR等价于AIAT,等价于APASAPAPIT/BP,即BPAB例12、刚才看了一下2014年第5期中等数学数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下已知H是锐角ABC的垂心，以AH、AB为直径的圆交BHC外接圆于D、E,直线AD交BC于G,直线AE、HC交于F,求证GF/BH证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）设

14、BHC外接圆为O,直线AG交O于N,所以H、O、N共线，延长A、M、H、D四点共圆，所以BADDHCCH交AB于点M,易知ANC,所以AB/CN,同理BN/AC,所以ABNC是平行四边形，获取G是BC、AN中点，连接AF交O于J,因为BEAF,可知B、O、J共线，所以OG是AHN、BJC中位线，获取AH、CJ平行且相等，所以F是HC中点，可知GF/BH例13、（文武光彩数学工作室南京潘成华）设ABC周长为2p，AEAFpAC，求证ABC的C旁切圆与ABC外接圆外切。（2014-6-128：56）证明设ABC的C旁切圆切直线EF、AB、AC于D、L、M,AC交AEF外接圆于N,直线AD交ABC的

15、C旁切圆于K,22ADAK,所以AFDAKF,AFAL所以AKFAFDAEF180ANF,所以点K在AEF外接圆外接圆上，因为A是BAF中点，所以点K是两圆的切点，即ABC的C旁切圆与ABC外接圆外切。例14、CDAB于D，H、O是ABC垂心，外心，ODDE交AC于E，求证BACDHE证明(一)CCDK,依据延长CD交O于J,延长ED交BJ于K,依据蝴蝶定理可知DE鸭爪定理可知DHDJ,所以HE/BJ,等腰BACBJDDHE.证明（二）在BD取S使得DSAD,所以SCDACDBCO,设BH、CS交于T,O,依据等角共轭点性质，可知O,又CBODBTCDTBDOCDEHCHEEDBHACD,可知

16、C、D、S、H四点共圆，可知BCDSABDAD例15、第47届IMO预选，2006年KJ如图，在梯形ABCD中，AB/CD,ABCD,点K、L分别在线段AB、CD上，且OAKDL,P、Q分别在直线KL上，且APBADC,CQDBAD.HKBLCTE求证A、D、P、Q四点共圆BASO因为AKDLD证明（一），易知AD、QP、DC共点，设为O,KBLC设AQ交圆(DCQ)于J,CQDBADODC,所以QDJ是圆(QDC)切线，APDADCDJC,所以DJ/AP,DLC所以PADODJAQP,所以A、D、P、Q四点共圆P证明（二）（文武光彩数学工作室E依据潘成华）因为(AK/KB)=(DL/LC),

17、AB/CD,AKB位似知识可知AD、QL、BC的延长线共点，设为E,过点L作LX/AP交ADQ于X,作LY/PB交BC于Y,所以XY/AB,设XL、DQ交于S,LY、QC交于T,DLC依据SP于是Menelaus定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),ST/XY,XTYAKBSQT+SLT=DAB+ADC=180,所以L、S、Q、T四点共圆，Q易知SQL=STL=XYL=ABP=180-APB-BAP=180-ADC-BAPDAP,从而A,D,P,Q四点共圆例16、2012年西部数学奥林匹克几何题已知ABC外心、垂心分别是O、H,

18、ADBC于D,AO中垂线交CB延长线于E.求证AEF外接圆过OH中点.证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）取OH、BC中点AM、K,依据欧拉定理可知AH2OK、AH/OK,所以MFOK、MF/OK,所以MKOFAF,又易知MDMK,所以AFMD,所以AFMD是等腰梯形，可知A、F、M、D四点共圆，因为A、F、E、D四点共圆，所以M在AEF外接圆上,F即AEF外接圆过OH中点M.例17、已知两齐心圆，从大圆上一点A作AB、AC切小圆于B、C,OAE2M直线AC交大圆于D.求证BEHDE2CE证明（文武光彩数学工作室南京EDKC潘成华）设两圆圆心BO,延长AB、AC交AB、AC分别交大圆于S、D,

19、所以BC是ASD中位线，DAEDSEBEC,BSEADE,所以ADEESB,所以AEDEDEAE2BE2BE2BEBEBSDC,所以DE2DC2,结论等价于DC2CE，等价于DC2BECE,因为DC2DO2OC2EO2OC2BECE得证例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题）已知如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且ADCEDBAE过点D、E分别作AC、AB的平行线交过点A作ABC外接圆的切线分别于H、I,延长直线DE交ABC外接圆于F、G求证（1）H、F、G、I四点共圆，(2)BC是（HFG）切线证明因为HG/AC,AD/EI,因为ADHCE，所以直线DH、EI交点必在BC上DBAE设

20、为J,ABCIACAAHJ,所以A、H、B、J四点共圆，同理A、I、C、J四点共圆ADDBHDDJIGDDF所以H、F、J、G四点共圆同理I、F、J、G四点共圆，于是H、F、G、I四点共圆，AJBACBHABAIJ,所以BC是GE（HFG）切线DF例19、已知AB、AC分别是圆O两切线、B、C是切点，CD均分ACB,交AB于D,DF切O于E,交BC延长线于F.BJC求证BC3CFADHE证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）连接AO交BC于I,BE、DO交于,设线段CD交O于H，易知I、K分别是BC、BE中点，A、H、I、O共线，依据配位中线知识可知ECDBCK,所以ECAHCB,又BECBHC

21、,所以EKCHBCHCBECB,从而BE2KE2EC,又ECFBFE,获取BF2EF4CF,即BC3CF.证明（二）ED2DHDCDKDO,所以DKEDCO,DKHDCO,所以HKEHBC,所以HKEHBC,可知于是BKHCEH,获取CEBKKE,下边同证法（一）例20、回答广州陈泽桐老师几何题已知J是ABC的A旁切圆，D、E是切点，点F是DE延长线上一点，CF交AB于G.则FCAB的充要条件是FGABFGACBCAA证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）设JC、DE交于S,BS延长线交直线AE于R,CS交直线AD于点T,三角形三角A、B、C,依据Menelaus定理ADGFCE1,DGCFAE

22、所以CFCE,ABAB,CSE901ABC=DBJCDCJ所以FGDGACBCAEBD2F四点共圆，可知,可知G定理,B、S、J、DBSCS,依据MenelausBSSRBEGERADBS,所以ERBDF,ABABABSsinC,ABBDC1ACBCAEBDDARJsin(B2BSREC)2RDFCJABECsinC(1)成立的充要条件是2C)，FGACBCDGsin(B2TTCECECJCsinCJC,FGAB等价于JCsin11,DGJCDG2DGDGTGGCTsin(AC)2即ECsinCsinC依据（1）结论成立22C)DGsin(AC)sin(B22例21、已知：自O外一点P作切线P

23、A、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。求证：CEEF。证明：联系OA、OBO，作OMCD于M。由垂径定理知CMMD。由OAPOBPOMP90，得A、B、M都在以PO为直径的圆上，即P、A、M、B四点共圆，ABMAPM。而CE/PA，得APMECM由此ABMECM，推出B、C、E、M四点共圆。得EMC而EBCD，故EMCD，EBC、EM/AD。在CDF中，由中位线逆定理即得ECEF。例22、已知A为O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与O相切于C、D，DEAO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DFFG。B证明：B设AB交O于K，联系OB、CD交于M。则OB

24、垂直均分CD，即M是CD中点。联KM、KD、MF。由2BKMBKBABDBMBO，得K，DDBOACBMKBAO，由此DMKAFEKFD，得CM于是K、M、F、D四点共圆，FF于是DMFGDCA，MF/CAGDKF。因M是DC中点，故F也是DG中点，OEAOA即DFFG。证毕E例23、已知PA、PB是O切线，A、B是切点，PCD是割线，DJ/AP交AB于J,直线JC交AP于I,求证AIPI(2013111121:30)证明作OKPD于K,延长AC、DJ于L,易知A、P、B、K、O五点共圆，可知JDPADPABK,所以B、K、D、J四点共圆，于是AJKCDBCAJ,于是A,易知CKDK,CA/B

25、K所以LJDJ,从而依据相似知识可知AIPI.例24、ABC是等边三角形，AD/BE,BDDE,连接CE,取CE中点F,求证ADF120K证明（田开斌给出）延长ED到K,使得DK=DB,KDADEBDBEADB,所以ADKADB,所以AKABAC,于是DKC1DAB30,KBCDMF,可MDK30,因为AD/BE，所以ADF120X2AD知AD证明（二）上海-leenco林可先生证明：作等边三角形DBY,连接YC交DA延长线于X,连接XB,所以Y是DEB外心，BEY30,EXDB,获取BMABDCBY所以XYBFBX、D、Y、B四点共圆，于是YXD60,获取CFCXY、BE夹角60，可知XYE

26、90,所以YECFEF,于是YDFEDF,ABDEBDBED,YDBE,易知DFEY,获取FDE所以ADF180FDEDBE60，从而ADF120例25、已知ABC中，H、O是ABC垂心，外心，HD/AB交AC于D,HE/AC交AB于E,求证ODOE.AAEENED证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）取BC中点M,连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM,BHC=180-BAC=ADH,HAD=CBH,所以AHDBCH,于是HDNCHN,从而HND=CMH,依据Euler定理，四边形ONHM是平行四边形，获取ONH=OMH,所以OND=OMC=90,所以OE=OD.例26、已

27、知四边形ABCD是O内接四边形，且ABBC,AC、BD交于点J,点I、H分别是ABJ、ADJ外心.ADCD求证AO均分BDAA南京潘成华）BAI=HAD,证明（文武光彩数学工作室IH所以IAH=BAD,(AB/2AI)=sinAJB=sinAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),MIHBBJ所以AIHABD,AIO=90+BAI=90+90-AJB=BJC,AIO=ABD=ACB,JD所以IAO=DBC,同理HAO=BDC,设AO、JH交于点M,OO即证明IM=MH,也就是AIsinIAO=AHsinHAO,等价于(AI/AH)=(sinHAO/sinIAO)=(s

28、inCDB/sinCBD)=(CB/CD),因为(AB/AD)=(BC/CD)，依据（1）结论明显成立CC例27、已知O是ABC外接圆，MN是ABC边BC中垂线所在的弦，DP/AN,MPEF交AB、AC分别于E、F.求证EPFPL明（苏州学生方法）过共线，易知AL=AX,所以M作MLAC于L,MXAB于X,，依据Simson线可知：L、X、DMDL/AN,所以P在直线DL上，M、E、P、X四点共圆，AM、L、F、P四点共圆，MBC=LAM=MXL=MEF=MAB=BAM=MFE=MCB,所以ME=MF,从而PF=PEX证法（三）作MXAB于X,所以ABM=ANM=PDM,PFE易知M、B、D、

29、X四点共圆，所以ABM=XDM,于是OX、P、D共线，易知M、E、P、X四点共圆，所以BME=AEM-ABM=MPX-MDP=DMP,同理CBDCME=DMP,MB=MC,从而MEB?MCF,所以ME=MF,获取PE=PF例28、已知PE、PF是以AB为直径的半圆O两切线，E、F是切点，BE、AF交于D,PB交O于C.求证P、E、D、C四点共圆证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）EDA=EBA+DAB=(1/2)(FOB+EOA)=(1/2)(180-EOF)=(1/2)EPF,PE=PF,所以P是圆（DEF)圆心，所以PE=PD,可知PDE=PED=BAE=PCE,于是P、E、D、C四点共圆

30、例29、如图，AB是圆O的切线，ADE为圆O的割线，D介于A,E之间。M为AO的中点，圆M为ABO的外接圆，BD交圆M于F。求证：EB为M的切线，当且仅当BD=DF。证明：上海曹珏贇先生解答设ADE交圆M于K。由AKO=90,OE=OD知：DK=KEABDAEB=SABDBD2AD=BE2AEBD2SAEBBE2AEADAEADDKEAEK=BE为圆M的切线AD设ADE交圆M于K。由AKO=90,OE=OD知：DK=KE据题意知：ABD=BED,EBK=BAK=ABDBEK据题意知：BEO=EBO=BAO=ABM=ABMBEO于是D,K是对应点，又因为OKE=90，故MDB=90。又因为MB=

31、MF，故BD=DF。证明（文武光彩数学工作室南京潘成华）设AE交M于H,EBOD=2BED=2ABF=AMF,所以BODAMF,可知AFBO=BDAM(1),因为MBO=BOM=AFD,BHBE是切线等价于EBH=BAH,等价于BHD=BDH,所以AFD=ADF,所以BE是EB为M的切线等价ADGMO于BOMDFA,等价于AFBO=BMDF,因为BM=AM,F依据（1）可知BD=DF例30、已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MPMQ。证明：自F分别作BC、AD的垂线，垂足记为S、T，联ST、PQ。易知RtFCSRtEAQ，RtFDTRtEBP，得(FS/EQ)(FC/EA)(FD/EB)(FT/EP)，又SFTPEQ，FTSEPQ。得FTSEPQ，于是QPSSTQ180，从而P、S、T、Q四点共圆。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中点，故M落在线段PS的中垂线上；同理，M也落在线段QT的中垂线上。故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。MPMQ。例31、已知设H是ABC垂心，点D、E、F分别在边BC、CA、AB