《数学分析》试题

1、1.lim+n(n1)n(n1)解：lim2，故1nlim+limn4+nn4nsinnn41原式=.=lim=lim=0.n2x2xln22xln222x哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A卷答案考试科目：数学分析(I)一、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)12nnn4nsin1n4nsin2n4nsinn112nn12n2x22x22.lim=limnxx1-cosx213.limx0 x1x4=lim2=.2sinxln1+xx0 x2xx24.limarcsin(x1x1)x1lnx)arcsin.解：limarcsin(x1x11x1lnx265.设yxx

2、x(x0),求y.yxxx(xxlnx(lnx1)xx1).xa(tsint)dy6.设函数yy(x)是由参数方程确定，求dxya(1cost)t和2dydxt。dydxt21.7.设函数f二阶可导，yf(x1)d2yx1，dx2dy2x1d2y4x14x1f()f()f()解：dx(x1)2x1，dx2(x1)3x1(x1)4x1.系（部、中心、教研室0801出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共6页哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A卷答案二、解答题（每小题8分，共32分）1.已知0a1，a0n+1=ann0，求证an的极限存在并求其极限.nnn解:易知a

3、lima=1.nn单调增有上界1，故由单调收敛定理及lima=lima知n+1n2.讨论函数fxsinxx1ex21的间断点及其类型.解：f(x)5(x1)解:x=0为可去间断点，x=1为第二类间断点.3.求函数f(x)(x4)3(x1)2的极值点与极值。33(x1)2，驻点为x1，不可导点为x1极大值为f(1)0，极小值为f(1)3344.将边长为a的正方形的四个角减去同样大小的正方形后折成一个无盖的盒子，问剪去的正方形边长为何值时,可使合资的容积最大?解：设剪去的小正方形的边长为x，则盒子的容积为aVV(x)x(a2x)2,x0,2令aaaaV(x)12(x)(x)0 xV()0,得稳定点

4、626,且6,所以为极大值点又为一,所以xaa2a3V()6时候,容积最大,为627三、证明题（每小题8分,共16分）1、求证：方程2x2-x2-2=0至少有两个实根.证明：设f(x)2x2x22，则易验证f(0)=-10，由零点定理知f(x)0在-2,0和0,2中各有一个实根.系（部、中心、教研室0801出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共6页哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A卷答案2、设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x)f(x)f(x)，其中123axxxb，证明：在(x,x)内至少存在一点，使得f()0.12313证明:在x，x和x，

5、x上，f(x)分别满足罗尔中值定理的条件,故由罗1223尔中值定理，存在x,x112和2x,x，使得f=f=0，再在23123、证明：当a0时，2a2ln.，上对f(x)使用罗尔中值定理得到在，(x,x)内至少存在一点121213，使得f()0.2a+2aa证明:设fx=lnx，则在a，a+2上fx连续可导，由拉格朗日中值定理可,，综ln.知，存在a，a+2，f=2a22上可得a+2aaln(a2)lna2.又f111a2a，4、已知A和B是两个数集，A是B的子集，求证：supAsupBinfAinfB.x证明：由于AB，故xA，xB，又xB，supB，由上确界的定义可知supAsupB，同理有infAinfB.+5、求证：f(x)x在0，上一致连续.证明：由于f(x)x在0,1上连续，故由一致连续性定理，f(x)在0,1上一致连续，从而在(0,1上一致连续，在1,)上f(x)连续且可导，故对于x，x1,)，在x，x上使用拉格朗日中值定理，1212系（部、中心、教研室0801出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共6页哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A卷答案，1，故有f(x)f(x)(xx)f()，x，x121212，又f()1122x-x，从而f(x)x在1,)上利普希茨连续，故一致连21f(