高考数学资料-椭圆相关的综合问题

1、第PAGE 页码31页/总NUMPAGES 总页数31页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问

2、题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系类型一 中点问题典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.（1）求椭圆的方程和直线的斜率；（2）求面积的最大值.【解析】1）将代入，得， ，椭圆方程为设直线， ， ， 的中点为由得， ，直线经过弦的中点，则， ， （2）当时，由得， ， 点到直线的距离，面积 设，则 求得，所以.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的

3、处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】【福建厦门一中2017届上学期期中，21】（本题满分12分）已知椭圆右焦点是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且（1）求的方程；（2）已知菱形的顶点在椭圆上，顶点在直线上，求直线的方程【解析】（1）设，由抛物线定义，因为，所以，即所以，由椭圆定义得：，所以，椭圆的方程为（2）因为直线的方程为，为菱形，所以，设直线的方程为，代入椭圆的方程为，得，由题意知，设，则，所以中点坐标为，由为菱形可知，点在直线上，所以直线的方程为，即类型二 垂直问题典例2 【天津市部分区2018

4、届高三上学期期末考试】设椭圆的左焦点为，离心率为， 为圆的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，则， 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得 所以椭圆的方程为： . （2）可知椭圆右焦点 （）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l： ，直线，可得： ， ，四边形面积为12. （）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得： ， ，四边形面积为. （iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设， .由得. 显然，且， . 所以. 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以.

5、故四边形面积： .可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12, ). 综上，四边形面积的取值范围为【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】【河北衡水中学2017届高三上学期五调，20】（本小题满分12分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.【解析】（）因为椭圆的右焦点，1分在椭圆上，2分由得，所以椭圆的方程为.4分（）由题意

6、可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，5分当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，7分则，8分又圆心到的距离得，9分又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，10分所以面积，11分令，则，综上，面积的取值范围为.12分类型三 面积问题典例3 设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（）求的值；（）动直线过点，与椭圆交于两点，求面积的最大值.【解析】（）由椭圆的几何性质得，由得，解得.（）由题与轴不重合，设的方程是，由得，即，因直线与椭圆有相异交点，解得或，令，则.当时所求面积的最大值是.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补

7、的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁【举一反三】【吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点， 是上的动点， 为的左焦点.（）求椭圆的方程；（）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.【解析】（）依题意得解得椭圆的方程是（）设设线段中点为 中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形直线的垂直平分线方程为令 得 由 四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.类型四 范围与定值问题典例4 【山东省菏泽市2018届高三上学期

8、期末考试】已知抛物线的焦点为，且过点，椭圆的离心率为，点为抛物线与椭圆的一个公共点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线， （为坐标原点）的斜率分别为， ，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.【解析】（1）由点在抛物线上，得，解得.所以抛物线的方程为，其焦点，设，则由抛物线的定义可得，解得，代入抛物线方程可得，解得，所以，椭圆的离心率，所以，又点在椭圆上，所以，解得， ，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为.由，消元可得，设， ，则， ，而 ，由，得，因为此等式对任意的都成立，所以，即.由题意得点在椭圆内，故，即，解得.【名师指点】对于定

9、值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】【陕西省西安市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆： （）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设， 为椭圆上任意两点， 为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值.【解析】（1）由题意知， ， ，又，所以， ， 所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为.此时，原点到直线的距离为.当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ， .由得则， 则，由得，即，所以，即，所以原点到直线的

10、距离为综上，原点到直线的距离为定值.【精选名校模拟】1【湖北七校联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【解析】（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，的轨迹是以为焦点的椭圆，且， ，的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，直线与椭圆交于两个不同点， ，设， ，则， ， ，又 ， 设，则， ， ，关于在单调递增，的面积的取值范围是.2【河南省南阳市第一

11、中学2018届高三上学期第八次考试】已知椭圆， ， 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上任意一点，且， 构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.(1)求椭圆的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.【解析】(1)由题知，即，得又由，得，且，综合解得.椭圆的方程为.(2)假设以原点为圆心， 为半径的圆满足条件.(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则， 由消去，整理得，设， ，有，又，即，化简得.由求得，所求圆的方程为.(ii)若的斜率不存在，设，则，有， ，代入，得，此时仍有.综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件. 3【河南省商丘市

12、2017-2018学年度第一学期期高三考试】在平面直角坐标系中，已知两点， ，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【解析】（）以题意可得： ,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且所以， 所以轨迹的方程为.（）当直线的斜率不存在时，由，解得，设， .当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则， ，又， ，所以 综上得： 为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分） 4. 已知点是圆： 上任意一点，点与点关于原点对称，线段的

13、垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得，点的轨迹为以为焦点的椭圆，点的轨迹的方程为.（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设联立可得，由求根公式可得假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则即，由解得在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.因此在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.5. 【湖南省常德市2018届高三上学期检测考试（期末）】已知圆的一条直角是椭圆的长轴，动直

14、线，当过椭圆上一点且与圆相交于点时，弦的最小值为.（1）求圆即椭圆的方程；（2）若直线是椭圆的一条切线， 是切线上两个点，其横坐标分别为，那么以为直径的圆是否经过轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）当时， 最小， ，由已知，可知，又点在椭圆上上， 综上，圆的方程为，椭圆的方程为.（2）联立方程，得到，由与椭圆相切，得到，易知，设以为直径的圆经过，设则有，而，由可知， ，要使上式成立，有只有当，故经过定点与.6. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末质量评估数学试题】已知椭圆:的左右焦点分别为， ，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为（）求椭圆的方程；（）过原点

15、且与轴不重合的直线交椭圆于， 两点，直线分别与轴交于点求证：以为直径的圆恒过焦点， ，并求出面积的取值范围【解析】（） ， ， 又点在椭圆上， ， ，解得，或（舍去），又， ，所以椭圆的方程为； （）， ， ， 方法一：当直线的斜率不存在时， ， 为短轴的两个端点，则， ， ， ，则以为直径的圆恒过焦点， ， 当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以， ， 所以直线的方程为， 因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点， ， ，同理，则以为直径的圆恒过焦点， ， 当的斜率存在且不为零时，面积为，又当直线的斜率不存在时， ，面积为，面积的取值范围是 方法二：

16、当， 不为短轴的两个端点时，设，则，由点在椭圆上， ，所以直线的方程为，令得，即点，同理可得点， 以为直径的圆可化为，代入，化简得，令解得以为直径的圆恒过焦点， ， ，又， ,面积为，当， 为短轴的两个端点时， ，面积为，面积的取值范围是7. 【河北省石家庄市2018届高三毕业班教学质量检测】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【解析】（）设的中点为M，在三角形中，由中位线得： 当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6. （）由已

17、知， ，所以椭圆方程为 当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为： 设由得恒成立 设 当即时为定值 当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值 8. 已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点（）求椭圆的方程；（）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；（）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围【解析】（），将点代入，得，所求椭圆方程为（）因为直线与圆相切，所以，即由，得设点、的坐标分别为、，则，所以=，所以=0，故，（）由（）可得，由向量加法平行四边形法则得，（）当时，点、关于原点对称，则此时不构成平行四边形，不

18、合题意（）当时，点、不关于原点对称，则，由，得 即点在椭圆上，有，化简，得，有 又，由，得 将、两式，得 ，则且综合（）、（）两种情况，得实数的取值范围是且9. 【湖北省重点中学联考】已知椭圆的离心率，且经过点.（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围【解析】（1） （2）的斜率不存在时， 的垂直平分线与轴重合，没有截距，故的斜率存在. 设的方程为，代入椭圆方程得： 与椭圆有两个不同的交点，即，即或设的中点则的垂直平分线的方程为在轴上的截距为 设，则，时， 恒成立时， 时的垂直平分线在轴上的截距的范围是10. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期

19、期末考试】如图， 为半圆的直径，点是半圆弧上的两点， ， 曲线经过点，且曲线上任意点满足： 为定值. （）求曲线的方程；（）设过点的直线与曲线交于不同的两点，求面积最大时的直线的方程【解析】（）根据椭圆的定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中， . ， ， ，曲线的方程为；（）设过点的直线的斜率为，则.由得， ，又点到直线的距离， 的面积 .令，则.当且仅当，即时， 面积取最大值.此时直线的方程为或11. 【山东末考试】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分

20、别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】试题解析：（1）由椭圆定义可知， ，直线，故，故椭圆的标准方程为： .（2）设，点，则， ，由，得： ，直线方程为： ，令，则，故；直线方程为： ，令，则，故；因为，故以为直径的圆与轴交于两点，设为，在以为直径的圆中应用相交弦定理得：，因为，所以，从而以为直径的圆恒过两个定点， .12. 【广模拟】已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点， 是椭圆上位于直线两侧的动点.若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；当运动

21、时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.【解析】（1）由题意得抛物线的焦点为， ，椭圆的方程为（2）由题意设直线方程为，由消去y整理得，直线AB与椭圆交于两点，解得设，则，又，当时， 取得最大，即四边形面积的最大值为当时，直线的斜率之和为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，由消去y整理得，同理， ，故直线的斜率为定值13. 【河北省张家口市2018届高三上学期期末考试】过椭圆： 的上顶点作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点， （点， 与点不重合）（）设椭圆的下顶点为，当直线的斜率为时，若，求的值；（）若存在点， ，使得，且直线， 斜率的绝对值都不为，求的取值范围

22、.【解析】（）设， 记直线的斜率为，则由条件可知，直线的方程为，于是消去，整理得， .同理.由，得，于是，即，其中，代入得；（）容易得 ， .由，得，即，整理，得.不妨设，且则有不为的正根.只要解得.的取值范围是.14. 【山东省德州市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆： 的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆： 的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合（）求椭圆的方程；（）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为， 试判断是否为定值，若是，证明你的结论若不是，举反例说明【解析】（）方程为： 即为： 由题意得整理得： ， （舍） 椭圆： （）设

23、直线： ，令得 方程为： 令得 设，则且 即： 所以是定值为15. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆过， )两点(I)求椭圆的方程及离心率；()设点在椭圆上试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】（）由题意得， ， 所以椭圆的方程为 设椭圆的半焦距为，则 ， 所以椭圆的离心率（）由已知，设， 若是平行四边形，则 ， 所以 ，整理得 将上式代入 ，得 ， 整理得 ，解得 ，或 此时 ，或经检验，符合四边形是平行四边形，所以存在 ，或满足题意数学二级结论高考的应用第一结论不动点通法 数列通项放缩问题国一各种数列压轴题 通杀不

24、动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解那么a,b就为Xn不动点不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xna高考里你只需要取大根就好，小根忽视比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范围解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2显然就是证xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回头看这个：即an+1

25、- x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号 a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即题目变成anan+1x3恒成立求x的范围解x3得到答案这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题大学教授，都带有高数味儿得小结论C:y2=2px过x轴上(a,0)点与C相交，存在x1x2=a2无数小题用此结论减免思维强度连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y

26、2) B(x2,-y2) 让你证AB过焦点你想想 x1x2只和a2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊极坐标：秒杀焦点弦我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日日为过F的直线的倾斜角p为焦准距双曲线单支和椭圆一样交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正抛物线r=p/1 -+ cos日（抛物线e=1）以上三者的焦点弦R=r1+r2长为R=|2ep/1-e2

27、cos2日|这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀左加右减套绝对值，同边开负，异边开正举例解释比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a技巧09山东22题告诉我们过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an这种强大的公式不懂你就亏了四面体体积公式V=1/6(abhsin日)a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离

28、，日是对棱的夹角这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀有关立体几何中的开放式问题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图还有这个在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1这个有什么用呢？ 已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系双曲线焦点到渐近线的距离=b过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形则 斜边为c

29、 另一条直角边为b我们来看看圆锥面是一个三角形旋转一周所得意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理举个例子：P要满足A,B,C，求P的方法数画个韦恩图U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）看到图你知道该怎么算了吧P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C两个条件的我就懒得打字啦有关离心率问题 很多命题点在这里椭圆离心率e2=1-(b/a)2双曲线：e2=1+(b

30、/a)2看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关双曲线渐近线方程可设为b2x2-a2y2=0看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 则F1PF2为902.POOF1 则OF1 则，为锐角导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内0【这是一个你死也要记住的不等式链】sqrt(a2+b2)/2=(a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途但是均值

31、不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为设向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad-bc证明可用S=1/2absin日 证平行四边形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量构筑不等关系若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑向量m=(a,c)向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称

32、y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称切记等差数列Sn=(d/2)n2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊等比数列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)a1+a2+a3+.+anb1+b2+bn（通过单项放缩）a1/1-q=题目要求值cos75=1/sqrt(6)+sqrt(2)sin75=1/sqrt(6)-sqrt(2

33、)自己推15的啊。这个我做数学和物理真题的时候遇到过 物理尤其光学题对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f(T/2+nT)=0可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性质比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇注意这种构造法|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+b(n+1)-bn| y0/x0 * k = -b2/a22.和l联立消去x,y （别弄走了k)抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算y2=2px的参数方程(2pt2,2pt)比例性质专业化简啊！分比性质a/b=c/d (a-b)/b=(c-d)/d合分比性质(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧这俩公式 尤其下面的，平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了已知过x轴上一点方程 一定要设为my=x-c为什么？ 它包括了斜率不存在的情况，可以避免讨论对存在性问题，可以从特殊条件出发，