金融工程学（第三版）第10章互换定价

1、第10章 互换定价10.1利率期限结构 10.2零息票利率、远期利率与互换利率 10.3互换定价10.1利率期限结构10.1.1概述利率期限结构（term structure of interest rates）是指在某一时点上不同期限资金的收益率（yield）与到期期限（maturity）之间的关系。利率的期限结构反映了不同期限的资金的供求关系，揭示了市场利率的总体水平和变化方向。10.1利率期限结构10.1.2利率期限结构理论1）预期理论长期债券的现期利率是短期债券预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。预期理论的基本观点如下：（1）期限

2、结构中隐含的远期利率是对未来即期利率的无偏差的估计。（2）在特定的期限内，不同期限策略产生的预期收益率相同。10.1利率期限结构2）市场分割理论贷款者和借款者分割的市场行为基本上决定了收益率曲线的形态。与市场分割理论较为相近的一种变相提法是Franco Modigliani和Richard Sutch（1966年）的优先置产理论。10.1利率期限结构图10-1市场分割理论收益率与到期期限图10.1利率期限结构3）流动性偏好理论投资者在投资决策时都偏好于流动性比较强的证券，所以长期利率必须含有流动性补偿，从而高于短期利率。假设市场参与者预期未来短期利率与当前利率相同，由于远期利率中包含期限溢价，

3、收益曲线就会向上倾斜。根据流动性偏好理论，与投资于短期债券并在每个到期日重新进行短期投资相比，长期债券投资会产生更高的预期收益。图10-2为流动性偏好理论收益率与到期期限图。10.1利率期限结构图10-2流动性偏好理论收益率与到期期限图10.2零息票利率、远期利率与互换利率10.2.1零息票利率1）零息票利率与折现因子的关系VK= （1年以内）（10-1）VK= （1年以上期限）（10-2）其中，K为起息日至参考日的时间；VK为发生于时间K时的折现因子；rK为时间K时的零息票利率。10.2零息票利率、远期利率与互换利率10.2.2远期利率1）远期利率和零息票利率的关系V1= （10-4）V2=

4、 （10-5）10.2零息票利率、远期利率与互换利率VK+1= （10-6）1+= （10-7） = -1 （10-8）fK= （ -1）m（10-9）10.2零息票利率、远期利率与互换利率2）系列远期利率与折现因子的关系VK+1= （10-10）VK=VK+1（1+ ）（10-11）VK= （1+ ）（10-12）10.2零息票利率、远期利率与互换利率由VK+1= ，得到VK= ，VK-1= （10-13）所以有VK= = （10-14）10.2零息票利率、远期利率与互换利率10.2.3互换利率令iK为互换利率，m为每年付息次数。iK= （10-15）10.2零息票利率、远期利率与互换利率1

5、）原理（1）固定利率债券=附息票债券=面额债券（面额债券的到期收益率等于票面利率）。（2）假设买入5年期面额债券的现金流如下：10.2零息票利率、远期利率与互换利率（3）以LIBOR借款为购买面额债券融资的现金流如下：（4）结论：普通的固定利率与浮动利率互换价格即固定利率与面额债券的收益率或息票利率一致。10.2零息票利率、远期利率与互换利率（5）理论上的互换定价等于找到一个恰当的固定利率或息票利率使所有现金流现值抵销为零。（6）P= V1+ V2+ VK+100VK。V1，V2，VK为每次付息日的贴现率；m为每年付息次数；iK为息票利率。10.2零息票利率、远期利率与互换利率（7）平价债券发

6、行之初现值等于面值100，P= ，P为利率期限的现值。将P=100代入上式，等式两边同除以100，有如下结论：iK= （10-16）10.2零息票利率、远期利率与互换利率2）举例已知3年期零息票利率10.5%，求理论上的3年期互换利率。解：V3年= =0.7412V2年= = =0.8190V1年= = =0.9090ik3年= 10.48%10.2零息票利率、远期利率与互换利率3）互换利率扩展将互换利率公式进行变形，可得iK= （10-17） （10-18） （10-19）10.2零息票利率、远期利率与互换利率 （10-20） （10-21） （10-22） （10-23）10.2零息票利率

7、、远期利率与互换利率10.2.4零息票利率、远期利率与互换利率的关系图10-3零息票利率、远期利率与互换利率的关系图10.3互换定价10.3.1对互换定价的理解1）从债券交易的角度理解互换2）从一系列远期合约的角度理解互换3）从一对期权合约角度理解互换10.3互换定价10.3.2互换定价概述互换价格并不是由交易人员随意确定的，而是在所有的互换交易商最终对互换利率的走势达成一致意见的基础上根据基本的套利理论形成的。10.3互换定价1）LIBOR的远期利率曲线如前所述，利率存在着期限结构。借款利率随着借款期限的不同而不同。对LIBOR来说，同样存在着利率期限结构，借款利率将视借款者何时借款和借款期

8、限而定。2）初始条件定价在互换初始时，固定利率的利息支付是明确可知的，但无法确定未来支付的浮动利率。最初的利率互换定价来自于市场定价。互换市场定价即互换价格是根据浮动利率方现金流的现值等于固定利率方现金流的现值来确定的。10.3互换定价3）互换报价在每一给定时刻，对互换价格来说都会存在买价和卖价，交易商将互换差价加到相应的国库券收益率上。此增加额对交易商提供互换服务并承担潜在违约风险提供了补偿。10.3互换定价10.3.3利率互换定价一般而言，K期互换浮动利率一方的支付额现值可用下式计算：PV浮动= （10-24）其中，PV浮动为浮动利率一方的支付额现值；fi-1为从时点i-1至时点i时的浮动

9、利率；Pi为从时点i-1至时点i的名义本金；di为从时点i-1至时点i的天数；Vi为时点i的贴现因子；B为一年的天数。10.3互换定价固定利率的支付额现值也可按同样的方法进行计算： （10-25）其中，PV固定为固定利率一方支付额现值；rK为整个互换期的固定利率。10.3互换定价令固定利率一方支付额现值等于浮动利率一方支付额现值，就可求出固定利率。即：rK= （10-26）其中，PV既是浮动利率一方的支付额现值，也可以是固定利率一方支付额现值。在计算PV时，远期利率可以通过国库券收益率曲线并利用零息票利率与预期利率的关系得到。10.3互换定价10.3.4货币互换定价利率互换定价原理可以扩大到货

10、币互换定价上。首先考虑同一货币的普通互换，互换利率的水平应该使互换的定价公平、合理，即净现值为0。然后用本金的实际交换来取代浮动利息支付流量。这种结构与第二种货币的反向利率互换结构结合起来，形成新的现金流量图。如果本金的兑换是以市场即期汇率为标准，那么两次兑换的本金等值。实际上相当于一个固定利率对固定利率的交叉货币互换。这样就求出了定价合理、可以以两种货币中任何一种来表示的净现值为0的普通货币互换的定价。因此，在固定利率对固定利率的交叉货币互换条件下，以各自货币表示的两种互换利率应该与利率互换条件下的利率相同。10.3互换定价10.3.5商品互换的定价原理在商品互换中，A方同意在时间t1，t2

11、，tn为某商品支付X美元，名义本金为NP单位的这种商品；B方同意在时间t1，t2，tn支付给A方商品的即期市场价格。那么A方在时间t1所得的净收益为：V（t1，t1）=S（t1）-XNP（10-27）10.3互换定价其中，S（t1）是该商品在时间t1的即期价格。将上述净收益V（t1，t1）贴现到时间0，则有： V（t0，t1）=PV0S（t1）-XB（0，t1）NP（10-28）其中，B（0，t1）表示在时间t1的1美元在时间0的价值。在不考虑持有成本和便利收益的情况下，S（t1）的现值就应等于商品在时间0的现价。10.3互换定价考虑一商品的远期合约，其到期日为t1，当合约到期时，远期合约所带

12、来的现金流为：S（t1）-f（0，t1）其中，f（0，t1）为远期价格。那么，该远期合约在时间0的价值为：PV0S（t1）-f（0，t1）B（0，t1）由于远期合约在时间0的价值为0，因此PV0S（t1）=f（0，t1）B（0，t1）。所以有：V（0，t1）=f（0，t1）-XB（0，t1）NP（10-29）10.3互换定价以此类推，可以分别计算出该商品互换在t1，t2，tn发生的净现金流的现值，加总求和后得： （10-30）这个表达式就是该商品互换在时间0的现值，它是由基础商品资产的远期合约和零息债券的价格所决定的。而上述变量在时间0时都是已知的，因此商品互换的价值可以确定。10.3互换定价

13、10.3.6股权互换的定价原理在股权互换中，A方在时间t1，t2，tn支付给B方股票指数的收益，这种收益在时间t1可表示为：R（t1）= -1（10-31）其中，In（t）为股指在时间t的价值；dn（t1）为股票在t0到t1时段所支付的股票红利。10.3互换定价相同的定义适用于t2，t3，tn支付给A方的固定利息R。那么，A方在时间tn的净现金流为： （10-32）此处NP表示名义本金，V（tn，tn）在时间tn-1的现值为： （10-33）其中，B（tn-1，tn）表示时间tn的1美元在时间tn-1的价值。10.3互换定价我们知道，PVtn-1In（tn）+dn（tn）=In（tn-1），即股指及其所支付的股利的现值等于现在的股指价值，因此： PVtn-1R（tn）=PVtn-1-PV=1-