2022年全国一卷理科高考数学模拟试卷(四)解析版

1、12022 年全国一卷理科高考数学模拟试卷(四)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分.考试时间 120 分钟第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数 z 满足 z = ，则| z |= ( )。A 、3B 、 10C 、9D 、10【答案】 A【解析】 z = = 2 5i ，则| z |= 22 + ( 5)2 = 3 ，故选 A。2已知集合 A = 2，0，1，2 ， B = y | y = x 1 ，则 A n B =( )。 A 、2B 、2，0C 、

2、2，0，1D 、1，2【答案】 B【解析】 y = x 1 0 ， B = y | y 0 ， A = 2，0，1，2 ， An B = 2，0 ，故选 B。3等差数列a 前 n 项和为S ，若 a 、 a 是方程x2 8x +1 = 0 的两根，则S = ( )。n n 4 10 13A 、52B 、54C 、56D 、58【答案】 A【解析】由韦达定理得： a4 + a10 = 8 ， a4 . a10 = 1 ，结合等差数列的性质可得：a + a = a + a = 8 ，则 S = 13 = 52 ，故选 A。1 13 4 10 13 24音乐是由不同频率的声音组成的。若音1( do

3、)的频率为 f ，则简谱中七个音1( do )、2 (re )、3 ( mi )、4 ( fa )、9 81 4 3 27 2435 (so ) 、 6 ( la ) 、 7 ( si )组成的音阶频率分别是 f 、 f 、 f 、 f 、 f 、 f 、 f ，其中相邻8 64 3 2 16 128两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述 “七声音阶 ”的台阶只有两个不同的值，记为 a 、b ( a b ) ， a 称为全音， b 称为半音，则下列关系式成立的是( )。 (参考数据： lg 2 必 0.3010 、lg 3 必 0.4771 )A 、 a = 2bB 、 a = b2C

4、、| lg a 一 lg b |想 0.01D 、| lg a 一 2 lg b |想 0.01【答案】 D9 256【解析】由题意知 a = ， b = ，显然 A 、B 错误，8 243由| lg a 一 lgb |=| lg 9 一 lg 256 |=| 7 lg3 一 11lg 2 |必 0.0287 0.01 ，C 错误，8 243而| lg a 一 2 lgb |=| lg 9 一 2 lg 256 |=| 12lg3 一 19lg2 |必 0.0062 想 0.01 ，D 正确，故选 D。8 2435函数 f (x) = sin .x | x2 的图像大致为( )。A 、 B、

5、C、 D、【答案】 A【解析】 几 一 x2 0 ， 一 几 共 x 共 几 ， f (x) = = sin(几x) . 几 一 x24 ， f (一x) = 一f (x) ， f (x) 是奇函数，故排除 CD，又 f (1) = 0 ，故排除 B，故选 A。6某公司为了调查产品在A 、B 、C 三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个 城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有( )。A 、 6 种B 、18 种C 、 24 种D 、30 种【答案】 D23【解析】 4 人不同组合方案有：若甲、乙各自单独为一组，有A3 = 6 种， 3若甲与丙、

6、丁之一为一组，有C1A3 = 12 种， 2 3若乙与丙、丁之一为一组，有C1A3 = 12 种， 2 3故不同的派遣方法有30 种，故选 D。(|x 一 y +1 07已知实数x 、 y 满足不等式组|l 一 3 0 ，若 x2 + y2 的最大值为m ，最小值为n ，则m 一 n = ( )。25A、217B、2C 、8D 、9【答案】 B【解析】 z = x2 + y2 表示可行域中的点到原点距离的平方，max由图可知点B(2，3) 到原点的距离最大， m = z = 13，原点到直线x + y 一 3 = 0 的距离为可行域中点到原点距离的最小值，设距离为d ，则d = | 一3 |

7、， n = d2 = 9 ， m 一 n = 17 ，故选 B。2 2 28在 编ABC ， 三A = 120o ， AB . AC = 一3 ，点G 是编ABC 的重心，则| AG | 的最小值是( ) 。2A、32B、36C、35D、3【答案】 C【解析】设 BC 的中点为D ，点G 是编ABC 的重心， AG = 2 AD = 2 人 1 (AB + AC) = 1 (AB + AC) ，3 3 2 3再令| AB |= c ，| AC |= b ，则 AB . AC = bc . cos120o = 一3 ，解得bc = 6 ，431 1 1 1 2 | AG |2 (AB AC)2

8、(| AB |2 | AC |2 2AB AC) (c2 b2 6) (2bc 6) ，9 9 9 9 3 | AG | ，当且当b c 6 时取等号，故选 C。69在长方体ABCD A B C D 中， AB AD 2 ，AA 2 ，则异面直线AB 与 BC 所成角的余弦值为( )。 1 1 1 1 1 1 16A、63B、32C、35D、6【答案】 C【解析】由题意面出图形，如图所示，连接AD 、 B D ，则 AD / BC ，1 1 1 1 1 B AD 即为 AB 与BC 所成的角，1 1 1 1在 B AD 中， AB AD 6 ，B D 2 ，1 1 1 1 1 1由余弦定理得c

9、os B AD ，6 6 4 21 1 2 6 6 32故异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值为 ，故选 C。1 1 310将函数 f (x) 2 sin x 的图像向右平移 个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的 6( 0 )倍(纵坐标不变)，得到函数 g(x) 的图像， 若函数 g(x) 在区间( ，) 上是增函数， 则 的取值范围1 6 3是( )。1A 、 (0，2B 、 (0，2C 、 (2，3)D 、3， )【答案】 B【解析】将函数 f (x) 2 sin x 的图像经过变化后得到g(x) 2sin(x ) 的图像，6 2令 2k x 2k ( k Z )，即 2

10、k x 2k ( k Z )，2 6 2 3 35 g(x) 在 (几，几) 上是增函数， Ox =(几O，几O) ，又T = 2几 2人( 几 - 几) = 几 ， O 共 6 ，6 3 6 3 O 3 6 3| 6 - 3( 几O 几令k = 0 时|l 共 ，解得0 想 O 共 2 ，当 k 丰 0 且k = Z 时，不符合题意，故选 B。11已知双曲线C ： x2 - y2 = 1 (a 0 ，b 0 )的左、右焦点分别为F 、F ，过 F 的直线与双曲线C 的 a2 b2 1 2 2右支交于M 、 N 两点，若| MN|=| MF | ，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )。1A

11、、 (1，3)B 、 (1，5)C 、 (1，3)D 、 ( 5，3)【答案】 B【解析】如图，由双曲线的定义知|MF | - | MF |= 2a ，1 2 | MN |=| MF | ， | MN | - | MF |= 2a ，即| NF |= 2a ，1 2 2而| NF | - | NF |= 2a ， | NF |= 4a ，1 2 1在 编NF F 中， | F F |= 2a ，设三F NF = 9 ，1 2 1 2 1 2由于| MN |=| MF | ，则 0 想 9 想 几 ，1 2由余弦定理得： (2c)2 = (4a)2 + (2a)2 - 2人 4a人 2a . c

12、os9 ，即 (c )2 = 5 - 4cos9 ，0 想 cos 9 想 1，1想 ( c )2 想 5 ，即1想 e 想 5 ，故选 B。a a12已知函数 f (x) = ex - ln(x + a) ( a = R)有唯一的零点x0 ，则( )。1A 、 - 1 想 x 想 -0 21 1B 、 - 想 x 想 -2 0 41C 、 - 想 x 想 04 01D 、 0 想 x 想0 2【答案】 A【解析】 f (x) = ex - ln(x + a) 有唯一的零点可转化为g(x) = ex 与h(x) = ln(x + a) 由唯一的交点，6要想 f (x) 有唯一的零点x ，则 f

13、 (x) 在x = x 处取得极小值，且f (x ) = 0 ，0 0 0则交点坐标(x ，y ) ， f (x) 的定义域为(一a，+ w) ，0 0 x + a x + a 0f ,(x) = ex 一 1 ，则 ex0 = 1 且ex0 = ln(x + a) ，0即 ex0 = ln 1 = 一x ，构造出新的函数w(x ) = ex0 + x ，ex0 0 0 0则 w,(x ) = ex0 +1 0 恒成立，w(x ) 是单调递增函数，0 01 1 1 1 1又 w(一1) = 一 1想 0 ， w(一 ) = 一 0 ，根据零点存在定理可知 一 1 想 x 想 一 ，故选 A。e

14、 2 e 2 0 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知平面向量a 、b 的夹角为150 ，且| a |= 3 、| b |= 2 ，则|2a + b |= 。【答案】 HYPERLINK l _bookmark1 2【解析】 | 2a + b |= (2a + b)2 = 4a2 + 4a . b + b2 = 4 = 2 。14 (x + y) . (x 一 y)8 的展开式中x2 . y7 的系数为 (用数字作答)。【答案】 20【解析】 (x 一 y)8 展开式的通项公式为： Tr +1 = C . x8一 r . (一1)r . yr ，则 x . (

15、x 一 y)8 的通项公式为： C . x9一 r . (一1)r . yr ，令 r = 7 ，则x2 . y7 的系数为C . (一1)7 = 一8 ， 则 y . (x 一 y)8 的通项公式为： C . x8一 r . (一1)r . yr +1 ，令 r = 6 ，则x2 . y7 的系数为C . (一1)6 = 28 ， (x + y) . (x 一 y)8 的展开式中x2 . y7 的系数为一 8 + 28 = 20 。15已知抛物线C ： y2 = 4x ，其准线与 x 轴交于点M ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于A 、 B 两点，1 1记直线MA 、MB 的斜率分别为k

16、、k ，则 + 的最小值为 1 2 k 2 k 21 2。【答案】 2【解析】 F (1，0) 、 M (一 1，0) ，设 A(x ，y ) 、 B(x ，y ) ，直线 AB 的方程为x = my +1 ，1 1 2 2(x = my +1联立ly2 = 4x 得： y2 一 4my 一 4 = 0 ， y1 + y2 = 4m 、 y1 . y2 = 一4 ，1 x + 1 my + 1+ 1 2 = 1 = 1 = m +k y y y1 1 1 1 1 + 1 = (m + 2 )2 + (m + 2 )2k 2 k 2 y y1 2 1 21 x + 1 my + 1+ 1 2、

17、= 2 = 2 = m + ，k y y y2 2 2 2= 2m2 + 4m( + ) + 4( + ) y y y2 y21 1 1 11 2 1 2= 2m2 + 4m . y1 + y2 + 4 . (y1 + y2 )2 一 2y1 . y2 y1 . y2 y . y7整理得： an = 4 ，数列a 是首项为4 、公比为4 的等比数列，a = 4n ；a n nn一11 14m 16m2 + 8= 2m2 + 4m . + 4 . = 2m2 + 2 ，一 4 161 1当且仅当m = 0 时， + 的最小值为 2 。k 2 k 21 216已知 A 、B 、C 、D 四点在同一

18、个球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，当编ABC 、编ACD 与编ADB 面积之和的最大值为32 时，该球的表面积为 。【答案】 64几1 1 1 【解析】设 AB = x 、 AC = y 、 AD = z ，则 编ABC 、 编ACD 与编ADB 面积之和为 xy + xz + yz ，2 2 21 1 1故 xy + xz + yz 的最大值为32 ，2 2 2又 1 xy + 1 xz + 1 yz 共 1 ( x2 + y2 + x2 + z2 + y2 + z2 ) = 1 (x2 + y2 + z2 ) ，2 2 2 2 2 2 2 21当且仅当x = y = z 时等号成

19、立，即 (x2 + y2 + z2 ) = 32 ，即 x2 + y2 + z2 = 64 ，2 A 、 B 、 C 、 D 四点所在的同一个球即以AB 、 AC 、 AD 为邻边的长方体的外接球，该球的直径2R = x2 + y2 + z2 = 8 ，则该球的表面积 S = 4几R2 = 64几 。球三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (12 分)已知数列a 的前n 项和为S ，且满足 S = (a 一 1) ， n 仁 N 。4n n n 3 n +(1)求数列a 的通项公式； n(2)令b = log a ，记数列 的前 n 项和为

20、T ，证明T 想 。n 2 n (b 一 1)(b + 1) n n 2n n4【解析】 (1)当n = 1 时，有a = (a 一 1) ，解得a = 4 ，1 3 1 14 4 4当 n 2 时，有S = (a 一 1) ，则： a = S 一 S = (a 一 1) 一 (a 一 1) ，n一1 3 n一1 n n n一1 3 n 3 n一1(2)由(1)有b = log a = log 4n = 2n ， n 2 n 21 1 1 1 1设 c = = = ( 一 ) ，n (b 一 1)(b + 1) (2n 一 1)(2n + 1) 2 2n 一 1 2n + 1n n则数列 的前

21、n 项和：1 分3 分5 分6 分8 分1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1T = c + c + . . . + c = ( 一 ) + ( 一 ) + . . . + ( 一 ) = (1 一 ) ， 10 分n 1 2 n 2 1 3 2 3 5 2 2n 一 1 2n +1 2 2n +11 1 1 1又n = N+ ，则 2 (1 一 2n + 1) 想 2 恒成立，故Tn 想 2 。12 分18 (12 分)如图所示， 在四棱锥P 一 ABCD 中，AB / CD ，三ABC = 几 ，三PDC = 几 ，AB = 2BC = 2CD = 4 ，PD = 2 2 ，2 2PA

22、 = 4 ， E 为 PC 的中点。(1)求证： AD 平面 PBD ；(2)求直线 AE 与平面PBD 所成角的余弦值。【解析】 (1)AB / CD ， 三ABC = 几 ， AB = 2BC = 2CD = 4 ，2 AD = BD = 2 2 ， AB2 = AD2 + BD2 ， AD BD ，在编ADP 中， PD = 2 2 ， PA = 4 ， AP2 = AD2 + PD2 ， PD AD ，又 PD 、 DB 仁平面PBD ， PD n DB = D ， AD 平面PBD ；2 分3 分4 分(2)由(1)得PD AD 、 PD CD ， AD n CD = D ，又 AD

23、 BD ， PD 平画ABCD ，以 D 为坐标原点， DA 、DB 、 DP 为x ， y ， z 轴如图建立空直角坐标系， 5 分 D(0，0，0) 、 A(2 2，0，0) 、 B(0，2 2，0) ， C(一 2，2，0) ， P(0，0，2 2)，2 2又 E 为 PC 的中点，则E(一 ， ，2 ) ，2 26 分5 2 2由图可知平面PBD 的法向量为n = (1，0，0) ，又AE = (一 ， ，2 ) ，2 28 分设直线AE 与平面PBD 所成角的平面角为9 ，5 2则sin 9 =| cos 想 AE，n |=| 一 2 |= 30 ， 11 分5 2 2 6(一 )2

24、 + ( )2 + ( 2 )22 26则cos 9 = 1 一 sin 2 9 = 。 12 分619 (12 分)89插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景、造园等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的意识， 增加团队凝聚力，某高校举办了以“魅力校园、 花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10 名专业教师、 10 名非专业教师以及20 名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分。比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和

25、乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示。分数区间 72，84) 84，92) 92，100观赏值 1 2 3(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数)；(2)从40 位评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏 值”高的概率；(3)若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出一个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一 组？请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)。【解析】 (1)设甲组插花作品所得分数的中位数为x ，由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.

26、3 ，在最后三个分数区间的频率之和为0.26 ，故 x 在84，88) 内，且x 84 = 0.5 0.3 ，解得x = 944 必 85.82 ；88 x 0.5 0.26 113 分(2)设“对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高”为事件C ，“对乙组插花作品的观赏值为2 ”为事件A ，“对乙组插花作品的观赏值为3 为事件A ，2 3“对甲组插花作品的观赏值为1”为事件B ，“对甲组插花作品的观赏值为2 ”为事件B ，则：1 2P(B ) = (0.010 + 0.025 + 0.040) 4 = 0.3 ， P(B ) = (0. 110 + 0.040) 4 = 0.6 ，1

27、 214 + 4 3 +1由频数分布表得， P(A ) = = 0.45 ， P(A ) = = 0. 1，2 40 3 405 分事件 A 与 B 相互独立，其中i = 2 、 3 ， j = 1 、 2 ，i j P(C) = P(A B + A B + A B ) = P(A ) . P(B ) + P(A ) . P(B ) + P(A ) . P(B )2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2= 0.45 0.3 + 0. 1 0.3 + 0. 1 0.6 = 0.225 ，10联立直线l 与抛物线C 的方程 2 得： x2 一 3px+ = 0 ，评委对乙组插花作品的观赏值比

28、对甲组插花作品的观赏值高的概率为0.225 ； 7 分(3)由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为：(0.01人 74 + 0.025 人 78 + 0.04 人 82 + 0. 11人 86 + 0.04 人 90 + 0.02 人 94 + 0.005 人 98) 人 4 = 85.6 ，由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得：分数区间72，76)76，80)80，84)84，88)88，92)92，96)96，100频数151214431频率0.0250. 1250.3000.3500. 1000.0750.025乙组插花作品的最后得分约为：0.025 人 74 + 0. 12

29、5 人 78 + 0.3 人 82 + 0.35 人 86 + 0. 1人 90 + 0.075 人 94 + 0.025 人 98 = 84 .8 ， 85 .6 84 .8 ，该校会选择甲组插花作品。 12 分20 (12 分)记抛物线 C ： y2 = 2px ( p 0 )的焦点为 F ，过点 F 的动直线l 与 C 的交点为A 、 B 。当l 的斜率为1时，OA . OB = 一3 。(1)求抛物线C 的方程；(2)若 E(0，1) ， FB = 入AF (1 共 入 共 4 )，求 AB . OE 的取值范围。【解析】(1)抛物线 C 的焦点 F( p ，0) ，直线l 的方程为

30、y = x 一 p ，2 2|y = x 一 p2( p|ly2 = 2px 4设 A(x1，y1 ) 、 B(x2，y2 ) ，则 x1 + x2 = 3p ， x1 . x2 = 则 y1 . y2 = 一 2px1 . 2px2 = 一p2 ， OA . OB = 一3 ， x1 . x2 + y1 . y2 = 一3 ，即 2 一 p2 = 一3 ，解得 p = 2 ，抛物线C 的方程为 y2 = 4x；(2)由(1)知，焦点F(1,0) ，由 FB = 入AF 得： x 一 1 = 入(1 一 x ) ， y = 一入y ， 2 1 2 1由 y = 一入y 得 y2 = 入2 .

31、y2 ，又 y2 = 4x 、 y2 = 4x ，2 1 2 1 1 1 2 21 1 2 1 2故 x = 入2 x ，代入 x 一 1 = 入(1 一 x ) 得x = ，即 A( ， ) ， A(，一 ) ，2 1 2 1 1 入 入 入 入 入当A( ， ) 时，点B(入，一 2 入 ) ，此时 AB = (，一 ) ， OE = (0，1) ，1 2 入2 一 1 2入 + 2入 入 入 入 AB . OE = 一 2入 + 2 ，记 f (入) = 一 2入 + 2 ，则 f ,(入) = 1 ( 1 一 1) ，入 入 入 入1 分2 分3分4分6 分111 1当1 共 入 共

32、4 时， f ,(入) 共 0 ，故 f (入) 在1，4 上单调递减， AB .OE 的取值范围是一5，一 4 ，1 2 入2 一 1 2入 + 2当 A( ，一 ) 时，点 B(入，2 入 ) ，此时 AB = ( ， ) ， OE = (0，1) ，入 入 入 入 AB . OE = ，同理，当1 共 入 共 4 时， AB .OE 在1，4 上单调递增，2入 + 2入 AB .OE 的取值范围是4，5 ，综上， AB .OE 的取值范围是一5，一 4 4，5 。9分11分12 分21 (12 分)1 1已知 f (x) = (e + ) . ln x + 一 x 。e x(1)求函数

33、f (x) 的极值；(2)设 g(x) = ln(x +1) 一 ax + ex，对于任意x 仁 0，+ w) 、x 仁 1，+ w) ，总有 g(x ) e . f (x ) 成立， 求实数a 的 1 2 1 2 2取值范围。【解析】 (1) f (x) 的定义域为(0，+ w) ，f ,(x) = 一 1 一 1 = 一(x 一 e)(x 一1)e ，x x2 x2令 f ,(x) = 0 ，解得x = 或x = e ，1e当0 想 x 想 时， f ,(x) 想 0 ，则 f (x) 在 (0，) 上单调递减，1 1e e当 想 x 想 e 时， f ,(x) 0 ，则 f (x) 在

34、( ，e) 上单调递增，1 1e e当 x e 时， f ,(x) 想 0 ，则 f (x) 在 (e，+ w) 上单调递减，1 1 2 2 f (x) 在x = 处取极小值为f () = 一 ，在x = e 处取极大值为 f (e) = ，e e e e2(2)由(1)可知当x 仁 1，+ w) 时， f (x) 的最大值为f (e) = ，e对于任意x 仁 0，+ w) 、 x 仁 1，+ w) ，总有 g(x ) e . f (x ) 成立，1 2 1 2 2等价于 g(x) 1恒成立， g,(x) = ex + 一 a ，1x +1当a 共 2 时，ex x + 1 ， g,(x) =

35、 ex + 一 a x +1+ 一 a 2 一 a 0 ， x +1 x +1即 g(x) 在0，+ w) 上单调递增， g(x) g(0) = 1 恒成立，符合题意，可取，1 分2 分4 分 5 分7 分8 分12x + 1 (x + 1)2 (x + 1)2ly = 4tly = 1+ sin 9设M (1+ cos 9，1 + sin 9) ，当a 2 时，设h(x) = ex + 1 一 a ，h,(x) = ex 一 1 = (x + 1)2 . ex 一 1 0 ， g,(x) 在0，+ w) 上单调递增，且g,(0) = 2 一 a 想 0 ，则存在x 仁 (0，+ w) 使得

36、g,(x ) = 0 ，0 0 g(x) 在0，x ) 上单调递减，则(x ，+ w) 上单调递增，0 0又 g(x ) 想 g (0) = 1 ， g (x) 1不恒成立，不符合题意，舍去，0综上，实数a 的取值范围为(一w，2 。11 分12 分请考生在第 22 、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目 计分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程 (10 分)在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 的参数方程为 ( t 为参数)，以坐标原点O 为极点、 x 轴的正半轴(x = 3 一 3t为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p2 = 2 2p . cos(9 一 几 ) 一 1。4(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中， 直线l 与x 轴、 y 轴的交点分别为A 、B ，点M 为曲线C 上任意一点， 求MO . MA +MO . MB + MA . MB 的取值范围。2 分【解析】 (1)直线l 的普通方程为