初中数学竞赛专题辅导讲容斥原理

1、初中数学竞赛专题辅导讲容斥原理第1页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一IABABC第2页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一 1.在1到40这40个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有多少个数。第3页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一2.一个体育代表团共有1001名运动员，他们所穿的运动服上的号码两两不同，但都小于2000，证明：至少有一名运动员的号码恰好等于另外两名运动员的号码之和。第4页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一3.将与105互质的所有正整数从小到大排成一

2、列数，求这个数列的第1000项。 第5页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一4.50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？引申：若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？可以得出一个一般的结论： n名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，(1) 问此时还有多少同学面向老师？(2) 其中面向老师的第2002 个（自左至右）同学报数是多少？第6页，共18页

3、，2022年，5月20日，12点36分，星期一 240名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，依次报数，再让报数是3的倍数的同学向后转，接着又让报数是5的倍数同学向后转，再让报数是7的倍数同学向后转，(1) 问此时还有多少同学面向老师？(2) 其中面向老师的第66个（自左至右）同学报数是多少？第7页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一5. 从自然数序列：1，2，3，4，中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留。划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，10 ， 求该序列中第2002个数。2005 是这个序列中的第几个数？ 划去的数从小到

4、大排列，2008 排在第几个数？第2008 个数又是多少？第8页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一6.设S=.求满足下面条件的最小自然数n,使得S的每一个n元子集都含有五个两两互素的数 1，2，3， ，280 第9页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一 7. 平面上有n个点，n3，任意三点不共线，又设自然数kn,（2）如果k n，则可以让每个点都至少与其他k个点用线段连接，但任意三条线段都不能围成一个三角形。（1）如果k n，并且每个点都至少与其他k个点用线段连接，则必定有某三条线段围成一个三角形。第10页，共18页，2022年，5月20日，12点36

5、分，星期一8、平面上有40个点，其中任意三点不共线，如果其中每个点都至少和其余27个点之间有线段连接.求证：必可找到4个点A，B，C，D，它们之中任何两点间都有线段相连接.第11页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一9.某中学初一（1）班48位同学来自全省各地，原来并不全部认识。开学一个月后，每位同学认识班上其他同学都不超过36人，是否一定存在5个人，他们之间两两都相识？请说明理由！ 若每位同学认识班上其他同学的人数都超过36人，问是否一定存在5个人，他们之间两两都相识？请说明理由！第12页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一10.空间中有2m个点，m2

6、，其中任意四点不共面证明：如果这2m个点之间至少连有m2+1条线段，则所连的线段中至少有三条，它们围成一个三角形第13页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一证明 : 在数学归纳法的基础上，应用容斥原理给出证明 当m=2时，m2+1=5，即四个点之间有五条线段相联易知其中必有一个三角形 假设命题对m=k成立，即对空间中的2k个点，其中任意四点不共面，它们之间有k2+1条线段相联，则至少有某三条线段围成一个三角形当m=k+1时，设由2m=2(k+1)个点组成的点集X满足条件:X中的任意四点不共面，X中至少有(k+1)2+l条线段相联下面证明必有三条线段围成一个三角形设a1，a2

7、X，a1与a2之间有线段相联除a2外，与a1有线段相联的点集记为A1；除a1外，与a2有线段相联的点集记为A2第14页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一分两种情形讨论情形1：X-a1，a2中至少有k2+1条线段此时，则因X-a1，a2= 2k，由归纳假设，在X-a1，a2中存在一个三角形情形2：X-a1，a2中至多有k2条线段由容斥原理A1A2= A1+A2-A1A2 以及A1+A22k+1,A1A22(k+1)-2=2k， 即得A1A2(2k+1)-2k=1则以a1,a2，a3为顶点形成一个三角形任取a3A1A2，这表明A1A2第15页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一11.在面积为1的平面图形内任意放入9个面积为的小正方形，试说明：其中必有两个小正方形，它们重叠部分的面积不小于第16页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一 12.对于任何的集合S，设n(S)为集合S的子集个数如果A、B、C是三个集合，满足下列条件： (1)n(A)+n(B)+n(C)=n(ABC)， (2) A=B=100，求ABC的最小值第17页，共18页，2022年，5月20日，12点36分，星期一13. 一个民意调查组织对某一个地区n个居民作调查，这些居民获取新闻主要靠电视、收音机和报纸 三种传播新