利用期望与方差的性质求期望或方差

1、利用期望与方差的性质求期望或方差2022/9/3第1页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一2E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) E (X Y ) = E (X )E (Y ) .数学期望的性质E (aX ) = a E (X ) E (C ) = C 当X ,Y 相互独立时，第2页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一3性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注第3页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一4X

2、Y P -1 0 1但第4页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一5若X 0，且EX 存在，则EX 0。推论: 若 X Y，则 EX EY。证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则由X 0 得：所以证明：由已知 Y - X0，则 E(Y - X) 0。而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) E(Y)。第5页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一6性质2和3性质4例1.设 XN(10,4)，YU1,5，且X与Y相互独立，求 E(3X2XYY5)。 解：由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.第6页，共15页，2022年，5月2

3、0日，13点54分，星期一7例2.(二项分布 B(n,p) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解: 引入则 X X1+ X2 + Xn 是n次试验中的成功次数。因此，这里， XB(n,p)。第7页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一8例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望. 解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为X P0 1 2 3第8页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一9解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.Xi P 1 0第9页，共15页，

4、2022年，5月20日，13点54分，星期一10若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差第10页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一11注意： 1) Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。第11页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一12方差的计算公式常用的公式：证明:第12页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一13例1. 已知 X 的密度函数为其中 A，B 是常数，且 E( X) = 0.5. 求 A，B.(2)设 Y=X2, 求 E(Y), D(Y).第13页，共15页，2022年，5月20日，13点54分，星期一14解: (1)第14页，共15页，2022年，5月20日，1