立体几何几个经典题型

1、立体几何1、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB均分ADC，E为的PC中点，ADCD1,DB221）证明：PA/平面BDE2）证明：AC平面PBD3）求直线BC与平面PBD所成角的正切值2、（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，I）设是的中点，证明：平面；II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离3、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD1图，在正三棱柱（底面是正三角2形，侧棱垂直底面）中，AB2AA1，D是的中点，点E在上，且。（I）证明平面平面（II）求直线和平面ABC1所成角的正弦值。5在四棱锥PABC

2、D中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；P求(1)中的点N到平面PAC的距离EDCAB6、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm。（）、试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；（）、在线段A1C1上可否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。7ABC的底边AB66，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D、以下列图，等腰的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折

3、起到PEF的地址，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积1）求V(x)的表达式；2）当x为何值时，V(x)获取最大值？（3）当V(x)获取最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值8、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧SD上的点。（）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；（）在（）的条件下，侧棱SC上可否存在一点E，使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明原由。答案：立体几何与空间向量解答题(理科)1、【解】证明：设ACBDH，连结EH，在ADC中，由于AD=CD，且DB均分ADC，因

4、此H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH/PA,又HE平面BDE,PA平面BDE,因此PA/平面BDE.（2）证明：由于PD平面ABCD，AC平面ABCD，因此PDAC由（1）知，BDAC,PDBDD,故AC平面PBD(3)解：由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，因此CBH为直线与平面PBD所成的角。由ADCD,ADCD1,DB22,可得DHCH2,BH3222在RtBHC中，tanCBHCH1BH,因此直线BC与平面PBD所成的角的正切值为1。332、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，.则

5、，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，由于平面BOE，因此有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部地域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，因此在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为3、解析：本小题要观察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，观察用空间向量解决立体几何问题的方法，观察空间想像能力、运算能力和推理论证能力。【解】方法一：（）解：由题设知，BF/2a60DCDE且M为CE的中点，因此DMCE.连结MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.（III）而CE平面C

6、DE，因此平面AMD平面CDE.2解：设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.由于CEDE，因此EQCD.由于PCPD，因此PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角.由（I）可得，EPPQ，EQ62.a，PQa22于是在中，EQPPQ3，RtEPQcosEQ3方法二：以下列图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设AB1，依题意得B1，0，0，C1，1，0，D0，2，0，E0，1，1，11F0，0，1，M，1.22（I）解：BF1，0，1，DE0，1，1，于是cosBF，DEBF?DE0011BFDE2?2.2因此异面直线BF与DE所成的角的大小为60.AM11CE1，0，1，AD0，2，0，可得

7、CE?AM0，（II）证明：由12，2CE?AD0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，因此平面AMD平面CDE.u?CE，（III解：设平面的法向量为0），则CDEu(xyz)u?DE0.于是xz，可得，）0令xuyz0.1(111.又由题设，平面ACD的一个法向量为v(0，0，1).因此，cosu，vu?v0013.uv3?13【议论】纯几何方法求角：求角的思路一般是将空间角的计算问题转变成平面角的计算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是想法在其中一条直线上选出一个恰当的点来平移另一条直线，尔后计算其中的锐角或直角；线面角的计算要点是找出

8、直线在平面上的射影，平时需要由直线上的某一点向平面作垂线，求出的应当是一个锐角或直角；面面角的计算平时找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三垂线定理法(利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。)、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便，其规律见后边的【温馨提示】。4、【解】（I）以下列图，由正三棱柱的性质知平面，又DE平面ABC，因此DEAA.DEAE。AAAE=A因此DE平面ACCA，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACCA。2）解法2以下列图，设O使AC的中点，

9、以O为原点建立空间直角坐标系，不如设AA=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)，B（，0，0），C（0，1，），D（，-，）。易知=(，1，0)，=(0，2，)，=(，-，）设平面ABC的法向量为n(x,y,z),则有uuur3xy0n?ABuuur2y2z,解得x=-y，z=-，n?AC0故可取n=(1，-，)。uuur因此，cosn,AD=。由此即知，直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。【议论】本题主要观察面与面之间的关系和线面关系，同时观察空间想象能力和推理运算能力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上表现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步斜线和平面

10、所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、经过解直角三角形求解；向量法规利用斜线和射影的夹角或考PM?n虑法向量，用公式计算sin=(M直线l，P面，是l与平面所成的角，PM?nvn是平面的法向量，有-或=-）226、【解】(1)建立空间直角坐标系ABDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,1)，依题设N(x,0,z)，则(x,1z)，由于NE平面PAC，即，即点N的坐标为(,0,1)

11、，从而N到AB、AP的距离分别为1，.设N到平面PAC的距离为d，QNE是平面PAC的法向量，则d.例9如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm。（）、试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；（）、在线段A1C1上可否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。【解析】本小题主要观察线面关系、直线于平面所成的角的相关知识及空间想象能力和推理运算能力，观察运用向量知识解决数学问题的能力。9、【解】法1：（）连AC，设AC与BD订交于点O,AP与平面BDD1B1订交于点，,连结OG，由于PC平

12、面BDD1B1，平面BDD1B1平面APCOG,OGPC，因此，OG1PCm.2AOBD,AOBB1，因此AO平面BDD1B1，故AGO是AP与平面BDD1B1所成的角.2在RtAOG中，tanAGOOA232，即m1GOm.32因此，当m1时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32.3（）可以推测，点Q应当是AC的中点O，由于II1DOAC,且DOAA，因此DO平面ACCA，11111111111AP平面ACC1A1，故D1O1AP.那么依照三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。例10以下列图，等腰ABC的底边AB66，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，

13、点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的地址，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积1）求V(x)的表达式；2）当x为何值时，V(x)获取最大值？（3）当V(x)获取最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值10、【解】（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，SABC96，SBEFx2SBDC6x25412V(x)6x(91x2)（0 x36）；312（2）V(x)6(91x2)，因此x(0,6)时，v(x)0，V(x)单调递加；6x36时34v(x)0，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)获取最大值126；（3）过F作MFBMBFBEBE,MB2BE

14、1262MFBFPF6BC654942ABBCBD1AB3632cosPFM8472222ACSDPACDSOACACBD4277AC平面SBDACSD()设正方形边长a，则SD2a。又OD2a，因此SOD600,2连OP，由（）知AC平面SBD,因此ACOP,且ACOD,因此POD是二面角PACD的平面角。由SD平面PAC,知SDOP,因此POD300,即二面角PACD的大小为300。（）在棱SC上存在一点E，使BE/平面PAC由（）可得PD2a，故可在SP上取一点N,使PNPD,过N作PC的平行4线与SC的交点即为E。连BN。在BDN中知BN/PO，又由于NE/PC,故平面BEN/平面PA

15、C，得BE/平面PAC,由于SN：NP21：,故SE：EC21：.解法二：（）；连BD,设AC交于BD于O，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如图。设底面边长为a，则高SO6a。2于是S(0,0,6a),D(2a,0,0)C(0,2a,0)，OC(0,2a,0)222226SD(a,0,a)OCSD022故OCSD，从而ACSD()由题设知，平面PAC的一个法向量DS(2a,0,6a)，平面DAC的一个法向量22OS(0,0,6a)，2设所求二面角为，则cosOSDS3,所求二面角的大小为300OSDS2（）在棱SC上存在一点E使BE/平面PAC