高中数学必修二 专题6.6 平面向量的应用-同步培优专练

1、 专题6.5 平面向量的应用知识储备一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.【思考】物理问题中有哪些量是

2、向量？它们与向量的哪些运算相关？【答案】物理中的向量：物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.动量mv是数乘向量.力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.能力检测姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单项选择题（本大题共8小

3、题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021大名县第一中学高二月考）在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】A【解析】，则为钝角，“”“是钝角三角形”，另一方面，“是钝角三角形”“是钝角”.因此，“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件.故选：A.2（2020全国高一课时练习）若,且,则四边形是( )A平行四边形B菱形C等腰梯形D非等腰梯形【答案】C【解析】，四边形是等腰梯形，故选：C3（2021陕西咸阳市高三一模（理）渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头出发北航行到

4、北岸.假设游船在静水中航行速度大小为，东水流速度的大小为.设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）A在东侧B在西侧C恰好与重合D无法确定【答案】A【解析】建立如图如示的坐标系，由题意可得，所以，说明船有轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到达北岸的位置应在东侧，故选：A4（2020全国高一课时练习）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）AB10 C20 D【答案】A【解析】设，的对应向量分别为、，以、为邻边作平行四边形如图，则，对应力，的合力，的夹角为，四边形是矩形，在中，.故选：A5（2021上海市

5、西南位育中学高二期末）若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】,，,的中线和底边垂直，是等腰三角形故选：A.6（2021四川绵阳市绵阳中学高一月考）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，游船正好到达处时，（ ）ABCD【答案】D【解析】设船的实际速度为,和的夹角为，北岸的点在的正北方向,游船正好到达处,则，.故选D.7.在平面直角坐标系中，一个质点M在三个力共同的作用下，从点移动到点（坐标的长度单位：），若以

6、轴正向上的单位向量及轴正向上的单位向量表示各自方向上的力，则有，则的合力对质点M所做的功是（ ）A6000JB1500JCD【答案】B【解析】依题意，的合力为，所以所做的功.故选:B8（2021全国高三专题练习（理）已知O为四边形所在平面内的一点，满足，则四边形一定为（ ）A正方形B矩形C菱形D等腰梯形【答案】B【解析】由可得：，即,所以四边形为平行四边形，由得：，即，因为，所以，所以又四边形为平行四边形，所以，所以，所以四边形为矩形，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9（20

7、21江苏高一）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若，与的夹角为则以下结论正确的是（ ）A的最小值为B的范围为C当时，D当时，【答案】ACD【解析】对于A选项：因为为定值，且，所以，解得，又，在上单调递减，所以最小值为，故A正确；对于B选项：由题意得，故B不正确；对于C选项：当时，所以，故C正确；对于D选项：当时，所以，故D正确，故选ACD.10（2020全国高三专题练习）已知是边长为2的等边三角形，分别是、上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ）ABCD在方向上的投影为【答案】BCD【解析】由题E为AB中点，则，以E为原点，

8、EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，设，所以，解得：，即O是CE中点，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，所以选项A错误；，在方向上的投影为，所以选项D正确.故选BCD11（2020全国高一课时练习）设P是所在平面内的一点，则（ ）ABCD【答案】CD【解析】由题意：故 即,故选：CD12（2021江苏高一）如图，中，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（ ）A在方向上的投影为0BCD若，则【答案】ABC【解析】因为在中，在中，由余弦定理得，所以满足，所以，又E为CD的中点，所以，所以，对于A选项：在方向上的投影为，故A正确；对于B选

9、项：，故B正确；对于C选项：，故C正确；对于D选项：，设，所以，解得（负值舍去），故D不正确，故选ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2020山东省淄博第七中学高一月考）在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的形状为_.【答案】菱形【解析】，四边形是平行四边形.，四边形是菱形.14（2021河南信阳市高二期末（理）伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区的部分道路如图所示，要建设一条从点到点的空中长廊，则_【答案】【解

10、析】由题可知，所以，由可得，又，所以，则15（2020全国高三专题练习（文）如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为，若使身体能向上移动，则拉力的最小整数值为_N（取重力加速度大小为，）【答案】405【解析】设是两个拉力，合力为，由于，在菱形中知，所以，所以的最小整数为405故答案为：40516（2020山东潍坊市高一期中）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力已知，则G的大小为_，的大小为_【答案】 【解析】如图，由向量分解的平行四边形法则， 计算可得

11、：三、解答题（本大题共4小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）若渡船在静水中的速度大小为，河宽为，水流的速度大小为，则（1）此船渡过该河所用时间的最小值是多少？（2）此船渡过该河的位移最小时，需要多长时间才能从此岸到达彼岸？【解析】（1）当船头方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间.（2）当合速度的方向垂直于河岸时，此船渡过该河的位移最小，如图所示，水流的速度为，则，船的速度为，则，合速度为，合速度的大小为，则，设船速与合速度的夹角为，则，此时.渡河时间为.答：此船渡过该河所用时间的最小值是；此船渡过该河的位移最小时，需要才

12、能从此岸到达彼岸.18（本小题满分12分）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.（1）求力、分别对质点所做的功；（2）求力、的合力对质点所做的功.【解析】（1），力对质点所做的功，力对质点所做的功，所以，力、对质点所做的功分别为和.（2）.19（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE【解析】方法一 设，则，又 ，所以故，即AFDE方法二 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），所以所以，所以，即AFDE20（本小题满分12分）已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有

13、一点C，满足20，(1)用，表示；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形【解析】(1)20，2()()0，220，2.(2)如图， (2)故.故四边形OCAD是梯形21（本小题满分12分）在平面直角坐标系中,已知三点A(-1,0)、B(t,2)、C(2,1)，tR，O为坐标原点(I)若ABC是B为直角的直角三角形,求t的值()若四边形ABCD是平行四边形，求的最小值【解析】(I)由题意得(t1,2)，(3，t)，(2t，t2)，若B90，则，即(t1) (2t)2(t2)0，t1或2，若，则，这时ABC不存在.t1. (II)若四边形ABCD是平行四边形，则，设点D的坐标为(x，y)，则(x1,y)，(x1,y)(2t，t2)，即，即D(1t，t2)，(1t，t2)， ，当t