2013考研数学高分导学班讲义

1、课程配套讲义说明1、配套课程名称2013 年数学高分导学（，16）2、课程内容老师主讲的 2013此课件为数学高分导学班课程。此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。3、主讲师资文都独家授课师资，数学博士，教授，著名数学辅导，唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。严谨的思维、的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。4、讲义20 页（）文都2011

2、年 9 月 15 日12013数学高分导学班讲义线性代数部分矩阵理论一、矩阵基本概念 a11a12 a22a1n a21a2n ，称为矩阵 m n ，记为 A (aij )mn 。1、矩阵的定义形如 amn aa m1m 2特殊矩阵有零矩阵所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。方阵行数和列数都相等的矩阵称为方阵。（3）矩阵主对角线上元素皆为 1 其余元素皆为零的矩阵称为矩阵。（4）对称矩阵元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。2、同型矩阵行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。shop33、矩阵运算（1）矩阵加、减法： a11a1n b11b1n a12

3、 a22b12 b22b2n a21a2n b21A , B ，则abmn aabbmn m1m 2m1m 2 a11 b11a12 b12 a22 b22 b1na1n a21 b21a2n b2n A B 。amn ba ba bm1m1m 2m 2mn（2）数与矩阵之积： ka11ka1n ka12 ka22 ka21ka2n kA 。kakakam1mn m 2（3）矩阵与矩阵之积：2shop35250918. a11a1n b11b1s a12 a22c12 c22b12 b22 a21b2 s a2n b21设 A , B ，则abns aabb m1mn n1m 2n 2 c11

4、c1s c21c2s AB C ，cms cc m1m 2 ai1b1 j ain bnj （ i 1,2, m; j 1,2, n ）其中cij【注解】AB O 不一定有 A O 或 B O 。矩阵乘法没有交换律。含方阵 A, B 的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是 AB BA 。（4）设 f (x) a a x a ，则定义 f ( A) a a xnAnA a E ，且关于矩阵 Ann1 1010的矩阵多项式可因式分解。二、方程组的矩阵形式及解的概况方程组的基本形式为a11 x1 a12 x2 a1n xn 0ax a x a x 021 122 22n n（1）am

5、1 x1 am 2 x2 amn xn 0称（1）为线性方程组。a11 x1 a12 x2 a1n xn b1ax a x a x b21 122 22n n2（2）am1 x1 am 2 x2 amn xn bm称（2）为非齐线性方程组。 a11a12 a22a1n x1 b1 a21a2n x2 b2 令A ， b ，则（1）、（ ， X2）可分别表示为矩阵amn xbaa m1 n m m 23形式：AX O（1）及AX b（2）对方程组（1）：x1 x2 0【例题 1】方程组解的情况，并分析原因。 0 x 2x 12 03【例题 2】方程组解的情况，并分析原因。 x 0 x 13对方程

6、组（2）：x1 x2 3解的情况，并分析原因。 1【例题 1】方程组x x 12 13【例题 2】方程组解的情况，并分析原因。 x 2x 23x1 x2 1【例题 3】方程组解的情况，并分析原因。 42x 2x12三、矩阵问题的产生初一数学问题：解一元一次方程 ax b情形一：当 a 0 时， ax b 两边同时乘以111baax b ，于是 x 得；aaa情形二：当 a 0, b 0 时，方程 ax b 无解；情形三：当 a 0, b 0 时，方程 ax b 有无数个解。线性方程组的类似问题：方程组 AX b 的解情形一： A 是 n 阶方阵，且存在 B ，使得 BA E由 AX b 两边B

7、 得 BAX Bb ，于是 X Bb ；情形二： A 虽然是 n 阶矩阵，但不存在 B ，使得 BA E方程组 AX b 是否有解及解的情况；情形三： A 是 m n 矩阵，且 m n 方程组 AX b 是否有解及解的情况。shop3【注解】（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个问题矩阵的逆阵。（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个问题矩阵的秩。4shop35250918.四、矩阵两大（一）逆阵为题1、定义设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 BA E ，则称 A 为可逆矩阵， B 称为 A的逆矩阵，记为 B A1 。2、两个问题【问题 1】给定一个 n 阶矩阵 A ，是否存在

8、可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？【问题 2】 若 n 阶矩阵 A 可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？3、矩阵可逆充分必要条件定理设 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是| A | 0 。4、求矩阵逆阵的方法方法一：伴随矩阵法（略）方法二：初等变换法第一步 方程组的三种同解变形对调两个方程的位置方程组的解不变；某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变；某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。第二步 矩阵的三种初等行变换对调矩阵的两行；矩阵的某行同乘以一个非零常数；矩阵某行的倍数加到另一行。第三步 三种初等矩阵（1） Eij 矩阵的i 行与 j 行对调或者i

9、 列与 j 列对调所得的矩阵。性质：1） | E | 1 0 ；2） E 1 E 或者 E 2 E ；ijijijij3） Eij A 为将 A 的i 行与 j 行对调所得的矩阵， AEij 为将 A 的i 列与 j 列对调所得的矩阵。（2） Ei (c)(c 0) 矩阵的i 行乘以 c 或矩阵的i 列乘以 c 。1性质：1） | E (c) | c 0 ；2） E 1 (c) E ( ) ；i cii3） Ei (c) A 为将 A 的i 行乘以非零常数 c 所得到的矩阵， AEi (c) 为将 A 的i 列乘以非零常数 c 所得到的矩阵。5（3） Eij (k ) 矩阵的 j 行的 k 倍

10、加到i 行或者阵。矩阵的 i 列的 k 倍加到 j 列所得到的矩性质： 1） | E (k ) | 1 0 ；2） E 1 (k ) E (k ) ；ijijij3） AEij (k ) 为将 A 的 j 行的 k 倍加到i 行所得到的矩阵， Eij (k ) A 为将 A 的i 列的 k 倍加到 j 列所得到的矩阵。第四步 三个问题【问题 1】设 A 为 n 阶可逆矩阵， A 能够经过有限次初等行变换化为矩阵？ ErO 【问题 2】 设 A 为 n 阶不可逆矩阵， A 能够经过有限次初等行变换化为 ？ OO ErO 【问题 3】 设 A 为 n 阶不可逆矩阵， A 能够经过有限次初等变换化为

11、 ？ OO 第五步 初等变换法求逆阵及两个相关的定理定理（初等变换法求逆阵）设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 A 可以经过有限次初等行变换化为初等矩阵。（二）矩阵的秩（记住：在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件）1、定义设 A 为 m n 矩阵，若 A 存在一个 r 阶非零子式，但所有的 r 1阶子式（如果有）都是零，则 r 称为 A 的秩，记为 r( A) r 。【注解】（1）任何矩阵的秩都既不超过其行数也不超过其列数。设 A 为 m n 矩阵，则r( A) minm, n 。（2）设 A 为 n 阶矩阵，若| A | 0 ，则 r( A) n ，称 A 为满秩矩阵。矩阵可逆、满秩及非奇异等价

12、。2、矩阵秩的求法将矩阵进行初等行变换阶梯化所得的非零行数即为矩阵的秩。【注解】（1） r( A) 0 的充分必要条件是 A O 。（2） r( A) 1的充分必要条件是 A O 。6shop35250918.（3） r(A) 2 的充分必要条件是 A至少有两行不成比例。 a1 0, Oa2 （4）设 ，则r() 。1, Oan 3、矩阵秩的性质（1） r(A) r(AT ) r(ATA) r(AAT ) 。（2）设 A, B为同型矩阵，则r(A B) r(A) r(B) 。r(AB) r(A)（3） r(AB) minr(A),r(B)，等价于 。r(AB) r(B)（4）设 A为m n矩阵

13、， B为n s矩阵，且 AB O，则r(A) r(B) n。（5）设 A为m n矩阵， P为m阶可逆阵， Q为n阶可逆阵，则有r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ) 。【矩阵秩例题】【例题 1】设, 皆为三维列向量， A T T ，证明： r(A) 2 。【例题 2】设 A为n阶可逆阵，证明 A的逆阵是唯一的。【例题 3】设 A为m n矩阵， B为n m矩阵，其中n m，且 AB E，证明： r(B) m。【例题 4】设 A为n阶矩阵，且 A2 3A 2E O，证明： r(E A) r(2E A) n。高等数学部分定积分理论一、定积分的产生背景1、曲边梯形的面积问题72、变速运动路程问

14、题nf (x) 为a, b 上的有界函数，若lim f (i )xi 存在，称f (x) 在a, b二、定积分的定义设 0 i 1n上可积，极限称为 f (x) 在a, b 上的定积分，记f (x)dx ，即f ( x)dx lim f (i )xi 。bbaa 0 i 1【注解】shop3（1）极限与区间的划分及i 的取法无关。（2） 0 n ，反之不对。b anibi1（3）若一个函数可积，则f (x)dx limf a (b a) 。nnan三、定积分基本理论x定理 1 设 f (x) Ca, b ，令 (x) f (t)dt ，则 (x) 为 f (x) 的一个原函数，即 a(x) f

15、 (x) 。【注解】（1）连续函数一定存在原函数。d dx ddx ( x ) f (t)dt f (x) (x) 。（2）a2 ( x ) f (t)dt f (x) (x) f (x)(x) 。（3）2211 ( x) 1x【例题 1】设 f (x) 连续，且(x) (x t) f (t)dt ，求 (x) 。0 x【例题 2】设 f (x) 为连续函数，且 F (x) tf (x t )dt ，求 F (x)。220公式）设 f (x) Ca, b，且 F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则定理 2 （bf (x)dx F (b) F (a) 。a四、积分法1 、换元积分法设 f

16、(x) Ca, b ，令 x (t) ，其中 (t) 可导，且 (t) 0 ，其中b( ) a,( ) b ，则f (x)dx f (t)(t)dt 。a8shop35250918.bbab在a, b 上连续可导，则 udv uvvdu 。2、分部积分法设u, v 五、定积分性质1、基本性质aabbb f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx（1）。aaabb（2） kf (x)dx kf (x)dx 。aabcb（3）f (x)dx f (x)dx f (x)dx 。aacb（4） dx b a 。ab（5）设 f (x) 0(a x b) ，则f (x)dx 0 。abbf

17、(x) g(x)(a x b)f (x)dx g(x)dx推论 1 设，则。aabb| f (x) | dx(a b) 。f (x)dx推论 2aab（6）设 f (x) 在a, b 上连续，且 m f (x) M ，则 m(b a) f (x)dx M (b a) 。ab（7）（积分中值定理）设 f (x) Ca, b，则存在 a, b，使得f (x)dx f ( )(b a) 。a2、定积分的特殊性质（1）对称区间上定积分性质aaaf (x) Ca, af (x)dx f (x) f (x)dx 。1）设，则0aaa2）设 f (x) Ca, a ，且 f (x) f (x) ，则f (x

18、)dx 2f (x)dx 。0a3）设 f (x) Ca, a ，且 f (x) f (x)，则f (x)dx 0 。a（2）周期函数定积分性质设 f (x) 以T 为周期，则1） af (x)dx 0 f (x)dx ，其中 a 为任意常数。2） 0f (x)dxnf (x)dx 。0（3）特殊区间上三角函数定积分性质921）设 f (x) C0,1 ，则f (sin x)dx f (cos x)dx ，特别地，2002n 1nnsin xdx cos xdx I，且 I In2 , I0 , I1 1。2nnn200nn2）sin xdx 2sin xdx 2I 。2n00nn2cos x

19、dx, n为偶数2） 0 cos xdx 03。0, n为奇数4）设 f (x) C0,1 ，则 0 xf (sin x)dx 2 0f (sin x)dx 。2sin 4 xdx 。【例题 1】计算21 ex【例题 2】计算 0dx 。1【例题 3】计算 x1 x 2 dx 。41第一讲极限与连续一、定义1、函数的几个初等特性（1）奇偶性设函数 f (x) 的定义域关于原点对称，若 f (x) f (x) ，称 f (x) 为偶函数；若f (x) f (x) ，称 f (x) 为奇函数。2 ) 的奇偶性，并求其反函数。【例题 1】 判断函数 f (（2）周期性设 f (x) 的定义域为 D

20、，若存在T 0 ，使得对任意的 x D ，有 x T D 且f (x T ) f (x) ，称 f (x) 为周期函数。函数 f ( 的周期性。【例题 2】（3）单调性设对任意的 x1 , x2 D 且 x1 x2 ，有 f (x1 ) f (x2 ) ，称 f (x) 在 D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。10shop35250918.（4）有界性若存在M 0 ，对任意的 x D，有| f(x) | M ，称 f(x) 在D上有界。2、极限（1）数列极限( N)若对任意的 0 ，总存在 N 0 ，当n N 时，有| an A| 成立，称数列an以 A为极限，记为lim an A。n（2

21、）函数 f(x) 当 x a时的极限（ ）若对任意的 0 ，总存在 0 ，当0 | x a| 时，有| f(x) A| 成立，称 A为 f(x) 当 x a时的极限，记为lim f(x) A。xa（3）函数 f(x) 当 x 时的极限（ X ）若对任意的 0 ，存在 X 0 ，当| x| X 时，有| f(x) A| 成立，称 A为 f(x) 当 x 时的极限，记为lim f(x) A。x（4）左右极限若 lim f(x) A，称 A为 f(x) 在 x a处的左极限，记为 f(a 0) A；若xalim f(x) B，称B为 f(x) 的右极限，记为 f(a 0) B，注意lim f(x)

22、存在的充分必要条xaxa件是 f(a 0) 与 f(a 0) 都存在且相等。【注解】函数在一点处的极限与函数在该点有无定义无关。k形如axb (a 0) 当 x a时的极限一定分左右极限。222若对limex1 ，因为 lim ex1 0 ， lim ex1 ，所以极限不存在；x1x1x111 2 x又如 f(x) ，显然 f(0 0) 1， f(0 0) 1，故lim f(x) 不存在。11 2 xx0113、无穷小（1）无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次设 0, 0 ，若lim 0 ，称 为 的高阶无穷小，记为 o( ) ；若lim k 0 ，称 与 为同阶无穷小，

23、记为 O( ) ，特别地，若lim 为等价无穷小，记为 。 1，称 与 【注解】（1）无穷小一般性质有限个无穷小之和、差、积为无穷小。有界函数与无穷小之积为无穷小。lim f (x) A 的充分必要条件是 f (x) A ，其中 0 。（2）等价无穷小性质1） ；2）若 ，则 ；3）若 , ，则 ； 且lim A ，则lim 4）若 , A 。 （3）当 x 0 时常用的等价无穷小1）) ；2）1 cos x 1 x 2 ；23） (1 x) a 1 ax 。2excos x【例题 3】计算极限lim。x0 x ln(1 2x)tan x sin x【例题 4】计算极限lim。x3x011【例

24、题 5】计算极限lim() 。sin 2x0exe tan x【例题 6】计算极限lim。3xx012shop35250918.【例题 7】计算极限 lim xx。x04、连续（1）函数在一点处连续的定义设 f(x) 在 x a的邻域内有定义，若lim f(x) f(a) ，称 f(x)xa在 x a处连续。shop3【注解】 f(x) 在 x a处连续的充分必要条件是 f(a 0) f(a 0) f(a) 。（2）函数 f(x) 在a,b 上连续的定义设 f(x) 在a,b 上有定义， f(x) 在(a,b) 内点点连续，且 f(a 0) f(a), f(b 0) f(b) ，称 f(x)

25、在a,b 上连续。【注解】初等函数在其定义域上都连续。5、间断点及分类（1）设 f(x) 在 x a处间断，且 f(a 0), f(a 0) 都存在，称 x a为 f(x) 的第一类间断点。进一步地，若 f(a 0) f(a 0) ，称 x a为 f(x) 的可去间断点；若 f(a 0) f(a 0) ，称 x a为 f(x) 的跳跃间断点。（2）设 f(x) 在 x a处间断，且 f(a 0), f(a 0) 至少一个不存在，称 x a为 f(x) 的第二类间断点。ln | x|【例题 8】求函数 f(x) 的间断点及类型。x2 1ex 1【例题 9】求函数 f(x) 的间断点及类型。x1

26、e1xln(1 x2 )【例题 10】求函数 f(x) 的间断点及类型。tan x二、极限有关性质（一）极限一般性质定理 1（唯一性定理） 极限具有唯一性。定理 2（保号性定理）（1）若lim f(x) A 0( 0) ，则存在 0 ，当0 | x a| 时， f(x) 0( 0) 。xa（2）设 f(x) 0( 0) 且lim f(x) A，则 A 0( 0) 。13（二）极限的存在性质定理 1 单调有界的数列必有极限。情形一：设an 单调增加，且存在 M ，使得 an M ，则lim an 存在。n情形二：设an 单调减少，且存在 M ，使得 an M ，则lim an 存在。n定理 2（

27、定理）（1）数列型：设 an bn cn ，且lim an lim cn A ，则lim bn A 。nnn111【例题 11】计算 limn 。n 1n 222n n 2（2）函数型：设 f (x) g(x) h(x) ，且lim f (x) lim h(x) A ，则lim g(x) A 。三、重要极限与有关结论sin x 1 。1、 limxx0：（1） x 0 时， sin（2） x 0 时， ln(1 x) x 。，尤其sin x x （ x 0 ）；2、 lim(1 1 ) x e 。xx：(1 1 )n 单调增加收敛于 e 。n四、闭区间上连续函数的四大性质shop3定理 1 （

28、最大值最小值定理）设 f (x) Ca, b，则 f (x) 在a, b 上取到最小值和最大值。定理 2 （有界性定理） 设 f (x) Ca, b，则 f (x) 在a, b 上有界。定理 3 （零点定理） 设 f (x) Ca, b ，且 f (a) f (b) 0 ，则存在 (a, b) ，使得 f ( ) 0 。定理 4（1）设 f (x) Ca, b，对任意的 m, M ，存在 a, b ，使得 f ( ) ，即位于最小值和最大值之间的任何值函数都可以取到。（2）设 f (x) Ca, b ，且 f (a) f (b) ，不妨设 f (a) f (b) ，则对任意的 f (a), f

29、 (b) ，存在 a, b，使得 f ( ) ，即位于左右端点函数值之间的任何值函数都能取到。14shop35250918.【方法指导】设 f(x) Ca,b ，若结论中存在 f() ，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零点定理，闭区间用介值定理。【例题 1】设 f(x) C0,1 ， f(0) 0, f(1) 1，证明：存在c (0,1) ，使得 f(c) 1 c。【例题 2】设 f(x) Ca,b ，证明：对任意的 p 0,q 0 ，存在a,b ，使得pf(a) qf(b) ( p q) f() 。【 例 题 3 】 设 f(x) Ca,b ， 证 明 ： 对 任 意 的 xi

30、a,b 及 ki 0(i 1,2,n) 且k1 kn 1 ，存在a,b ，使得f() k1 f(x1 ) kn f(xn )第二讲一元函数微分学基本理论一、基本概念1、导数设 y f(x) 为定义于 D上的函数， x0 D， y f(x0 x) f(x0 ) ，若极限lim y 存在，称 y f(x) 在 x x 处可导为 y f(x) 在 x x 处的导数，记为 f(x ) 或x0 x000dydx|。xx0【注解】（1） x 0 同时包括x 0 与x 0 。y存在，称此极限为 y y存f(x) 在点 x x 处的左导数，记为 f(x ) ，若 limlim若00 x0 xx0 x在，称此极

31、限为 y f(x) 在点 x x0 处的右导数，记为 f(x0 ) ， y f(x) 在点 x x0 处可导 的充分必要条件是 f(x0 ) 与 f(x0 ) 都存在且相等。（2）函数 y f(x) 在 x x0 处导数的等价定义lim y lim f(x0 h) f(x0 )f(x) f(x0 ) 。f(x ) limxx00 x0 xh0 x xh015若 y f (x) 在 x x0 处可导，则 y f (x) 在 x x0 处连续，反之不对。取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。2 、可微设 y f (x) 为定义于 D 上的函数， x0 D ， y f (x0 x) f (x0 )

32、 ，若y Ax o(x) ，称 y f (x) 在 x x0 处可微，记 dy Ax ，或者 dy Adx 。【注解】（1）函数在一点可导与函数在一点可微等价。（2） A f (x0 ) 。（3）若函数 f (x) 处处可导，则其微分为 df (x) f (x)dx 。二、求导数三大工具（一）基本公式11( ) xx 211、(C) 0 。2、(x ) axa 1a，特别地。(x ) 2 x1，特别地(ln x) 1 。3、(ax ) a x ln a ，特别地(ex ) ex 。4、(log x) ax ln ax5、（1） (sin x) cos x ；（2） (cos x) sin x

33、；（3） (tan x) sec2 x ；（4） (cot x) csc2 x ；（5） (sec（6） (csc；nn（7） (sin x) sin(x ) ；（8） (cos x) cos(x ) 。(n) (n ) 22116、（1） (arcsin x) （2） (arccos x) ；1 x 21 x 211（3） (arctan x) （4） (arc cot x) ；。1 x 21 x 2（二）求导四则运算法则1、(u v) u v 。2、(uv) uv uv 。16shop35250918.uv uvu3、(ku) ku 。4、( ) v；2v5、(uv)(n) C0u(n)v

34、 C1u(n1)v Cnuv(n) 。nnn（三）复合函数求导链式运算法则设 y f(u) ， u (x) 都是可导函数，则 y f(x) 可导，且dy dy du dxdu dx【注解】f(u) (x) f(x) (x) 。shop3（1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系设 y f(x) 为二阶可导函数，且 f(x) 0 ， x (y) 为 y f(x) 的反函数，则dx (y) 11f(x)，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系，dydxdy1f(x)1f(x)dd / dxd(y)f (x)f3 (x)d2x (y) 。dy2dydydy/ dx f(a) 0f(x)（2）设

35、 f(x) 在 x a处连续，若lim A，则。 f(a) Axa x a三、求导基本类型（一）显函数求导数sin 2 1【例题 1】设 y ex ln(tan 2 2x sec x) ，求 y ；【例题 2】设 y xsin x ，求 y ；（二）参数方程确定的函数的导数x (t)dyd2 y设 y f(x) 由确定，其中 皆二阶可导，求及,。y 2(t)dxdxx ln(1 t)dyd2 y【例题 1】 设，求及。y arctant2dxdx（三）隐函数求导数17 3xy 2x ，求 dy 。设 ex y【例题 1】dx（四）分段函数求导数f (x) sin x, x 0，求 f (x)

36、并f (x) 的连续性。【例题 1】设ln(1 x), x 0f (x) ln(1 x), x 0 ，且f (0) 存在，求 a, b 。【例题 2】设ax b, x 0（五）高阶导数【例题 1】 f (x) ex sin x ，求 f (n) (x) 。1【例题 2】设 f (x) ，求 f (n) (x) 。 3x 2x 2第三讲 中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值设连续 y f ( x)(x D) ，其中 x0 D 。若存在 0 ，当0 | x x0 | 时，有 f (x) f (x0 ) ，称 x x0 为 f ( x) 的极大点；若存在 0 ，当 0 | x x0 | 时，有

37、f (x) f (x0 ) ，称 x x0 为 f ( x) 的极小点，极大点和极小点称为极值点。2、函数在一点处导数情况f (x) f (a) 0 ，由极限的保号性，存在 0 ，当0 | x a | f (a) 0 ，即lim（1）设x axaf (x) f (a)0 。时，有x a当 x (a , a) 时， f (x) f (a) ；当 x (a, a ) 时， f (x) f (a) 。显然 x a 不是 f ( x) 的极值点。f (x) f (a) 0 ，由极限的保号性，存在 0 ，当0 | x a | （2）设 f (a) 0 ，即limx axaf (x) f (a) 0 。时

38、，有x a当 x (a , a) 时， f (x) f (a) ；当 x (a, a ) 时， f (x) f (a) 。18shop35250918.显然 x a 不是 f ( x) 的极值点。【结论 1】设连续函数 f ( x) 在 x a 处取极值，则 f (a) 0 或 f (a) 不存在。f ( x) 在 x a 处取极值，则 f (a) 0 。【结论 2】设可导函数二、一阶中值定理中值定理）设函数 f ( x) 满足：（1） f (x) Ca, b ；（2） f ( x) 在(a, b) 内可导；（3）定理 1（f (a) f (b) ，则存在 (a, b) ，使得 f ( ) 0 。f (x) Ca, b ；（f ( x) 满足：（f ( x) 在(a, b) 内可导，定理 2（Lagrange 中值定理）设1）2）f (b) f (a)。则存在 (a, b) ，使得 f ( ) 【注解】（1）中值定理的等价形式为：b af (b) f (a) f ( )(b a) ，其中 (a, b) ；f (b) f (a) f a (b a)(b a) ，其中0 1。（2） 对端点 a, b 有依赖性。shop3f (a) f ( )(x a) ，其中 是介于 a 与 x 之间的 x 的函（3）端点 a, b