高中数学必修二 第六章 6.4 6.4.3 第2课时

1、第2课时正弦定理知识点正弦定理eq o(,sup4(01)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：已知eq o(,sup4(02)任意两角与一边，求其他两边和一角已知eq o(,sup4(03)任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进一步求出其他的边和角1深入理解正弦定理(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系若AB，则ab.反之，

2、若ab，则A1，无解；若sinB1，一解；若sinBBA，最小边为a.c1，由正弦定理，得aeq f(csinA,sinC)eq f(1sin45,sin75)eq f(f(r(2),2),f(r(6)r(2),4)eq r(3)1，即最小边的长为eq r(3)1.题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2根据下列条件解三角形：(1)beq r(3)，B60，c1；(2)ceq r(6)，A45，a2.解(1)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)，sinCeq f(csinB,b)eq f(1sin60,r(3)eq f(1,2).bc，B60，C1，故三角形无解已知三角形两边和其中

3、一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论(1)在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax|x2 Bx|x2Cx|2x2eq r(2) Dx|2xb且sinA2，,f(r(2),4)x1，)2x2eq r(2).解法二：要使三角形有两解，则eq blcrc (avs4alco1(basinB，)即eq blcrc

4、(avs4alco1(2xsin45，)2x2eq r(2).(2)b4，c8，bc，B30bcsinB，所以本题有一解由正弦定理，得sinCeq f(csinB,b)eq f(8sin30,4)1.又cb，CB，所以30C180，所以C90.所以A180(BC)60.所以aeq r(c2b2)4eq r(3).a7，b8，因为a90，所以本题无解题型三 判断三角形的形状例3在ABC中，若sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状解解法一：A，B，C为三角形的内角，A(BC)sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinCsinA2sinBcosC，

5、sinBcosCcosBsinC0，即sin(BC)0.BC，BC0.BCA2Bsin2Asin22Bsin2Asin2Bsin2C2sin2B，sin22B2sin2B2sinBcosBeq r(2)sinBsinB0，cosBeq f(r(2),2).Beq f(,4).Ceq f(,4)，Aeq f(,2).ABC为等腰直角三角形解法二：由正弦定理，得eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC).sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2.Aeq f(,2)，BCeq f(,2).sinA2sinBcosC，即sinA2sinBcoseq blc(rc)(a

6、vs4alco1(f(,2)B)，12sin2B，B(0，)，sinBeq f(r(2),2)，Beq f(,4)，ABC为等腰直角三角形判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形

7、、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别在ABC中，已知a2tanBb2tanA，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形或直角三角形答案D解析将a2RsinA，b2RsinB(R为ABC的外接圆的半径)代入已知条件，得sin2AtanBsin2BtanA，则eq f(sin2AsinB,cosB)eq f(sinAsin2B,cosA).sinAsinB0，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或ABeq f(,2)，故ABC为等腰三角形或直角三角形.题型四 三角形解的个数的判断例4已

8、知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2eq r(3)，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin6010eq r(3)，absinA，本题无解(2)a2eq r(3)，b6，ab，A30bsinA，bsinAa1，此三角形无解解法二：c2，bsinC2eq r(3)，cbsinC故此三角形无解解法三：在角C的一边上确定顶点A，使ACb4eq r(3)，作ACD30，以顶点A为圆心，ABc2为半径画圆，如图所示，该圆与CD没有交点，说明该三角形解的个数为0.(2)因为A453b，所以ABC的个数为1.题

9、型五 正弦定理与三角恒等变换的工具作用例5已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCeq r(3)asinCbc0.求A解由正弦定理及acosCeq r(3)asinCbc0，得sinAcosCeq r(3)sinAsinCsinBsinC0.又sinBsin(AC)，于是sinAcosCeq r(3)sinAsinC(sinAcosCcosAsinC)sinC0，得sinC(eq r(3)sinAcosA1)0，因为C(0，)，所以sinC0，即eq r(3)sinAcosA1即sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)eq f(1,2)，所以Aeq f

10、(,6)eq f(,6)，即Aeq f(,3).正弦定理在研究三角形边角关系中，可以适当地进行转变，边转化成角或角转化为边，利用三角恒等变换或解方程求解在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinAacosC(1)求角C的大小；(2)求eq r(3)sinAcoseq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,4)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小解(1)由正弦定理及已知条件得sinCsinAsinAcosC因为0A0，从而sinCcosC，则Ceq f(,4).(2)由(1)知，Beq f(3,4)A，于是eq r(3)sinAcoseq blc(rc)(avs4

11、alco1(Bf(,4)eq r(3)sinAcos(A)eq r(3)sinAcosA2sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6).因为0Aeq f(3,4)，所以eq f(,6)Aeq f(,6)0，所以2cosC1，cosCeq f(1,2).因为C(0，)，所以Ceq f(,3).(2)由余弦定理，得c2a2b22abcosC,7a2b22abeq f(1,2)，即(ab)23ab7，Seq f(1,2)absinCeq f(r(3),4)abeq f(3r(3),2)，所以ab6，所以(ab)2187，ab5，所以ABC的周长为abc5eq r(7).三角形面积计算

12、的解题思路对于此类问题，一般用公式Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解如图所示，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解在ADC中，由余弦定理的推论，得cosADCeq f(AD2DC2AC2,2ADDC)eq f(10036196,2106)eq f(1,2)，因为ADC(0，180)

13、，所以ADC120，所以ADB18012060.在ABD中，由正弦定理，得ABeq f(ADsinADB,sinB)eq f(10sin60,sin45)eq f(10f(r(3),2),f(r(2),2)5eq r(6).1在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2asinB，则角A等于()A30 B45 C60 D75答案A解析b2asinB，利用正弦定理的变式得sinB2sinAsinBsinB0，A为锐角，sinAeq f(1,2)，A30.2在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4eq r(2) B4eq r(3) C4eq r(6) Deq f(32,3)答案C解析A180(BC)45，然后再利用正弦定理求出b4eq r(6).3在ABC中，若sinAsinB，则角A与角B的大小关系为()AABBAsinB2RsinA2RsinBabAB4在ABC中，已知a5eq r(2)，c10，A30，则B_.答案105或15解析根据正弦定理eq f(a,sinA)eq f(c,sinC)，得sinCeq f(csinA,a)eq f(10f