高中数学必修二 19-20 第9章 9.2.4 总体离散程度的估计

1、 9.2.4 总体离散程度的估计学 习 目 标核 心 素 养1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)(重点)2理解离散程度参数的统计含义(重点、难点).1.通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养学生数学抽象素养2通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养.1一组数据x1，x2，xn的方差和标准差数据x1，x2，xn的方差为，标准差为.2总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体的平均数为eq xto(Y)，则称S2为总体方差，Seq r(S2)为总体标准差(2)总体方差的加权形式：如果总体的

2、N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为Y1，Y2，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i1,2，k)，则总体方差为S2.3样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，yn，样本平均数为eq xto(y)，则称s2为样本方差，seq r(s2)为样本标准差4标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小5分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为eq xto(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq o(x,sup6()1，eq o(x,sup6()2，方差分别为seq oal(2,1

3、)，seq oal(2,2)，则这个样本的方差为s2eq f(n1,n)seq oal(2,1)(eq o(x,sup6()1eq o(x,sup6()2eq f(n2,n)seq oal(2,2)(eq o(x,sup6()2eq o(x,sup6()2思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq f(8082,2)81分吗？方差是eq f(24,2)3吗？为什么？提示不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的思考2：数据x1，x2，xn的平均数是eq o(x,

4、sup6()，方差为s2，数据x1，x2，xn，eq o(x,sup6()的方差为seq oal(2,1)，那么s2与seq oal(2,1)的大小关系如何？提示因为数据x1，x2，xn，eq o(x,sup6()比数据x1，x2，xn更加相对集中，所以方差变小了，即seq oal(2,1)s2.1在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有()图1图2图3As3s1s2Bs2s1s3Cs1s2s3 Ds3s2s1D所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的

5、数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间由标准差的意义可得s3s2s1.2已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为()A1B.eq r(2)C.eq r(3)D2B样本容量n5，eq o(x,sup6()eq f(1,5)(12345)3，seq r(f(1,5)132232332432532)eq r(2).3某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则：(1)平均命中环数为 ；(2)命中环数的标准差为 (1)7(2)2(1)eq o(x,sup6()eq f(78795

6、491074,10)7.(2)s2eq f(1,10)(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.方差和标准差的计算【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定解(1)eq o(x,sup6()甲eq f(1,6)(9910098100100103)100，eq o(x,sup6()乙eq f(1,6)(991001029

7、9100100)100.seq oal(2,甲)eq f(1,6)(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2eq f(7,3)，seq oal(2,乙)eq f(1,6)(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq oal(2,甲)seq oal(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离

8、散程度越小，标准差的大小不会超过极差(2)标准差、方差的取值范围：0，)标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性1如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq o(x,sup6()A和eq o(x,sup6()B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.eq o(x,sup6()Aeq o(x,sup6()B，sAsBB.eq o(x,sup6()AsBC.eq o(x,sup6()Aeq o(x,sup6()B，sAsB D.eq o(x,sup6()Aeq o(x,sup6()B，sAsBBeq o(x,sup6()Aeq f(1,6)(

9、2.51057.52.510)6.25，eq o(x,sup6()Beq f(1,6)(151012.51012.510)eq f(35,3)11.67.seq oal(2,A)eq f(1,6)(2.56.25)2(106.25)2(56.25)2(7.56.25)2(2.56.25)2(106.25)29.90，seq oal(2,B)eq f(1,6)eq blcrc (avs4alco1(1511.6721011.67212.511.672)eq blc rc(avs4alco1(1011.67212.511.6721011.672)3.47.故eq o(x,sup6()Aeq o(x

10、,sup6()B，sAsB.分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为14，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？解由题意可知eq o(x,sup6()甲60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq f(1,14)eq f(1,5)，eq o(x,sup6()乙70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq f(4,14)eq f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq xto(x)eq f(1,5)60eq f(4,5)7068 kg，甲、乙两队全部

11、队员的体重的方差为s2eq f(1,5)200(6068)2eq f(4,5)300(7068)2296.计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定eq xto(x)1，eq xto(x)2，seq oal(2,1)，seq oal(2,2)，(2)确定eq xto(x)；(3)应用公式s2eq f(n1,n)seq oal(2,1)(eq xto(x)1eq xto(x)2eq f(n2,n)seq oal(2,2)(eq xto(x)2eq xto(x)2计算s2.2已知某省二、三、四线城市数量之比为136,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、

12、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为 11852设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20eq f(1,136)s2(1.22.4)2eq f(3,136)10(1.21.8)2eq f(6,136)8(1.20.8)2，解答s2118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.数据的数字特征的综合应用探究问题1对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？提示平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的

13、离散程度2对比两组数据时，要从哪几个方面进行？提示从众数、中位数、平均数和方差等几个方面【例3】在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由思路探究分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)eq xto(x)甲eq f(1,251013146)(5026057010801390141006)eq f(1,50)4 0

14、0080，eq xto(x)乙eq f(1,441621212)(5046047016802901210012)eq f(1,50)4 00080.seq oal(2,甲)eq f(1,251013146)2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，seq oal(2,乙)eq f(1,441621212)4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.eq xto(x)甲eq xto(x)乙，seq oal(2,甲)seq oal(2,乙)，甲组成绩较乙组成绩稳

15、定，故甲组好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人从这一角度看，甲组的成绩较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人从这一角度看，乙组的成绩较好某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1

16、.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？解甲的平均成绩和方差如下：eq o(x,sup6()甲eq f(1,8)(1.701.651.681.691.721.731.681.67)1.69，seq oal(2,甲)eq f(1,8)(1.701.69)2(1.651.69)2(1.671.69)20.000 6.乙的平均成绩和方差如下：eq o(x,sup6()乙eq f(1,8)(1.601.731.721.611.621.711.701.75)1.68，se

17、q oal(2,乙)eq f(1,8)(1.601.68)2(1.731.68)2(1.751.68)20.003 15.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛数据分析的要点(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去

18、决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的1标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差2现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性1判断正误(1)计算分层随机抽样的均值与方差时，

19、必须已知各层的权重()(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.()(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散()提示(1)正确(2)正确(3)错误标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中答案(1)(2)(3)2若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为()A8B15C16D32C已知样本数据x1，x2，x10的标准差为s8，则s264，数据2x11,2x21，2x101的方差为22s22264，所以其标准差为eq r(2264)2816，故选C.3在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20eq xto(x)甲2乙30eq xto(x)乙3其中eq xto(x)甲eq xto(x)乙，则两个班数学成绩的方差为