数学物理方法-14.1 分离变量法-直角坐标系课件_第1页
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文档简介

1、直角坐标系的分离变量法引例：求解关于u(x, y)的偏微分方程X写出上述问题的定解问题t=0时刻例：写出两端固定弦的定解问题，把弦拉到y=Asin(x/l)，自然释放。l有界弦的自由横振动 直角坐标系下的分离变量法分离变量法的基本思想1、解分离成时间函数和空间函数的乘积，代入偏微分方程；2、推导时间函数和空间函数分别满足的常微分方程，逐个求解；（待续）将解表示为时间函数空间函数以下述方程为例：由泛定方程和边界条件，可得待定常数如何考虑初始条件？第一步：时空变量分离、推导时空函数控制方程初始条件含空间函数，须先确定空间函数X(x)（1）当 时，方程没有非0解；（2）当 时，方程也没有非0解；（3

2、）当 时，方程有如下形式的通解第二步：时空函数方程分别求解:固有值问题结论：只有当为特定值时，才有非0解。求非0解若干概念：若对于的某些值，常微分方程定解问题的非0解存在，则称这种的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非0解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做Sturm-Liouville问题（或固有值问题）。第二步：时空函数方程分别求解固有值问题,也称为边值问题,或特征值问题。 称为固有值问题的一系列固有值，相应的非零解为对应的固有函数。第二步：时空函数方程分别求解:固有值问题这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的一个特解式中， 是任意常数，当如何确

3、定？注意：定解问题的初始条件没有采用！第三步：解迭加、确定参数特解迭加为了确定 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令由初始条件得根据上面两式如何确定 ? 第三步：解迭加、确定参数参数确定上述定解问题的解是系数为最终结果上述解，作为一个无穷级数解，要具有实际应用价值的条件是什么？级数要收敛，收敛越快越好！如何判断它的收敛性？傅立叶级数展开定理取级数的一般项，并作如下变形：式中， 最大振幅相位 圆频率记参数 为弦的固有频率，其中 是基频。结果分析两端固定弦的振动：举例t=0t=T/2两端固定弦的振动：举例节点，驻波t=0t=T/2分离变量法的基本步骤基本步骤：变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题；求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数；根据固有值，求解初始值问题，得到对应于一个固有值的一个特解；所有特解叠加，需要根据偏微分方程的初始条件。将解表示为 时间

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