高中数学一轮复习课件-向量法求距离、探索性及折叠问题

1、向量法求距离、探索性及折叠问题题型利用向量法求距离解建立如图所示的空间直角坐标系，角度1点到直线的距离点P到AB的距离为因为E为PC的中点，F为PD的中点，证明如图，取PD的中点F，连接AF，EF，角度2点到平面的距离故四边形ABEF为平行四边形，所以BEAF.又BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE平面PAD.(2)若AB平面PBC，PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.解法一(向量法)如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OMABCD.又AB平面PBC，所以OM平面PBC.如图，以O为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立

2、空间直角坐标系，设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，如图，取BC的中点G，连接PG，DG，BD，易知PGBC.法二(等体积法)由(1)得BE平面PAD，故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离.又PBC是边长为2的正三角形，因为AB平面PBC，AB平面ABCD，所以平面ABCD平面PBC.因为平面ABCD平面PBCBC，所以PG平面ABCD，所以PGGD.因为AB平面PBC，所以ABBC，ABPB，所以四边形ABCD是直角梯形，且AB1，BC2，CD2，因为ABPB，AB1，PB2，设点B到平面PAD的距离为h，因为三棱锥PABD的体积解建立如图所示的空间直角坐标系，训练1 如图

3、，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；N是CC1的中点，N(0，4，2).设点N到直线AB的距离为d1，设平面ABN的一个法向量为n(x，y，z)，(2)求点C1到平面ABN的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，N是CC1的中点，N(0，4，2).设点C1到平面ABN的距离为d2，题型立体几何中的探索性问题证明因为E，F分别是AC和CC1的中点，且ABBC2，侧面AA1B1B为正方形，例3 (12分)(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B

4、1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；规范答题如图，连接AF，由BFA1B1，ABA1B1，得BFAB，由AB2BC2AC2，得BABC，2分故以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，设B1Dm(0m2)，则D(m，0，2)，4分(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？规范答题解易知平面BB1C1C的一个法向量为n1(1，0，0). 7分设平面DFE的法向量为n2(x，y，z)，令x3，得ym1，z2m，于是，平面DFE的一个法向量为n2(3，m1，2m)，9分第一步根据已知条件建立空间直角坐标系，

5、利用向量法证明线线垂直第二步求两平面的法向量第三步计算向量的夹角(或函数值)第四步借助于函数的单调性或基本不等式确定最值第五步反思解题思路，检查易错点 答题模板证明连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.(2)若SD平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；所以二面角的大小为30.由题知，二面角PACD为锐角，(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由于BE平面PAC，故BE平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE平面PAC，此时SEEC21.题型折叠问题例4 图是由矩形

6、ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；证明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，BE，BC平面BCGE，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)求图中的平面BCG与平面ACG夹角的大小.解作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，平面BCGE平面ABCBC，

7、所以EH平面ABC.又平面BCGE的法向量可取m(0，1，0)，设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，因此平面BCG与平面ACG夹角的大小为30.1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧.(1)证明：平面BC1E平面ABED；证明在图中，连接AE，AC，AC交BE于F.CE2，ABCE.又ABCD，四边形AECB是平行四边形.由题意得C