全国数学竞赛辅导班练习题八答案

1、大学数学竞赛辅导班练习题八f (x) f (x) 1，则当 f (0) 0 时，（一、1. 设函数 f (x) 有连续导数，且limB）.1 exx0A.f (0) 是 f (x) 的极大值；B.f (0) 是 f (x) 的极小值C.D. 不能判定 f (0) 是否为极值.f (0) 不是 f (x) 的极值；2设函数 f (x) 为已知可导奇函数，g(x) 为 f (x) 的反函数，则 d x f ( x )xg (t x )dtxdx（A）.f ( x )f ( x )g (t )dt f ( x ) ；g (t ) dt x 2 f ( x ) ；AB.x 200f ( x )f (

2、x )C. xf ( x ) ；D.g (t )dt xf ( x )g (t )dt.001 x 2x, y 13. 使 4dxf ( x, y)dy 成立的情况为（ Dfdxdy）.00 x 2 y 2 1A.f (x, y) f (x, y) ；B.f ( x, y) f (x, y)C.f (x, y) f (x, y) ；D.f (x, y) f (x, y) 且 f (x, y) f (x, y) .二、1设 f (x) 在 x 0 某邻域内可导，且 f (0) 1, f (0) 2 ，则极限n1 e121 1 f 1 nlimn sin. nn 2设 f (x) 在点 x 0 可

3、导，且F x f (x)1 sin x ，则F (x) 在点x 0 可导的充要条件是 f (0) 0 .3设 y y(x) 满足 ydx 1 dx 1 ，且当 x 时， y 0, y(0) 1，则y e x y .dt sin x arcsin t dt sin ty 2x y 隐含函数 y y(x) ，则4设1 tt211df (x) x22dx.sin11则emaxx2 , y2 dxdy D5设D x, y 0 x 1, 0 y 1 ,e 1 .三、设 f (x) 连续，且 f (x) 0, f (0) f (0) 0 ，u(x) 是曲线 y f (x) 在点x, f (x)处的切线u

4、( x)f (t)dt与 x 等价；（2）求 lim在x 轴上的截距。（1）求u(x) ，并证明当 x 0 时，u(x)0.2xx0f (t)dt0解： 由导数的几何意义，曲线 y f (x) 在点x, f (x) 的切线为) 。Y f (x) f ()x)f (x)f (x)求此切线在 x 轴上的截距：令Y 0 ，得，于是得到u(x) x u(x) 21 f (x)xf (x)f (x)xf (x) f (0)f (x) 1 ， limf (0) , 21 x2x 2x 22x0所以 u(x) 1 x ,当x 0 时。由Taylor 公式有2f (x) f (0) x2 o2 x，2 1u

5、( x)f (0)u 2 (x) 0(x 2 )f (t)dt f (u(x)u (x) lim 2 f (x) f (x) lim0lim f (x)x2f (x)f (x)x0 x0 x 0f (t)dt0 1f (0)u 2 (x) 0(x 2 ) lim 2 f (x) 11x0 f (x) f (0)x 282 f (x) f (x) f (x)2x，其中 u(x) 四、设 f (x) 在(0,1) 上由定义，且函数ex f (x)与e f (x) 在(0,1) 上单调不减，证明函数 f (x) 在(0,1) 上连续.证明：因为ex f (x) 单调不减，故当 x x 时有e00 )

6、 ，由此得e) ， e f ( x0 ) ，即 e f ( x0 ) f ( x)又因为 e f ( x)也单调不减，故当 x x0时有 e f ( x) 1，故 f (x0 ) f (x) 0 ，由上所述当 x x0 时有e0 ) ，由定理，即可推得 f (x) 在 x0 处的右连续性，即lim f (x) f (x0 ) ，同理可推得lim f (x) f (x0 ) ，由此即知x xx x002函数 f (x) 在(0,1) 上连续。211设 f (x) 在0,1 上单调增加，f (0) 0 ，f (x) C 0,1 ，证明： 3 f (x)dx4 f (x) dx .2五、00 xx不

7、等式 f (x) dt f (t) dt 证明：由222x f (t) dt000011113 f (x)dx 32 22xdx f (x) dx f (x) dx0000211由于 f (x) 0 ，上式左边非负，所以两边平方即得3 f (x)dx4 f (x) dx .200六、设厦门笎筜湖的正常水量为 V（体积），国家环保指标规定湖中所含的污染物含量不得超过 m0，2004 年底经测定，湖中所含污染物的含量已经5 倍。（为治理湖水污染，2005 年市对笎筜湖进行了大面积的清淤）假设每年流入湖内的清净水为V ,流入湖内的污水为V ，每年流出的湖水水量为V ，如果不进行清淤，从 2005663年初起，限定排入的污水所含污染物的浓度不得超过 m0 ，问至少要经过多少年，湖V中污染物的含量才能达到国家规定的标准？（设湖水中的浓度是均匀的）.解：设 2005 年后第 t 年污染物含量为 m(t)，在时间t,t+dt段内，排入湖中污染物的含量为 m0 V dt m0 dt ，流出湖泊的水中污染物的含量为 m(t) Vdt m(t) dt ，则在时V66V33间t,t+dt 段内湖中污染物的改变