《复变函数》课程教学大纲

1、复变函数课程教学大纲 一、课程信息课程代码（COURSE CODE）316B2013课程名称（COURSE TITLE）复变函数课程性质（COURSE CHARACTER）学科必修课学分（CREDIT）3学时（CONTACT HOURS）48先修课程（PRE-COURSE）数学分析课程负责人（COURSE COORDINATOR）适用专业数学与应用数学（师范）课程简介：复变函数是数学与应用数学专业的一门重要的学科必修课程，是研究复变量函数，特别是解析函数的理论课程。复变量函数可以看成两个二元实函数，而解析函数则要求这两个二元实函数有深刻的联系。解析函数是数学分析中可导函数的推广，形式上也有可导

2、，可微，积分，牛顿-莱布尼兹公式，幂级数等等。但实质上有很大的不同，如解析函数的任意多次可导性，平均值公式，求导的积分表达式，双边幂级数等等。利用所学的知识，可以证明代数学基本定理，加深对幂级数理论的理解，应用于调和函数研究，微分方程研究等等。另一方面，从几何上看，复函数是一个平面到另一个平面的映射，这样复变函数理论也可用于平面几何的研究，包含欧氏几何与非欧几何。本课程同时也培养学生运用复变函数的观点，从更高更宽的视点看待实函数的问题，提高分析和解决实际问题的能力。二、课程目标通过本课程的学习，学生应具备以下几方面的目标：1、使学生掌握复变函数的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生抽象思维和

3、逻辑推理能力。2、用复变函数的观点深入地理解数学分析中的内容与方法，提高数学修养。3、使学生获得一定的复变函数的基础知识,为进一步学习其它专业课程打下基础。4、培养与提高应用复变函数的理论分析问题与解决问题的能力。5、能应用复变函数的知识与方法去理解与处理有关的问题。课程目标对毕业要求的支撑关系表毕业要求毕业要求指标点课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4课程目标5毕业要求3毕业要求指标点3.2MMM毕业要求指标点3.4MM毕业要求4毕业要求指标点4.1MMM注：H代表课程目标对毕业要求的高支撑，M代表课程目标对毕业要求的中支撑，L代表课程目标对毕业要求的低支撑。三、教学内容与预期学习成效知

4、识单元对应课程目标知识点预期学习成效实现环节学时1.复数与复变函数课程目标1复数的基本概念与运算复数运算的几何意义3) 复变函数的定义与极限4) 函数的连续性与性质(1) 对复数进行四则运算(2) 利用复数证明平面几何命题 (3) 求复变函数的极限(4) 判断复变函数是否连续，推导连续函数性质课堂讲授6课堂讨论28课程思政：通过对复数概念的演变以及复变函数介绍，让学生体会到数学进展的魅力，引发学生借助数学语言描述和解决问题的兴趣。2. 解析函数课程目标2、3、41) 解析函数的定义与性质2) Cauchy-Riemann方程3) 指数函数、三角函数4) 根式函数、对数函数5）初等多值函数 (1

5、) 可导、可微和解析函数之间的关系及相关性质(2) 利用C.-R.方程判断函数的可导性(3) 复数的指数及三角函数计算(4) 根式函数、对数函数的计算(5) 初等多值函数的计算课堂讲授10课堂讨论212课程思政：通过回溯导数和微分思想的历史发展，让学生充分认识数学对于社会的作用，学生能从数学的角度充分领会世界的多样性、可比性和类似性。3. 复变函数的积分课程目标2、3、4、51) 复变函数积分的基本概念与计算2) Cauchy积分定理、积分公式及积分不等式3) 原函数与不定积分4) 解析函数无穷可导性(1) 复变函数积分的基本概念与性质(2) 计算复积分(3) 运用Cauchy积分理论解题(4

6、) 利用Newton-Leibniz公式计算复积分(5) 解析函数的无穷可导性课堂讲授10课堂讨论212课程思政：从几何和物理的角度，认识“分割”、“近似代替”、“求和”、“取极限”这一积分概念定义过程中的数学思想,利用辩证法思想认识宏观与微观、积分与微分之间的本质联系。组织学生分组总结定积分的计算、类型，相互讲解、测验，培养学生自我学习，合作精神。4. 无穷级数及其应用课程目标2、3、4、5复级数与复函数项级数幂级数与Taylor级数解析函数的零点孤立性和唯一性Laurent级数孤立奇点的分类及其性质6) 留数定理与应用(1) 判断复级数与复函数项级数的敛散性 (2) 计算幂级数收敛半径、解

7、析函数展开成幂级数(3) 利用唯一性确定解析函数公式 (4) 解析函数展开成双边幂级数(5) 对孤立奇点进行分类 (6) 利用留数定理计算复积分和实积分课堂讲授12课堂讨论416课程思政：理解幂级数本质就是用多项式函数逼近函数，可以让学生理解从特殊到一般、由特殊研究一般的数学思想方法。成绩评定及考核方式知识单元对应课程目标考核方式成绩评定1.复数与复变函数课程目标1平时表现+期末考试出勤及课堂表现（10%）课后及课堂作业（10%）期末闭卷考试（80%）缺勤一次扣5分，回答问题一次加10分。作业少一次扣5分，作业优秀加10分，扣分到0为止，加分到100为止。2. 解析函数课程目标2、3、4平时表现+期末考试3. 复变函数的积分课程目标2、3、4、5平时表现+期末考试4. 无穷级数及其应用课程目标2、3、4、5平时表现+期末考试课程目标达成度评价依据课程目标考核环节(评价依据)期望值平均得分达成度计算课程目标1-5平时考核平时考核期望值A1=a1=平时考核实际平均得分 期末考试期末考试期望值B1=b1=期末考试实际平均得分注：Ai、Bi是指各考核环节在总评成绩中所占的比例。六、课程教材及主要参考书1. 建议教材1 钟玉泉，复变函数论（第