高中数学选择性必修一 1.1 空间向量及其运算（教学设计）

1、1.1 空间向量及其运算 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何，本节课主要学习空间向量及其运算。平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。课程目标学科素养A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；C.能运用向量运

2、算判断向量的共线与垂直.1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；2.直观想象：向量运算的几何意义；3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；1.教学重点：理解空间向量的概念 2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。二、探究新

3、知 知识点一空间向量的概念思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.(1)在空间，把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_.空间向量用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq o(AB,sup14()，其模记为_.方向；大小；长度；模；长度；|a|或|eq o(AB,sup14()| (2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_，记为0单位向量_的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向_且模_的向量称为相等向量，_且

4、_的有向线段表示同一向量或相等向量零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长知识点二空间向量的加减运算及运算律思考2.下面给出了两个空间向量a、b，作出ba，ba.答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，以任意点O为起点作eq o(OA,sup14()a，eq o(OB,sup14()b，则eq o(OC,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()ab，eq o(AB,sup14()eq o(OB,sup14()eq o(OA,sup14()ba. (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.eq o

5、(OB,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(AB,sup14()abeq o(CA,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(OC,sup14()abeq o(OB,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(AB,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(OC,sup14()ab(2)空间向量加法交换律abba空间向量加法结合律(ab)ca(bc)知识点三空间向量的数乘运算思考3.实数和空间向量a的乘积a的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案0时，a和a方向相同；0时，a和a方向相反；a的长度是a的长度的|倍.空间向量的数乘运算满

6、足分配律及结合律：分配律：(ab)ab，结合律：(a)()a. (1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|_.当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)_； (ab)_；(12)a_(拓展).相反；|a|；()a；ab；1a2a知识点四共线向量与共面向量思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.平行或重合；ab；方向向量；e

7、q o(OP,sup14()eq o(OA,sup14()ta；eq o(AB,sup14()定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x，y)使_点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使eq o(AP,sup14()_对空间任一点O，有eq o(OP,sup14()eq o(OA,sup14()_惟一；pxayb；xeq o(AB,sup14()yeq o(AC,sup14()；xeq o(AB,sup14()yeq o(AC,sup14()做一做1.如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并

8、在图中标出化简结果的向量.(1)eq o(AA,sup14()eq o(CB,sup14()； (2)eq o(AA,sup14()eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14().解（1）eq o(AA,sup14()eq o(CB,sup14()eq o(AA,sup14()eq o(DA,sup14()eq o(AA,sup14()eq o(AD,sup14()eq o(AD,sup14().（2）eq o(AA,sup14()eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()(eq o(AA,sup14()eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14(

9、)eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()eq o(AC,sup14().向量eq o(AD,sup14()、eq o(AC,sup14()如图所示.例1.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量k，k，k，k求证：四点E，F，G，H共面【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EFAB，同理HGDC，且有EFHG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；解：（1）证明：如图，；EFAB，且EF|k|AB；同理HGDC，且HG|k|DC，ABDC；EFHG，且EFHG；四边形EFGH为平行四边形；四点E，F，G，H共面；知识点五空间

10、向量数量积的概念思考如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量eq o(OA,sup14()与eq o(BC,sup14()的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.解eq o(BC,sup14()eq o(AC,sup14()eq o(AB,sup14()，eq o(OA,sup14()eq o(BC,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(AC,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(AB,sup14()|eq o(OA,sup14()|eq o(AC,sup14()|coseq o(

11、OA,sup14()，eq o(AC,sup14()|eq o(OA,sup14()|eq o(AB,sup14()|coseq o(OA,sup14()，eq o(AB,sup14()84cos 13586cos 1202416eq r(2).求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_交换律ab_分配律a(bc)_abac；(ab)；ba(3)空间向量的夹角定义：已知两

12、个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq o(OA,sup14()a，eq o(OB,sup14()b，则_叫做向量a与b的夹角，记作a，b.范围：a，b_.特别地：当a，b_时，ab.AOB；0，；eq f(,2)两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则ab_；若反向，则ab_.特别地，aa_或|a|若为a，b的夹角，则cos _|ab|a|b|eq r(aa)；eq f(ab,|a|b|)；ab0；|a|b|；|a|b|；|a|2例2已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60，（1）求AC的长；（如图所示）（2）求与的夹

13、角的余弦值【分析】（1）可得，由数量积的运算可得，开方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得解：（1）可得，+2（）42+32+52+2（430+4）85故AC的长等于（2）由（1）可知，故（）（）又5故与的夹角的余弦值例3已知：m，n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln求证：l解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，m，n是平面内的两条相交直线与是平面内的两个不共线向量，设平面内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数，使+又lm，ln，0，0+0直线l垂直于平面内的任意直线，由线面垂直的定义得：l创设问题情境，引导学生通过平

14、面向量知识类比学习空间向量由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。通过具体问题，让学生感受空间向量在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过类比平面向量数量积的运算让学生掌握空间向量数量积的运算，并能解决简单问题，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。通过典例解析，进一步让学生体会空间向量在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学

15、运算及逻辑推理的核心素养。三、达标检测1.下列命题中，假命题是()A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等答案：D解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc.其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析根据空间向量的基本概念

16、知四个命题都不对.3.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()A. ab B. ab为实数0 C. a与b方向相同 D. |a|3答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：(eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()eq o(CC,sup14()1；(eq o(AA,sup14()1eq o(A1D,sup14()1)eq o(D1C,sup14()1；(eq o(AB,sup14()eq o(BB,sup14()1)B1C1；(eq o(AA,sup14()1eq o(A1

17、B,sup14()1)eq o(B1C,sup14()1.其中运算的结果为eq o(AC,sup14()1的有_个.答案4 解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：(eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()eq o(CC,sup14()1eq o(AC,sup14()eq o(CC,sup14()1eq o(AC,sup14()1；(eq o(AA,sup14()1eq o(A1D,sup14()1)eq o(D1C,sup14()1eq o(AD,sup14()1eq o(D1C,sup14()1eq o(AC,sup14()1；(eq o(AB,sup1

18、4()eq o(BB,sup14()1)eq o(B1C,sup14()1eq o(AB,sup14()1eq o(B1C,sup14()1eq o(AC,sup14()1；(eq o(AA,sup14()1eq o(A1B,sup14()1)eq o(B1C,sup14()1eq o(AB,sup14()1eq o(B1C,sup14()1eq o(AC,sup14()1.所以4个式子的运算结果都是eq o(AC,sup14()1.5.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知eq o(AB,sup14()2e1ke2，eq o(CB,sup14()e13e2，eq o(CD,sup14()2e

19、1e2，若A，B，D三点共线，则k_.答案8解析eq o(BD,sup14()eq o(CD,sup14()eq o(CB,sup14()e14e2，eq o(AB,sup14()2e1ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得eq o(AB,sup14()eq o(BD,sup14()，eq f(1,2)eq f(4,k).k8.6.已知a、b是异面直线，且ab，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为_.答案 6解析由ab，得ab0，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.7.BB1平面ABC，且ABC是B90的等

20、腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.解如图所示.eq o(BA,sup14()1eq o(BA,sup14()eq o(BB,sup14()1，eq o(AC,sup14()eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()，eq o(BA,sup14()1eq o(AC,sup14()(eq o(BA,sup14()eq o(BB,sup14()1)(eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()eq o(BA,sup14()eq o(AB,sup14()eq o(BA,sup14()eq o

21、(BC,sup14()eq o(BB,sup14()1eq o(AB,sup14()eq o(BB,sup14()1eq o(BC,sup14().因为ABBC，BB1AB，BB1BC，eq o(AB,sup14()eq o(BC,sup14()0，eq o(BB,sup14()1eq o(AB,sup14()0，eq o(BB,sup14()1eq o(BC,sup14()0且eq o(BA,sup14()eq o(AB,sup14()a2.eq o(BA,sup14()1eq o(AC,sup14()a2.又eq o(BA,sup14()1eq o(AC,sup14()|eq o(BA,sup14()1|eq o(AC,sup14()|coseq o(BA,sup14()1，eq o(AC,