专题11 全等模型-半角模型-2020年决胜中考经典专题分析

1、2020 年决胜中考经典专题分析专题 11 全等模型半角模型什么叫半角模型定义： 我们习惯把等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一 半，这样的模型我们称为半角模型半角模型特征： 两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，大角的两边相等解题思路（ 1 ） 将半角两边的三角形通过 旋转 到一边合并形成新的三角形；（ 2 ）证明与半角形成的三角形全等；（ 3 ）通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等90半角模型在正方形 ABCD 中，EAF=45延长 CB 到点 H，使得 BH=DF，连接 AH 由题意得：四边形 A

2、BCD 是正方形，所以 AB=AD ABH=D在ABH eq oac(,和)ADF 中AB=AD则有 ABH=D （边角边） BH=DF因 eq oac(,此)ABH eq oac(,)ADF （SAS）则有FAD=HAB AH=AFBAD=90，EAF=45FADBAE=BADEAF=9045=45即HAE=HABBAE=45HAE=EAF 在 eq oac(,) eq oac(, )HAE 和FAE 中AH=AFHAE=EAFAE = AE因 eq oac(,此)HAE eq oac(,)FAE，所以 HE=EF则可以推理出：HBBE=EF三角形 CEF 的周长等于 EFECFC= HBB

3、E ECFC=BCDC则可以推理出：三角形 CEF 的周长等于正方形的周长一半由上面证明 eq oac(,得)HAE eq oac(,)FAE，所以BEA=FEA则可以推理出：AE 平分BEF又ABH eq oac(,)ADF， H=AFD，HAE eq oac(,)FAE，H=AFE，即AFE=AFD，则可以推理出：AF 平分DFE.典例 1如图，在正方形 ABCD 中，E,F 分别是 AD，CD 上的点，EBF=45 eq oac(,，)EDF 的周长为 10，求 四边形 ABCD 的周长？答案由题意得，延长 AD 到点 H 使得 AH=CF 四边形 ABCD 是正方形HAB=C=90 A

4、B=BCHAB eq oac(,)FCB即 BH=BC HBA=CBH则有HBE=EBF=45BH=BCHBE=EBF （边角边）BE=BEHAEFBE （SAS）即 HE=FE因此 FE=AECFEDF 的周长等于 ADDC=10，四边形 ABCD 的周长=2（ADDC）=20精准解析先作辅助线使得 AH=CF，构造HABFCB，再证 eq oac(,明)HAE eq oac(,)FBE 得 EF=EH，推理出 EF=AECF，则最终得 eq oac(,到)EDF 的周长等于 ADDC=10，四边形 ABCD 的周长=2（ADDC）=20120半角模型，顶角为 120的等腰三角形 BDC，M

5、DN=60ABC 是等边三角形.延长 AB 到点 H,使得 BH=CN，由题意得等腰三角形 BDC 中，BDC=120，所以DBC=DCB=30，ABC 是等边三角形，ABD=ACD=90，即HBD=ACD，在HBD eq oac(,和)NCD 中，BH=CN，HBD=ACD，BD=DC，所 eq oac(,以)HBD eq oac(,)NCD（SAS），即 DH=DN，HDB=CDN，因此HDM=MDN，则 eq oac(,在)MDN eq oac(,和)HDM 中，DH=DNHDM=MDN （边角边）DM=DM因 eq oac(,此)MDN eq oac(,)HDM，结论：MN=BMNC，

6、三角形 AMN 的周长=2 倍等边三角形 ABC 的边长典例 2如图，三角形 ABC 是等边三角形，三角形 BDC 是等腰三角形，且BDC=120，以 D 为顶点做 一个 60的角，使得两边分别交 AB 于 M，交 AC 于点 N，连接 MN,已经三角形 ANM 的周长为 6，求等边 三角形 ABC 的周长？答案延长 AB 到点 H,使得 BH=CN由题意得等腰三角形 BDC 中，BDC=120 所以DBC=DCB=30ABC 是等边三角形ABD=ACD=90即HBD=ACD在HBD eq oac(,和)NCD 中BH=CNHBD=ACD （SAS）BD=DC所 eq oac(,以)HBD e

7、q oac(,)NCD （SAS）即 DH=DN，HDB=CDN，因此HDM=MDN，则 eq oac(,在)MDN 和HDM 中DH=DNHDM=MDN （边角边）DM=DM所 eq oac(,以)MDN eq oac(,)HDM因此 MN=BMNC，三角形 AMN 的周长=2 倍等边三角形 ABC 的边长三角形 AMN 的周长等于 6，等边三角形 ABC 的边长=62=3，因此等边三角形 ABC 的周长为：33=9.精准解析先作辅助线使得 BH=CN，构 eq oac(,造)HBDNCD ，再证 eq oac(,明)MDN eq oac(,)HDM 得 HM=NM，推理 出 NM=BHBM

8、=BHCN，因为三角形 AMN 的周长等于 6，所以推理出等边三角形 ABC 的边长=62=3 ，因此等边三角形 ABC 的周长为：33=9典例 3已知，正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕着点 A 顺时针旋转，他的两边分别交于 CB,DC （或他们的延长线）于点 M，N，AHMN 于点 H（1） 如图 1，MAN 绕着点 A 顺时针旋转到 BM=DN 时，请直接写出 AH 与 AB 的数量关系：（ ）（2） 如图 2，MAN 绕着点 A 顺时针旋转到 BMDN 时，（1）中的结论还可以成立吗？如果不成立写 出结论，成立的话请证明。（3）如图 3，已知MAN=45，AHMN 于点 H

9、，且 MH=2.NH=3,求 AH 的长（可以利用（2）的结论）答案1如图 1，AH=AB2数量关系仍然成立，如下图所示，延长 CB 至 E,使得 BE=DNABCD 是正方形，、AB=AD D=ABE=90在 R eq oac(,t)AEB 和 R eq oac(,t)AND 中，AB=AD，D=ABE，BE=DNR eq oac(,t)AEBR eq oac(,t)AND即 AN=AE, NAD=EABEAM=NAM=45在AEM eq oac(,和)ANM 中，AN=AE，EAM=NAM，AM=AM，AEMANM则AEM 的面积等 eq oac(,于)ANM 的面积 EM=MNAB,AH

10、 分别 eq oac(,是)AEM eq oac(,和)ANM 对应的高因此 AB=AH精准分析延长 CB 至 E，使得 BE=DN, 证 eq oac(,明)AEMANM，因此 AB=AH.典例 4如图 3 分别沿 AM,AN 翻折 eq oac(,，)AMH,ANH,得 eq oac(,到)ABM eq oac(,和)AND，BM=2,DN=3, B=D=BAD=90分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得到正方形 ABCD 由2可知，AH=AB=BC=CD=AD设 AH=x MC=x2 NC=x3在 eq oac(,Rt)MCN 中，由勾股定理得，MN2=MC2NC2则有 52=（x2）2（x