《分析方法》课程教学大纲

1、分析方法课程教学大纲课程编码：171110040 171220050 课程性质：专业方向限选课程适用专业： 数学与应用数学、信息与计算科学、统计学学时学分： 56学时3.5学分所需先修课数学分析编写单位： 数学与信息科学系一、课程说明 1、课程简介分析方法选讲是高等师范院校数学与应用数学专业的极为重要的选修课程，是为全国硕士研究生入学考试数学系各专业设置的课程 2、教学目的要求 分析方法选讲是数学专业的专业选修课，是数学分析的提高课程学生通过本课程的学习，要更进一步系统掌握数学分析的基本理论、思想方法和解题技巧，能对问题的类型、解题思路和方法进行归纳、总结，探索解题规律，做到举一反三，触类旁通

2、，进一步提高学生的数学修养、科学思维、逻辑推理能力，提高学生的理解和认识问题的能力以及计算能力提高分析问题和解决问题的能力，为继续深造和科研打下良好基础.3、教学重点难点本课程的教学重点部分和难点部分为极限理论、一元函数微积分、级数理论、多元函数微积分4、考核方式 本课程为考查课，考试的形式闭卷，总分为100分,成绩的合成平时占40%,期末占60%5、学时分配表 本课程安排一个学期讲完,安排60学时，包括极限理论、一元函数微积分、级数理论、多元函数微积分的全部内容表1 课程学时分配表章次教学内容讲授课学时数试验(实践)课学时数一数列极限6二函数极限和函数连续性6三导数与微分2四微分中值定理及应

3、用6五一元函数积分学6六数项级数6七函数项级数6八广义积分2九含参量积分6十多元函数微积分6十一曲线积分2十二曲面积分2总计56二、各部分教学纲要第一章 数列极限（6学时）教学目标1.理解数列收敛和发散的定义.2.掌握证明数列极限的基本方法，掌握收敛数列的性质.3.理解数列极限、无穷小量与无穷大量的概念、性质及相关定理.4.理解并正确叙述数列极限的性质：唯一性，有界性，保号性. 5.掌握极限四则运算法则定理和几个重要极限.6.理解和掌握子列理论，了解数列的上、下极限.本章重点数列收敛和发散的定义，无穷小和无穷大的概念，数列收敛性的计算和判定.本章难点极限的，发散数列的定义，Stolz定理，压缩

4、影象原理，上、下极限，几个重要极限的应用，连续的概念.教学内容1.数列收敛和发散的定义.2.收敛数列的性质.3.数列极限四则运算法则定理、几个重要极限、Stolz定理.4. 无穷小、无穷大的概念和相关定理.5.子列理论. 6. 数列极限的计算方法，数列收敛性的判定方法.第二章函数极限和函数连续性（6学时）教学目标1理解函数极限（正常极限，非正常极限）的24种定义以及它们各自的对偶命题.2理解和掌握函数极限的性质与定理，并能根据性质和定理来计算和证明函数极限.3理解连续函数的概念，会判断连续函数的间断点并对其进行分类.4掌握连续函数的性质，熟练掌握判断函数一致和非一致连续的方法.5熟练掌握函数极

5、限的计算和证明方法，掌握根据极限性质，定义，连续函数的性质证题.本章重点1.函数极限的概念及对偶命题.2.连续函数的性质及间断点.3.函数一致和非一致连续的定义、判定，函数极限的计算和证明方法.本章难点连续函数的概念和性质，函数一致和非一致连续的判定，函数极限的相关证明教学内容1函数极限的概念以及对偶命题.2函数极限的性质与定理.3连续函数的概念，函数的间断点.4. 函数一致和非一致连续的判定方法.5函数极限的计算及相关证明.导数与微分（2学时）教学目标1.理解导数和微分的定义.2.熟练掌握复合函数求导法，对数求导法，隐函数求导法.本章重点导数与微分的定义，各类函数的导数的求法. 本章难点各类

6、函数的导数的求法.教学内容1.导数和微分的定义.2.复合函数求导法.3.对数求导法，参量方程所确定的函数的导数.4.隐函数求导法.第四章 微分中值定理及应用（6学时）教学目标1.理解Fermat定理,Roll定理,Lagrange定理,Cauchy定理的内容以及他们适用的条件，掌握它们之间的关系，会做辅助函数证明中值定理.2.掌握Taylor展开式（Lagrange型，Peano型），理解它的证明方法.3.掌握导数的基本特性，利用导数研究函数的性态.4.理解和掌握导数及中值定理在各方面的应用.本章重点微分中值定理，Taylor展开式.本章难点微分中值定理，Taylor展开式.教学内容1.微分中

7、值定理的内容及联系.2.Taylor展开式及应用.3.导数的基本特性.第五章一元函数积分学（6学时）教学目标1.理解和掌握原函数与不定积分的概念、性质，熟练计算各类不定积分.2.理解和掌握定积分的概念、性质和可积条件，掌握变限定积分，微积分学基本定理.3.熟练计算定积分，理解定积分的应用.本章重点原函数与不定积分的概念、性质，定积分的概念、性质和可积条件，变限定积分，微积分学基本定理.本章难点定积分的性质和可积条件，变限定积分，微积分学基本定理.教学内容1.原函数与不定积分的概念、性质.2.定积分的概念、性质和可积条件，变限定积分，微积分学基本定理.3.定积分和不定积分的计算及应用.数项级数（

8、6学时）教学目标1.理解和掌握数项级数收敛和发散的概念、收敛级数的性质.2.熟练掌握正项级数和一般项级数敛散性的判别法.3.掌握利用收敛级数概念及性质证题.本章重点数项级数收敛和发散的概念、收敛级数的性质，正项级数和一般项级数敛散性的判别法，利用收敛级数概念及性质证题.本章难点收敛级数的性质，正项级数和一般项级数敛散性的判别法，利用收敛级数概念及性质证题.教学内容1.数项级数收敛和发散的概念、收敛级数的性质.2.正项级数和一般项级数敛散性的判别法.3.利用收敛级数概念及性质证题.函数项级数（6学时）教学目标1. 理解函数列收敛的概念，掌握函数列一致收敛的判定与性质.2. 理解函数项级数收敛的概

9、念，掌握函数项级数一致收敛的判定与性质.3. 理解和掌握幂级数的概念和性质，掌握幂级数的展开及一些特殊函数的展开式.4掌握Fourier级数的敛散性、平均收敛与一致收敛的判别方法.熟练掌握函数在一般区间上的Fourier展开.本章重点函数列，函数项级数一致收敛的判定与性质，幂级数，Fourier级数的展开.本章难点函数列，函数项级数一致收敛的判定与性质，幂级数，Fourier级数的展开.教学内容1.函数列收敛的概念，函数列一致收敛的判定与性质.2.函数项级数收敛的概念，函数项级数一致收敛的判定与性质.3.幂级数的概念和性质，幂级数的展开及一些特殊函数的展开式.4.Fourier级数的展开.第八

10、章 广义积分（2学时）教学目标1.理解和掌握两类广义积分收敛定义、收敛的广义积分的性质、以及两类积分之间的关系.2.熟练掌握被积函数为非负函数和一般函数的广义积分敛散性判别法.本章重点两类广义积分收敛定义、收敛的广义积分的性质、以及两类积分之间的关系，被积函数为非负函数和一般函数的广义积分敛散性判别法.本章难点被积函数为非负函数和一般函数的广义积分敛散性判别法.教学内容1.两类广义积分收敛定义、收敛的广义积分的性质、以及两类积分之间的关系.2.被积函数为非负函数和一般函数的广义积分敛散性判别法.第九章 含参量积分（6学时）教学目标1.理解含参量定积分的定义和分析性质，会利用分析性质进行计算和证

11、题.2.理解和掌握含参量广义积分收敛与一致收敛的概念及性质，熟练掌握含参量广义积分一致收敛性的判定方法.本章重点含参量定积分的定义和分析性质，含参量广义积分收敛与一致收敛的概念及性质，含参量广义积分一致收敛性的判定方法.本章难点含参量广义积分一致收敛性的判定方法.教学内容1.含参量定积分的定义和分析性质，2.含参量广义积分收敛与一致收敛的概念及性质，3.含参量广义积分一致收敛性的判定方法.第十章 多元函数微积分（6学时）教学目标1.掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义.2.掌握复合函数求导的链式法则.3.掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式；4.掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件5.掌握

12、二重积分化为累次积分和累次积分的积分次序交换的方法.6.掌握二重积分的一般的变量变换公式.7.掌握二重积分的极坐标变换.8、熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法；9.掌握物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式本章重点复合函数偏导数以及高阶偏导数的求法，二重积分、三重积分的计算.本章难点复合函数偏导数以及高阶偏导数的求法，二重积分、三重积分的计算.教学内容1.复合函数偏导数以及高阶偏导数.2.二重积分的计算.3.三重积分的计算.第十一章 曲线积分（2学时）教学目标1.掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式.2.掌握第二型曲线积分的定义和计算公式.本章重点曲线积分的计算.本章难点曲线积分的计算.教学内容1.掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式.2.掌握第二型曲线积分的定义和计算公式.第十二章 曲面积分（2学时）教学目标1.掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式；2.掌握第二型曲面积分的定义和计算公式；3.掌握用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分；本章重点第一型、第二型曲面积分的计算、高斯公式、斯托克斯公式.本