中南大学《高等数学Ⅰ》期末试题及答案_第1页
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一、计算下列各题(本题35分，每小题7分)1. 求极限.2. 设由方程所确定，其中有一阶导数且，求.3求不定积分.4判别级数的敛散性.5求定积分.二、（本题10分）设曲线的极坐标方程为，求它在点处的法线的直角坐标方程.（本题15分）求幂级数的收敛域，在收敛域内求该级数的和函数，并求常数项级数的和.（本题10分）设由曲线，直线及围成的平面图形面积为，求的值，使为最小.（本题10分）当时，与是等价无穷小，求常数与.六、（本题10分）设函数在上有二阶连续导数，且，求.七、（本题10分）若，证明，其中在之间.参考答案一、1. .2. .3. .4因为，当时，原级数发散；当时，原级数收敛；当时，则原级数发散.5做变量代换，则，.二、.三、 因为，所以级数的收敛域为.令其和函数为，且知，上式两边求导得，所以，.而.四、可得在内，令，得唯一驻点，即得此时为最小.五、因为，即，应用洛必达法则，得，（若，则右式趋于零，不符合题意），可得.本题有很多方法！六、.七、不妨设，令.

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