2022.02.14-学霸养成-线段法-钱阳-（讲义+2B笔记）（【浙江】2022事业单位：职业能力倾向测验-2B综合应用能力1期）

1、 PAGE 21学霸养成-线段法（讲义） 经典例题 1.（2019 河北）将 300 克浓度 95%的酒精与若干浓度 60%的酒精，混合成浓度 75%的酒精，需要浓度 60%的酒精多少克？ A.225B.240 C.380D.400 2.（2021 山西）现有浓度为 86%的酒精 100 克和 20%的酒精 1000 克，用来配置浓度为 75%的消毒酒精，问最多可以配置多少克？（ ） A.100B.120 C.140D.160 3.（2020 联考）由于改良了种植技术，农场 2017 年种植的 A 和 B 两种作物， 产量分别增加了 10%和 25%。已知 2017 年两种作物总产量增加了 1

2、8%，问 2017 年 A 和 B 两种作物的产量比为： A.7：8B.8：7 C.176：175D.77：100 经济利润问题 4.（2020 贵州）某超市采购一批饼干，在运输过程中有部分因挤压受损。将包装完好的饼干售出，利润率为 40%；将包装受损的饼干降价后售出，亏损了15%。最后结算得知该批饼干总的利润率为 20.2%。则该批饼干中包装完好部分的占比范围是（ ）。 A.低于 50%B.50%60% C.60%70%D.高于 70% 5.（2020 浙江）某书店从图书批发商那里以图书定价的四折购进一批图书， 又以定价的八折售出这批图书的 60%，剩下 40%的图书以六折的价格售完。那么这

3、批图书的利润率是多少？ A.68%B.70% C.72%D.80% 6.（2016 联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为 1：3，美术系男女生人数之比为 2：3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？ A.5：2B.5：1 C.3：1D.2：1 7.（2021 联考）某单位员工中，75%的人为党员，其余为群众，60%的员工拥有资格证书。已知群众和党员分别有 x%和 y%的人拥有资格证书，且 y-x=20， 问 x 的值为（ ）。 A.40B.45 C.60D.65 对“公共场所抽烟条例修订及立法”问题的调查结果显示：95.2%

4、的受访市民表示支持，2.9%的表示不支持，1.9%的表示无所谓；97%的女性受访市民表示支持；92.7%的男性市民表示支持。 8.（2018 江苏）本次调查中受访女性市民人数占受访总人数的比重是： A.36.7%B.41.9% C.58.1%D.63.3% 平均数问题： 9.（2017 联考）甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为 92 分，其中甲队平均得分为 88 分，乙队平均得分为 94 分，则甲乙两队人数之和可能是： A.20B.21 C.23D.25 2014 年，某地区生态移民人均可支配收入 5084 元，其中县内移民人均可支配收入 4933 元，县外移民人均可支配收入 5253

5、元。 10.（2016 山东）2014 年，该地区生态移民中，县内移民与县外移民人数之比与以下哪一项最接近？ A.8：5B.10：9 C.5：8D.9：10 2018 年国家统计局组织开展了第二次全国时间利用的随机抽样调查，共调查 48580 人。结果显示，受访居民在一天的活动中，有酬劳动平均用时 4 小时24 分钟。其中，男性 5 小时 15 分钟，女性 3 小时 35 分钟。 11.（2019 江苏）受访的男性居民约有 A.2.4 万人B.2.6 万人 C.2.9 万人D.3.0 万人 增长率问题 （2018 年）按消费类型分，7 月份，餐饮收入 3343 亿元，同比增长 9.4%； 商品

6、零售 27391 亿元，同比增长 8.7%。17 月份，餐饮收入 22800 亿元，同比增长 9.8%；商品零售 187951 亿元，同比增长 9.2%。 12.（2019 辽宁）2018 年 16 月，商品零售同比增长约为： A.8.6%B.9.2% C.9.3%D.9.5% 2012 年，我国矿产品对外贸易活跃，进出口额 9919 亿美元，同比增长 3.6%， 其中，进口额同比增长 1.4%，出口额同比增长 7.6%。 13.（2014 山西）2011 年我国矿产品进口总额约是出口总额的多少倍： A.1.5B.1.8 C.2.1D.2.5 特殊题型：等比例混合 14.（2019 广东）某单

7、位男女干部人数相等，男干部中 60%有基层工作经历， 女干部中 50%有基层工作经历。则在该单位全体干部中，有基层工作经历的占（ ）。 A.55%B.60% C.65%D.70% 15.（2017 联考）某饮料店有纯果汁（即浓度为 100%）10 千克，浓度为 30% 的浓缩还原果汁 20 千克。若取纯果汁、浓缩还原果汁各 10 千克倒入 10 千克纯净水中，再倒入 10 千克的浓缩还原果汁，则得到的果汁浓度为： A.40%B.37.5% C.35%D.30% 16.（2018 国考）甲商店购入 400 件同款夏装。7 月以进价的 1.6 倍出售， 共售出 200 件；8 月以进价的 1.3

8、倍出售，共售出 100 件；9 月以进价的 0.7 倍将剩余的100 件全部售出，总共获利15000 元。问这批夏装的单件进价为多少元？ A.125 B.144 C.100 D.120 学霸养成-线段法（笔记） 【注意】线段法：主要用于数量关系和资料分析中，很多同学可能或多或少听过线段法，觉得线段法比较神奇，今天花 1 个半小时系统的学习线段法。 讲在课前： 关于区别：方程法、十字交叉、线段法。这三种方法实际都是可以解题，原理是相同的，而线段法才是最优解。方程法如微信版本的 1.0 形式（发短信、发文字消息），十字交叉法是 2.0 版本（发图片、发朋友圈），线段法是 3.0版本（发红包、视频电

9、话），原理虽然相同，简易程度是有进阶的。十字交叉没有学习过，不会影响线段法的学习，本节课从零基础到 3.0 版本的学习是没有问题的。 关于秩序：听懂打 1，不懂打 0。 如何学习： 什么时候用（重点关注）明辨：特征、适用范围。 怎么用谨记：结论、操作形式。会解释相关原理、推导相关过程，但只需记住结论和操作形式即可。 例：浓度为 20%的盐水 X 克与 30%的盐水 Y 克，混合为 27%的盐水。 答：将两种不同的溶液进行混合，得到新的浓度的溶液，实际是混合溶液问题。20%的盐水与 30%的盐水混合，得到的浓度介于 20%30%之间，20%的盐水溶液较淡，30%的盐水溶液较咸，将 30%的盐水溶

10、液倒入 20%的盐水溶液中，20%的盐水溶液的浓度会上升；若将 20%的盐水溶液倒入 30%的盐水溶液中，30%的盐水溶液浓度会下降。 问 X 与 Y 的比值。 答：混合属于物理的变化，不发生反应，在整个过程中，混合前后的溶质质量与溶液质量不变，设第一杯盐水为溶液，第二杯盐水为溶液，第三杯盐水为溶液，盐水溶质质量+盐水溶质质量=盐水溶质质量，浓度=溶质/溶液溶质=溶液*浓度，代入数据：20%X+30%Y=27%*（X+Y）30%Y-27%Y=27%X-20%X（30%-27%）*Y=（27%-20%）*X（30%-27%）/（27%-20%）=X/Y=3/7溶液与混合后溶液浓度的差值/溶液与混

11、合后溶液浓度的差值=溶液质量/溶液质量=距离/距离=量/量。 结论：距离和量成反比。 线段法：画一条线段，混合之前写两边，20%和 30%分别写在线段的左右两边，对应的量分别为 X、Y，混合后的浓度为 27%（写中间），距离之比=（27%-20%）：（30%-27%）=7%：3%=7：3，距离与量成反比，量之比 X：Y=3：7。 经典例题 1.（2019 河北）将 300 克浓度 95%的酒精与若干浓度 60%的酒精，混合成浓度 75%的酒精，需要浓度 60%的酒精多少克？ A.225B.240 C.380D.400 【解析】1.依题意，两种酒精混合，得到新的酒精浓度为 75%，判定题型为混合

12、溶液问题，考虑线段法。混合前写两边，60%、95%写在线段的左右两边，混合后写中间：混合后的 75%写在线段中间；距离之比=（75%-60%）：（95%-75%）=15%：20%=3：4，距离与量成反比，量之比=4：3，3 份对应 300g，1 份对应 100g， 所求=4*100=400g，对应 D 项。【选 D】 【注意】变变变： 变形一：300g95%的酒精 A 与 400g 酒精 B，混合为 75%的酒精，求 B 的浓度？ 答：两种不同溶液进行混合得到新的溶液，混合溶液问题，考虑线段法。混合之前写两边：300g95%的酒精 A 与 400g 的酒精 B 分别写在线段的左右两边；混合之后

13、写中间：混合后的溶液浓度为 75%，量之比=300g：400g=3：4；距离与量成反比，距离之比=4：3，95%-75%=20%，4 份对应 20%，1 份对应 5%，3 份对应15%，所求=75%-15%=60%。 变形二：300g95%的酒精 A 与 400g60%酒精 B，混合后的酒精浓度为多少？ 答：依题意，考虑线段法。400g60%的酒精 B 与 300g95%的酒精 A 分别写在线段左右两边，已知量之比=400g：300g=4：3，距离与量成反比，距离之比为 3： 4，总体距离=95%-60%=35%，总份数为 4+3=7 份，7 份对应 35%，1 份对应 5%，3 份对应 15

14、%，所求=60%+15%=75%。 小数写在左边还是写在右边并不影响做题，可以根据个人习惯决定。 2.（2021 山西）现有浓度为 86%的酒精 100 克和 20%的酒精 1000 克，用来配置浓度为 75%的消毒酒精，问最多可以配置多少克？（ ） A.100B.120 C.140D.160 【解析】2.依题意，两种浓度的酒精混合得到新浓度的酒精，溶液混合问题， 考虑线段法，问的是最多可以配置多少克，并不是将 100g 和 1000g 直接倒在一起，可能出现两种酒精选择部分量进行混合。20%的酒精与 86%的酒精分别写在线段的左右两边，混合后浓度为 75%的酒精写在线段中间，距离之比=（75

15、%-20%）：（86%-75%）=55%：11%=5：1，距离与量成反比，量之比为 1：5，配比时要满足1：5 的形式，已知 86%的酒精 100 克和 20%的酒精 1000 克，86%的酒精最多使用100g，5 份对应 100g，1 份对应 20g，则 20%的酒精使用 20g，所求=100+20=120g， 对应 B 项。【选 B】 【注意】总结： 题型判定：混合溶液问题线段法。 解题技巧：熟记口诀。 混合之前写两边、混合之后写中间。 距离和量成反比、看好份数认真算。 延伸：混合比例：A/B。两个比例关系混合后得到新的比例关系，称为混合比例问题。 浓度=溶质/溶液。 利润率=利润/成本。

16、卖一件上衣利润率为 50%，卖一条裤子的利润率为 10%，可以表示出卖一整套衣服的利润率（上衣利润率与裤子利润率相混合）。 折扣=售价/原价。买一件上衣打 7 折，买一条裤子打 5 折，两个比例关系混合，可以得到整套衣服混合打折的情况。 占比=部分/总体。一班男生的占比为 40%，二班男生的占比为 50%， 两个班级混合，可以得到一班与二班整体男生占比的情况。 平均数=总数/个数。男生的平均分为 80 分，女生的平均分为 90 分， 两个平均分进行混合，可以得到全班的平均分。 增长率=增长量/基期量。进口额增长率为 5%，出口额增长率为 10%， 两个增长率进行混合，可以得到进出口额的增长率。

17、 注意：距离与量成反比（距离指混合前后的比例差值之比，量指分母之比）。如 50%的溶液与 90%的溶液混合得到 70%的溶液，距离之比=（70%-50%）：（90%-70%）。浓度进行混合，得到的是溶液之比；利润率进行混合，得到的是成本之比；折扣进行混合，得到的是原价之比；占比进行混合，得到的是总体之比； 平均数进行混合，得到的是个数之比；增长率进行混合，得到的是基期量之比。 3.（2020 联考）由于改良了种植技术，农场 2017 年种植的 A 和 B 两种作物， 产量分别增加了 10%和 25%。已知 2017 年两种作物总产量增加了 18%，问 2017 年 A 和 B 两种作物的产量比

18、为： A.7：8B.8：7 C.176：175D.77：100 【解析】3.出现增加+%，为增长率，两个增长率进行混合得到新的增长率， 满足混合比例问题。混合之前写两边，混合之后写中间，10%的 A 作物与 25%的 B 作物分别写在线段的左右两边，混合后的 18%写中间，距离之比=（18%-10%）：（25%-18%）=8：7，距离与量成反比，量之比为 7：8，问的是 2017 年的值，量指的是分母，增长率=增长量/基期量，“7：8”对应的是 2016 年的比例，要求2017 年的产量比，所求=7*（1+10%）/8*（1+25%）=7.7/10=77/100，对应 D 项。【选 D】 【知

19、识点】线段法： 适用范围：混合比例。常见：浓度、利润率、折扣、增长率、比重、平均数。 操作步骤： 混合之前写两边、混合之后写中间。 距离和量成反比、看好份数认真算。3.注意事项：量指分母。 适用题型 【注意】重点题型训练：浓度问题前面已经经过，此处不再讲浓度问题。1.经济利润问题：利润率、折扣。 比重。 平均数。 增长率。 经济利润问题 4.（2020 贵州）某超市采购一批饼干，在运输过程中有部分因挤压受损。将包装完好的饼干售出，利润率为 40%；将包装受损的饼干降价后售出，亏损了15%。最后结算得知该批饼干总的利润率为 20.2%。则该批饼干中包装完好部分的占比范围是（ ）。 A.低于 50

20、%B.50%60% C.60%70%D.高于 70% 【解析】4.有包装完好的和包装受损的饼干，包装完好的饼干利润率为 40%， 包装受损的饼干利润率为-15%，两个利润率混合得到总体利润率 20.2%，出现比例混合的问题。利用线段法，混合前写两边，-15%和 40%进行混合得到 20.2%， 距离之比=（20.2%+15%）：（40%-20.2%）=35.2%：19.8%=352：198，距离和量成反比，量之比=198：352。利润率=利润/成本，量为成本，则两者的成本之比为198：352，已知总成本=单一成本*数量，单一成本一样，则数量之比=198：352， 则受损的和完好的饼干数量之比为

21、 198：352，所求=352/（198+352）=352/550， 首位商 6，商不到 7，对应 C 项。【选 C】 【注意】混合之前写两边、混合之后写中间；距离和量成反比、看好份数认真算。 5.（2020 浙江）某书店从图书批发商那里以图书定价的四折购进一批图书， 又以定价的八折售出这批图书的 60%，剩下 40%的图书以六折的价格售完。那么这批图书的利润率是多少？ A.68%B.70% C.72%D.80% 【解析】5.已知“以图书定价的四折购进一批图书”，告诉了成本的情况。第一批图书按照定价的八折进行出售，第二批图书按照定价的六折进行出售，出现两个折扣，两个折扣可以混合得到总体的折扣。

22、6 折为 60%、8 折为 80%，第一批出售 60%，第二批出售 40%，则量之比为 40%：60%=2：3，距离和量成反比， 距离之比为 3：2，总的距离为 80%-60%=20%，按照 3：2 分配，总份数为 5 份，5 份对应 20%，1 份对应 4%，3 份对应 12%，混合后的折扣为 60%+12%=72%，混合后的售价是以定价的 72 折出售，很多同学容易错选 C 项；以定价的 72 折售卖，问利润率，成本是以定价的四折进货，利润率=（售价-成本）/成本=（72%*定价-40% 定价）/（40%*定价）=32%/40%=80%，对应 D 项。【选 D】 【注意】 混合之前写两边、

23、混合之后写中间；距离和量成反比、看好份数认真算。 用利润率进行混合。成本是定价的 4 折，第一批的售价为定价的 80%，第一批的利润率为（定价*80%-定价*40%）/（定价*40%）=100%；第二批售价为定价为 80%，第二批的利润率为（定价*60%-定价*40%）/定价*40%=50%，两者的利润率进行混合可以得到总体的利润率。 6.（2016 联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为 1：3，美术系男女生人数之比为 2：3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？ A.5：2B.5：1 C.3：1D.2：1 【解析】6.已知

24、“已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为 1：3，美术系男女生人数之比为 2：3”，音乐系男生的比重为 1/4=25%，美术系男生的比重为 2/5=40%，利用线段法，两个比例进行混合得到 30%，音乐为 25%，美术为 40%，混合后得到 30%，距离之比=5%：10%=1：2，则量之比=2： 1，则音乐/美术=2/1，对应 D 项。【选 D】 7.（2021 联考）某单位员工中，75%的人为党员，其余为群众，60%的员工拥有资格证书。已知群众和党员分别有 x%和 y%的人拥有资格证书，且 y-x=20， 问 x 的值为（ ）。 A.40B.45 C.60D.65 【解

25、析】7.已知“75%的人为党员”，则群众为 25%，党员和群众人数的比例为 75%：25%=3：1。群众的 x%和党员的 y%进行混合得到总体的 60%，两个比例关系进行混合得到新的比例关系，混合之前写两边，混合之后写中间，党员和群众之比为 1：3，则人数（分母）之比为 1：3，则距离之比为 3：1，两段的距离为3：1，已知 y-x=20，说明总体为 20%，对应 3+1=4 份，则 1 份对应 5%，3 份对应15%，x%和 60%之间的差距为 15%，则 x%=60%-15%=45%，对应 B 项。【选 B】 【注意】要知道哪两个比例混合得到新比例，混合前和混合后的比例差距是距离，比例的分

26、母是谁，则量就是谁。 对“公共场所抽烟条例修订及立法”问题的调查结果显示：95.2%的受访市民表示支持，2.9%的表示不支持，1.9%的表示无所谓；97%的女性受访市民表示支持；92.7%的男性市民表示支持。 8.（2018 江苏）本次调查中受访女性市民人数占受访总人数的比重是： A.36.7%B.41.9% C.58.1%D.63.3% 【解析】8.找到和女性相关的数据，材料出现女性的占比为 97%，男性占比为 92.7%，两个比例关系进行混合，得到总体支持率的情况。男性为 92.7%，女性为 97%，两者混合，混合后写中间为 95.2%，距离之比=（95.2%-92.7%）：（97%-95

27、.2%）=2.5%：1.8%=25：18，则量之比=18：25，97%的女性受访市民表示支持，女性支持率=支持的女性/总女性，已知量之比=18：25，则男性总人数/ 女性总人数=18：25，求受访女性市民人数占受访总人数的比重，所求=25/（18+25）=25/43，首位商不到 6，但是接近 6，对应 C 项。【选 C】 【注意】B 项是男性的占比情况。 平均数问题： 9.（2017 联考）甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为 92 分，其中甲队平均得分为 88 分，乙队平均得分为 94 分，则甲乙两队人数之和可能是： A.20B.21 C.23D.25 【解析】9.出现甲的平均数和乙的平

28、均数，两者混合得到两队总体的平均数， 两个比例混合得到新比例，利用线段法解题，甲的平均数为 88，乙的平均数为94，两者混合后写中间，总体平均数为 92，距离之比为 4：2=2：1，则甲队和乙队人数比为 1：2，求甲乙两队人数之和，两队人数对应 3 份，人数为整数，3 份对应整数，则答案为 3 的倍数，只有 B 项满足。【选 B】 2014 年，某地区生态移民人均可支配收入 5084 元，其中县内移民人均可支配收入 4933 元，县外移民人均可支配收入 5253 元。 10.（2016 山东）2014 年，该地区生态移民中，县内移民与县外移民人数之比与以下哪一项最接近？ A.8：5B.10：9

29、 C.5：8D.9：10 【解析】10.找到县内和县外的情况，县内人均收入 4933 元和县外的人均收入 5253 元进行混合可以得到总体的人均收入 5084 元，满足混合比例问题。利用线段法，县内和县外写两边，混合后写中间，先求出距离之比，（5084-4933）：（5253-5084）=151：169，距离之比和量成反比，则量之比为 169：151，人均收入的分母为人数，则县内人数：县外人数=169：151，近似估算，所求 170/150=17/15，第一个数字大于第二个数字，排除 C、D 项；在 A、B 项中选择， 两者约为 1.1 左右，8/5 比 1 大很多，B 项当选。【选 B】 2

30、018 年国家统计局组织开展了第二次全国时间利用的随机抽样调查，共调查 48580 人。结果显示，受访居民在一天的活动中，有酬劳动平均用时 4 小时24 分钟。其中，男性 5 小时 15 分钟，女性 3 小时 35 分钟。 11.（2019 江苏）受访的男性居民约有 A.2.4 万人B.2.6 万人 C.2.9 万人D.3.0 万人 【解析】11.已知“有酬劳动平均用时 4 小时 24 分钟。其中，男性 5 小时15 分钟，女性 3 小时 35 分钟”，男性的平均数和女性的平均数混合得到所有的平均数，是混合比例问题。利用线段法解决，混合前写两边，混合后写中间，女性为 3 小时 35 分钟，男性

31、 5 小时 15 分钟，混合后为 4 小时 24 分钟，1 小时=60分钟，距离之比=（4 小时 24 分钟-3 小时 35 分钟）：（5 小时 15 分钟-4 小时 24分钟）=49：51，距离和量成反比，在量之比=51：49，女性/男性=51：49，问受访的男性居民，所求=49/（51+49）=49/100，总人数为 48580 人，48580*（49/100）4.8 万*（1/2）=2.4 万，对应 A 项。【选 A】 增长率问题 （2018 年）按消费类型分，7 月份，餐饮收入 3343 亿元，同比增长 9.4%； 商品零售 27391 亿元，同比增长 8.7%。17 月份，餐饮收入

32、22800 亿元，同比增长 9.8%；商品零售 187951 亿元，同比增长 9.2%。 12.（2019 辽宁）2018 年 16 月，商品零售同比增长约为： A.8.6%B.9.2% C.9.3%D.9.5% 【解析】12.求 2016 年的增长率，由“商品零售”定位材料找数据，已知 7 月和 17 月的现期值和增长率，7 月+16 月=17 月，是混合增长率问题。7 月的增速为 8.7%，16 月的增速未知，17 月的增速为 9.2%，7 月的值为 27391，17 月的值为 187951，则 16 月的值为 187951-27391160560。如果算出基期值再比较，计算难度较大，求混

33、合增长率时，已知现期值，可以用现期值代替基期值计算， 7 月的值和 1 6 月的值可以利用现期的比例关系代替， 160560/27391，首位可以商 6，则量之比约为 1：6，则距离之比为 6：1，左边距离为 0.5%，则 1 份对应 0.08%，则右边距离为 0.08%，则 16 月的增速为9.2%+0.08%=9.28%，最接近 C 项。【选 C】 2012 年，我国矿产品对外贸易活跃，进出口额 9919 亿美元，同比增长 3.6%， 其中，进口额同比增长 1.4%，出口额同比增长 7.6%。 13.（2014 山西）2011 年我国矿产品进口总额约是出口总额的多少倍： A.1.5B.1.

34、8 C.2.1D.2.5 【解析】13.问题时间为 2011 年，倍数问题，定位材料，给了 2012 年进出口的现期值和增长率，进口增长率和出口增长率混合得到进出口增长率，是混合增长率问题，进口额同比增长 1.4%，出口额同比增长 7.6%，两者进行混合得到3.6%，距离之比=（3.6%-1.4%）：（7.6%-3.6%）=2.2%：4%=22：40，距离和量成反比，则量之比=20：11，所求=20/111.8，对应 B 项。【选 B】 【知识点】1：1 等量混合：浓度为 20%的溶液 10 千克和 40%的浓度的 10 千克溶液进行混合，量之比为 1：1，则距离之比为 1：1，混合后的比例为中间值为 30%。 例：20%的盐水 10kg、40%的盐水 10kg 与 50%的盐水 20kg 混合后的浓度为多少？ 答：三种溶液倒在一起，有等量先考虑等量混合，20%的盐水 10kg 和 40%的盐水 10kg 混合，两者混合后的比例为（20%+40%）/2=30%，混合后的溶液为 20kg， 20kg 的浓度为 30%的盐水和 20kg 浓度为 50%的盐水混合，又是等量混合，则混合后的浓度为（30%+50%）/2=40%。 总结：两相同的先混合，混合比例是中点，中点公式：（a+b）/2。 特殊题型：等比例混合 14.（2019 广东）某单位男女干部人数相等，男干部中 60%