《常微分方程》教学大纲

1、常微分方程Ordinary Differential Equation一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分：3学分课程总学时：48学时，其中讲课：48学时（含习题课），实验（含上机）：0学时，课外0学时课程性质：必修开课学期：第3学期先修课程：数学分析，高等代数适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、应用统计教 材：东北师范大学数学系微分方程教研室编，常微分方程，高等教育出版社；2005年4月出版(2011年重印)，第二版.开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务本课程是信息与计算科学、应用数学、统计学等专业必修的一门专业课程。人类活动的现实世界中，许多系统的运动规

2、律都是通过常微分方程来表述的。作为一门与微积分一起成长起来的学科，常微分方程已经成为数学理论联系实际的重要课程之一。本课程的主要教学内容有：一阶微分方程的初等解法，一阶微分方程解的存在唯一性定理，线性微分方程（组）通解理论，常系数线性微分方程（组）的解法，微分方程稳定性理论简介等。通过本课程的教学，使学生掌握常微分方程的基本理论、掌握一阶常微分方程初等解法中的常用方法和技巧、掌握常系数线性微分方程（组）的解法，能通过构造一些简单的Liapunov函数，判断微分方程(组)零解的稳定性, 培养学生运用数学手段解决实际问题的能力，在更深层次上理解数学分析、高等代数等有关理论知识，为学习本学科近代知识

3、和本专业后继课程打下基础。教学重点是一阶微分方程的初等解法,线性微分方程(组)的通解结构理论,难点是微分方程基本理论及应用,如利用解的延拓定理,探讨微分方程初值问题解的存在范围等.三、教学内容和要求第1章初等积分法（学时：15）1.1微分方程和解（学时：3）(1) 了解常微分方程产生的背景，它与数学分析和高等代数课程之间的关系，了解线性方程和非线性方程的判别;（2）理解常微分方程相关概念：常微分方程，解、特解与通解，初始条件，积分曲线等;（3）掌握微分方程初始问题的解.重点: 微分方程解的概念.难点: 微分方程初始问题的解, 积分曲线.1.2变量分离方程初等解法（学时：2）（1）了解变量分量分

4、离方程、齐次方程相关概念;（2）理解初等积分法的内涵，即利用不定积分求微分方程的解；理解微分形式的变量分离方程;（3）掌握变量分离方程的解法，齐次方程的解法及变量代换，形如及方程的解法；重点：一阶方程的初等解法，如变量分离方程解法、利用变量代换求解齐次方程的方法. 难点：利用变量变换法求解微分方程.求解对称式方程的积分因子方法，特别是仅与变量和仅与变量有关的特殊积分因子的求法。全微分方程、积分因子一阶隐式微分方程的求解；阶微分方程的降阶法; 线性方程的解法，常数变易法和全微分方程解法（含积分因子的解法）; 线性方程的解法等。1.3一阶线性微分方程解法（学时：2）（1） 了解一阶线性方程的相关定

5、义,如齐次方程、非齐次方程、齐次项和非齐次项等，Bernoulli方程的概念；（2）理解Bernoulli方程的解法，一阶线性方程初始问题的求解公式；（3）掌握一阶线性齐次方程的解法，常数变易法，一阶线性非齐次方程的解法。重点：常数变易法，一阶线性（非）齐次方程的解法。难点：一阶线性非齐次方程的解法，一阶线性方程初始问题的求解公式及应用。1.4 全微分方程及积分因子（学时：4）（1）了解全微分方程、积分因子的概念；（2）理解全微分方程求解思想，即利用二元函数微分理论，求二元函数微分的原函数；积分因子的不唯一性；（3）掌握全微分方程的解法，全微分方程的判断，特殊积分因子的求法。重点：全微分方程的

6、解法，全微分方程的判断，求解对称式方程的积分因子方法，特殊积分因子的求法。难点：二元函数微分的原函数，积分因子的求法。1.5 一阶隐式微分方程及高阶方程的解法（学时：4）（1）了解一阶隐式方程的定义, 一阶隐式方程的四种类型,高阶方程的定义;（2）理解一阶隐式方程与显示方程的不同之处, 一阶隐式方程的求解难点, 高阶方程的求解难点;（3）掌握四种类型的一阶隐式方程的求解方法,高阶方程的降阶法(不显含自变量的高阶方程, 恰当导数方程).重点: 四种类型的一阶隐式方程的求解方法, Clairauty方程的解法，不显含自变量的高阶方程, 恰当导数方程的解法.难点: 第三型一阶隐式方程的求解方法, 不

7、显含自变量的高阶方程的解法.第2章基本定理（学时：6）2.1一阶微分方程解的存在唯一性定理（学时：3）（1）了解解的存在与唯一性定理的条件和结论，解的存在区间，Picard逐步逼近法等概念；（2）理解Lipschitz条件的概念，函数是否满足Lipschitz条件的验证；Lipschitz条件在存在唯一性定理证明中的作用；（3）掌握解的存在与唯一性定理的证明，Picard解序列的构造及收敛性的证明，利用Picard逐步逼近法求近似解。重点：函数是否满足Lipschitz条件的验证，解的存在与唯一性定理的证明，利用Picard逐步逼近法求近似解。难点：Picard解序列的构造及收敛性的证明，利用

8、Picard逐步逼近法求近似解。2.2解的延拓定理，解对初值的连续依赖性和可微性（学时：3）（1）了解局部Lipschitz条件的概念，函数是否满足局部Lipschitz条件的验证，局部国Lipschitz条件在解的延展过程中的作用，解对初值的连续依赖性和可微性；（2）理解饱和解、最大存在区间的概念，解的延展过程，饱和解的存在区间与解的渐近的关系；（3）掌握比较原理和解的延展定理及其证明，初值对解的存在区间的影响。重点：掌握和解的延展定理及其证明，初值对解的存在区间的影响。难点：利用比较原理和解的延展定理，探讨有关方程初值问题解的某些特定性质。如探讨方程的右端函数满足什么条件，能保证其初始问题

9、的解在无穷区间上存在。第3章一阶线性微分方程组（学时：12）3.1一阶线性微分方程组的一般概念(学时：5)（1）了解线性微分方程组的有关概念(系数矩阵、向量值函数、方程组的初始问题)、方程组解的存在唯一性定理及证明思路；（2）理解向量值函数线性相关、线性无关的概念，Wronsky行列式的概念，基本解组的概念，基本解的Wronsky行列式的性质，Liouville公式；（3）掌握线性（齐次、非齐次）微分方程组解的结构，通解基本定理，常数变易法；向量值函数线性相关、线性无关的判断。重点：线性（齐次、非齐次）微分方程组解的结构，通解基本定理，常数变易法；向量值函数线性相关、线性无关的判断。难点：线性

10、非齐次微分方程组解的结构，向量值函数线性相关、线性无关的判断。3.2常系数线性微分方程组的解法(学时：7)（1）了解常系数线性微分方程组的系数矩阵的特征方程、特征根、特征向量，特征根、特征向量与解的关系；（2）理解利用系数矩阵的特征根、特征向量求常系数线性微分方程组的基本解组的方法；（3）掌握常系数线性微分方程组的解法。.重点：常系数线性微分方程组的解法。难点：特征根为重根情形的常系数线性微分方程组的解法。第4章 n阶线性微分方程（学时：13）4.1 n阶线性微分方程的一般理论（学时：3）（1）了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，函数组线性相关、线性无关，函数组的Wronsky行列式等概念

11、；（2）理解n阶线性微分方程与n维线性方程组之间的关系，即对任意一个n阶线性微分方程，可将其化为一个n维线性方程组，且他们的解是等价的，基本解组， Liouville公式；（3）掌握函数组线性相关、线性无关的证明方法，n阶（齐次、非齐次）线性微分方程的通解结构定理的证明。重点：函数组的Wronsky行列式的性质及应用，n阶（齐次、非齐次）线性微分方程的通解结构定理的证明，Liouville公式及其应用。难点：n阶（齐次、非齐次）线性微分方程的通解结构定理的证明。4.2 n阶常系数线性齐次微分方程的解法（学时：3）（1）了解n阶常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根；由特征根确定微分方程的解；

12、（2）理解由复特征根如何确定微分方程解的方法；（3）掌握n阶常系数线性齐次微分方程的解法。重点：n阶常系数线性齐次微分方程的解法。难点：由复特征根如何确定微分方程的解，由重根如何确定微分方程的解，特别是由重复根如何确定微分方程的解。4.3 n阶常系数线性非齐次微分方程的解法（学时：3）（1）了解非齐次项的概念，利用常数变易法求特解的方法；（2）理解比较系数法与常数变易法的差异；（3）掌握第一类型、第二类型n阶常系数线性非齐次微分方程的解法。重点：利用比较系数法求解n阶常系数线性非齐次微分方程的通解。难点：第二类型n阶常系数线性非齐次微分方程的解法。4.4 二阶常系数线性方程与振动现象（学时：2

13、）（1）了解质点运动方程的物理意义，振动、无阻尼自由振动、阻尼自由振动、无阻尼强迫振动、阻尼强迫振动等概念；（2）理解微分方程的解与振动之间的联系，共振概念；（3）掌握通过求二阶常系数线性方程的通解探讨力学问题中振动现象的方法，阻尼项和强迫项对振动的影响。重点：掌握通过求二阶常系数线性方程的通解探讨力学问题中振动现象的方法。难点：阻尼项和强迫项对振动的影响。4.5 Laplace变换及幂级数解法（学时：2）（1）了解Laplace变换及其在微分方程初值问题求解问题中的应用；（2）理解幂级数解法大意；（3）掌握的相关定理及其在微分方程初值问题求解问题中的应用；重点：掌握利用Laplace变换求解二阶常系数线性方程的方法，二阶常系数线性方程的幂级数解的求法。难点：二阶常系数线性方程的幂级数解的求法。定性、稳定性理论简介（学时：2）稳定性理论简介（学时：2）（1）了解稳定性相关概念；（2）理解简单的李雅普诺夫函数的构造方法，正定函数、负定函数的定义；（3）掌握李雅普诺夫函数的定义，通过构造简单的李雅普诺夫函数，利用相关定理，判断零解的稳定性。重点：通过构造简单的李雅普诺夫函数，利用相关定理，判断零解的稳定性。难点：李雅普诺夫函数的构造。四、课程考核（1）