知识讲解-《平面向量》全章复习与巩固-提高

1、平面向量全章复习与巩固编稿：孙永钊审稿：王静伟【学习目标】平而向戢的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平而向屋和向量相等的含义，理解向量的几何 表示：向量的线性运算（1）通过实例，掌握向疑加、减法的运算，并理解其几何意义：（2）通过实例，掌握向呈:数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义：（3）了解向虽的线性运算性质及其几何意义.平而向量的基本立理及坐标表示（1）了解平而向量的基本泄理及其意义：（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平而向量的加、减与数乘运算：（4）理解用坐标表示的平而向量共线的条件.平而向量的数量积（1）通过物

2、理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及苴物理意义：（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系：（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平而向量数量积的运算：（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.向虽的应用经历用向量方法解决某些简单的平而几何问题、力学问题与苴他一些实际问题的过程，体会向量是一 种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】应【要点梳理】要点一：向量的有关概念向重：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).向量的表示方法：字母表示法：如a,b,c,等.几何表示法：用

3、一条有向线段表示向疑.如丽，丽等.坐标表示法：在平而直角坐标系中，设向虽:丙的起点0为在坐标原点，终点A坐标为(兀,y),贝9 (x,y)称为OA的坐标,记为OA二(兀,y).相等向量：长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移，平移前后的向量相等两向量2与厶相等，记为a = b.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，苴方向是任意的.单位向量：长度等于1个单位的向量单位向呈:有无数个，每一个方向都有一个单位向量.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规立：6与任一向 量共线.注：共线向量又称为平行向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.要点二

4、、向量的运算运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法BrOAOB = OCOB -OA = AB记 OA 二（xi, yj, OB 二（x“ y3）则 0A +OB = （xi+xs, yi+ys）OB-0A- （xcxi, y：-yi）页+历二亦实数与向量的乘积才A用?BAB = Aa几wR记 a 二（x, y）则2a =（2as Ay）两个向量的数量积Qb= a b cos（仏b）记& =（知必）/ =（心力）T T则 & b =XiX2+yiys运算律（d + ）+ c = a + （Z? + c）（结合律）加法：TTTfa b 二 b a ；（2g）/?二 a（/lb）二几（a+

5、b）c 二 gc+c运算性质及重要结论（1）平而向量基本定理：如果玄,&是同一平而内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量2,有且只有一对实数人，人，使a = + ,称人石+心云为石,&的线性组合.其中石，&叫做表示这一平而内所有向量的基底；平而内任一向量都可以沿两个不共线向量&的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一 的.当基底石,&是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平而直角坐标系，因此平而向量基本定理实际 上是平而向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，左义向量坐标为终点坐标，即若A(x, y),则OA = (x, y)：当向虽:起点不在原点时，向量忑坐

6、标为终点坐标减去起点坐标，即若 A(xi, yj, B(x2 y3) 则 AB = (x3-Xi,兀-刃)两个向量平行的充要条件符号语言：a/ba = Ab(bO)坐标语言为：设非零向M =(X),)?!)= (x,y2) 则 a /? O(X1, yj = 2 (x:, y=),或 xy-xypO.两个向量垂直的充要条件符号语言:a丄b o ab = 0坐标语言:设非零向M = (xp?(),/? = (x2,y2) 则 a 丄 b xxx2 + yy2 =0(求线段的长度);:丄ba-b=0 (垂直的判断):两个向量数量积的重要性质:cos 0 =(求角度).a b要点诠释：向量的线性运算

7、在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能 利用向量运算完成简单的几何证明；向戢的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平而几何中的问题，减法的三角形法则应 记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数)记清法则是灵活运用的前提.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的通常用来判断三点在同一条直线上或两直线 平行该左理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平而向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明.向量在几何中的

8、应用：证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件all h a = A b(b 0) (xi yj 二几(xz, yj证明垂直问题，常用垂直的充要条件T T T Ta 丄 b o aZ? = 0 0 xxx2 + yy2 =0ah求夹角问题，利用I4H求线段的长度，可以利用1:1=一州)+(2【典型例题】类型一：平面向量的概念例1给出下列命题：若A, B, C, D是不共线的四点，则而=反是四边形ABCD为平行四边形的充要条件:若b=c, Wa=c；万“的充要条件是Q二b且万/若a/b9 b/c, Kija/c；其中正确的序号是.设a()为单位向量，若“为平而内的某个向量，

9、则。=a “ ；若。与a。平行，则a =若方与石平行且 =1,则方=石上述命题中，假命题个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3【思路点拨】利用平而向量的相关基本概念和基本知识进行判断。【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一泄相同:正确； AB = DC四边形= DC. I AB 1=1 DC I且丽万又A, B. C, D是不共线的四点，Z.ABCD为平行四边形；反乙 若四边形ABCD为平行四边形，则而 DC KAB=DC.因此，AB正确； d=b, A a,乙的长度相等且方向相同：又b=c. A b, 0的长度相等且方向相同， d, E的长度相等且方向相同，故0.不正确：当d

10、/b且方向相反时，即使丨&二币，也不能得到&莎，故d= b且d/b不是&二b 的充要条件，而是必要不充分条件：不正确：考虑=0这种特殊情况：综上所述，正确命题的序号是.(2)向量是既有大小又有方向的量，。与“5模相同，但方向不一左相同，故(1)是假命题：若与山 平行，则方与石方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时方=闫石，故(2)、(3)也是假命题.综 上所述，答案选D.【总结升华】本例主要复习向量的基本概念向疑的基本槪念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方 面要构建良好的知识结构，另一方而要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想向量的概念较多， 且容易混淆，故在学习中要分淸，理解各槪念的实

11、质，注意区分共线向量、平行向呈:、同向向虽:等概念.举一反三：【变式】判断下列各命题正确与否：0-=0；o-a = o；若a=a-c ,则b = c 若ab=acf则bc当且仅当5 = 6时成立:(ab)c=abc)对任意N 恥 向量都成立;对任意向量五,有a2=d.【解析】错；(2)对；(3)错：错：错：对.【总结升华】通过该题我们淸楚了向量的数乘与数量积之间的区別与联系，重点淸楚02为零向量, 而为零.类型二：平面向量的运算法则ECD例2如图所示，已知正六边形ABCDEF, 0是它的中心，若亦二BC=b,试用乳乙将向虽:呢，BF , BD. FD表示出来.【思路点拨】根拯向量加法的平行四边

12、形法则和减法的三角形法则，用向量，乙来表示英他向量， 只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心0及顶点A, B, C四点构成平行四边形ABCO,所以BA + BC = BA + AO = Bd, BOa+b OE= BO=d+b ,由于A, B, 0, F四点也构成平行四边形ABOF,所以BF = BO+ OF =BO + BA=d-b+d=2(i+b , 同样在平行四边形 BCDO 中，BD = BC + CD = BC + W = b + ( a + b )= d + 2 b , FD = BC-BA=b-a.【总结升华】其实在以

13、A, B, C, D, E, F及0七点中，任两点为起点和终点，均可用d, b表示， 且可用规圧其中任两个向量为&，b,另外任取两点为起点和终点，也可用方，D表示.举一反三：【变式1】设A、B、C、D、0是平而上的任意五点，试化简：AB + BC + CD, DB + AC + BD , -OA-OC+ OB-CO.【解析】原式二(莊+茕)+页=犹+页=而：原式二(DB + BD) + AC = 0 + AC = AC：原式二(OB-OA) + (-OC-CO) = AB-(OC + Cd) = AB + 6=AB.【变式2】设丘为未知向呈:，a. 5为已知向邕 解方程2壬-(5N+3丘-疝)

14、+丄万-3厶二02【解析】原方程可化为:(2无-3无)+(-5玄+丄a)+(4b-3b)=Qf29 一:.x = - ci+b 2【总结升华】平面向捲的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质.类型三：平面向量的坐标及运算例3.已知点A(4X)(44),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB (O为坐标原点)交点P的坐标.【解析】设 P(x,y),则 OP = (x,y), AP = x-4, y)因为卩是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上.即得帀/ OB.AP/AC .由点 4(4,0)”(4,4),C(2,6)得，AC = (-2,6X05

15、= (4,4).得方程组24x-4y = 0故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)例4.已知万=(4,3)，=(-1,2). m = a-Ab,n = 2a+b ,按下列条件求实数兄的值.(1) m丄而:(2)历历：(3)|m| = |H|.【解析】历=刁一久厶=(4+几,3 2兄)，n = 2a+b=(7,8)52(1)历丄” =(4 + 2)x7 +(3-22)x8 = 0 =2 =-；岡=n = J(4 + /l)+(3-22) = 772 +82 = 5才-42-88 = 022、/TT5【总结升华】此例展示了向屋在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.举一反三：【变式】平而内给泄

16、三个向量N = (3,2)/=(1,2),E = (4,1),回答下列问题:求满足a = mb + nc的实数m, n；若(a + kc)/(2b-a),求实数 k；(3)若力满足(J-c)/(+/7),且|J-c| = /5 ,求2.【解析】由题意得(3,2)= m(-l,2)+n(4J),所以/58(2) ka-b =伙一 2,-1), a + 3b =(7,3)_7_此时k a-b =伙_2,1)=(一亍一1), a + 3b =(7,3),则a + 3b =一3(応一初，即此时向量万+ 3乙与ka-b方向相反.【总结升华】上面两个例子重点解析了平而向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握

17、平而向量的共 线的判泄以及平而向量模的计算方法.举一反三：【变式】已知(1 = (3, 4), b =(4, 3),求x, y的值使(xci+yb )丄刁，且I xa+yb =1.【解析】由&二(3, 4), b =(4, 3) 有 xa+yb =(3x+4yi 4x+3y):又(xa +irb )丄 a (xa+yb ) 万=0 U3(3x+4y)+4(4x+3y)=0： TOC o 1-5 h z 即 25x+24y= 0；又丨 x：+y5 I =1 I xN+y5 I = 1 ；O ( 3 x+4y) + ( 4 x+3y) J= 1 ：整理得 25x2 +48xy+25y= 1 即 x

18、(25x+24y)+24xy+25y2= 1；由有24xy+25y丄1：将变形代入可得：y=|；再代回得：2435【总结升华】这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.类型四：平面向量的夹角问题A. 30 B. 60 C. 120 D. 150【答案】c【解析】设所求两向量的夹角为&TTTTTTf fTT -f T/ c = a+b, c 丄“,. c a = (a+ h)-a = a + a b = 0.d 卩=一 I d II Z? I COS& , 即：COS8 = =LfL( = abb2所以 8=120。.【总结升华】解决向量的夹角问题时要借助于公式cos& =，要掌握向量坐标形式的

19、运算向a-b量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑对于a =1 II b IcosO这个公式的变形应用应该做到熟练, 另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握.举一反三：【变式】与向戡=匚丄的夹角相等，且模为1的向量是()或1.55)4 355【解析】设所求平而向量为二 由c =时,155)5 5)f 43、5)当(？=(0(D)(2迈或I,血冷,33丿33/133丿4 3) TOC o 1-5 h z 31时，cos =； 2-(43、一-155丿当 c= 一一，一 时，cos =I 5 5丿2一 一 (71、-(17、故平而向量c与向量“=丄=的夹角相等故选B.12 2； (2 2)例7.设

20、向量2与乙的夹角为&,且 = (3,3),劝一方=(一1,1),则COS&二【思路点拨】本题主要考査平面向量的坐标运算和平而向虽:的数量枳，以及用平而向量的数量积处理有关角度的问题.【解析】设b = (x, y),由2b-a = 2(x, y)-(3,3) = (2x-3,2y-3) = (-1,1)2x_3 = _l2y_3=l/； = （1,2）3x1 + 3x 2 后+歼.“+2?31010故谱例8.已知两单位向量厅与5的夹角为120,若 = 2脯=3口,试求E与2的夹角.【解析】由题意，同=5 =1,且ci与5的夹角为120, 所以，-/?=p|/?|cosl20u=-l,|c|2 =

21、c-c = （2a-b）-（2a-b）=4a2-4a-b+b2 =7 , .屈=0, 同理可得:.d = y/n.17而乙力=（苟_5）（3/；_力）=7&/；_3沪_2&2=_,2 设&为8与2的夹角，17贝|J COS& = L ）_ =27713.17阿182 例9已知方、厶都是非零向量,且方+3乙与兀一5厶垂直，a-4b与7方一左垂直,求方与乙的夹角0。【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为0T联立求：与乙的关系T应用夹角公式求结果。【解析】由已知：（2 + 3 弘（7 方 一 5 厉=0,（方一 4bM7a 一 2b） = 0. 即7才+16方必一 15匸=07a 一30血+ 8/?

22、=0两式相减，得2a.b = b代入其中任一式，得a2 =b4=60例 10.已知向M = (cos(-)5sin(-),b = (cos( -sin( -0), (1)求证：a 丄仏；(2)若存2 2在不等于0的实数k和t,使1 =方+手+ 3)从y = -ka+tk满足I丄孑试求此时耳匚的最小值。t【思路点拨】（1）可通过求ab = 0证明方丄从（2）由1丄孑得Jy = O,即求出关于k, t的一个方程，从而求出 匕匚的代数表达式，消去一个 t量k,得岀关于t的函数，从而求出最小值。【解析】（1）= cos(-Q)*cos(0) + sin(-)sin(0) = sin &cos 0 一

23、sin &cos & = 0.2 2alb（2）由尤丄y得xy = 0 ,即a + (t2 + 3)b-ka + tb) = 0,/. ka +(/ +3/)5 +t-k(t2 +3)ab = 0 /. -k a + (f、+30 b = 0.X| = 1、b = 1,.-k +/ +3/ = 0,.k =t -3f. k+t2 P + r +3t,1 o 11=广 +/ + 3 = (/ + 一) +tt24故当心丄时，土 有最小值11.2 t4举_反三:【变式】已知，其中0va T求证：o+b与a-b互相垂直：若ka+b与k：-E(k工0)的长度相等，求0 a.2 2【解析】因为(a +

24、)(“一”) = - a b + b a b=a b =1“1一1肿=(cos& + sina - Jcos0 + sin0=1-1=0 所以a + b与7匚互相垂直.(2) ka + b = (k cosa + cos/7, k sin a + sin /7) ka- b =(cosa-cos0, sin a-sin 0), 所以 ka+ b= Jk + 2k cos(0 - a) + 1 tk a- b= Jk? -2k cos(0- a) + 1 ,因为ka+b=ka-b9所以+ 2k cos(0- a) + = k2 -2k cos(0- a) + 1,有 2k cos(/7 _ a)

25、 = 一2k cos(0 _ a),因为 工 0,故cos(0a) = 0 ,又因为 0 v a pn, 0 0- a 2y-x) = (/?,q),y二P， x2p即 c (2pQ p).例12求证：起点相同的三个非零向量乳b, 3d-2b的终点在同一条直线上.则走=OCOA=2(d-b)9 AB = OB-OA=b-a. AC = -2AB.I 疋，丽共线且有公共点A,因此，A, B, C三点共线，垠新资料推荐即向疑&, b, 3d2b的终点在同一直线上.【总结升华】利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：证明向量平行：说明两个向量有公共点：用向戢平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行：说明两向疑无公共点.例 13.已知a2+b