2021上资格证数学科目三-理论精讲-高等代数4-1.20晚-高峰

1、2021教师资格证数学科目三高等代数4主讲：高峰考点：1.解的情况2.求解3.解的性质（二）非齐次线性方程组的解1. 定义P161选（二）非齐次线性方程组的解1 2 3 1, = 0 1 2 30 0 0 21 2 3 1, = 0 1 2 30 0 1 01 2 3 1, = 0 1 2 30 0 0 0P161（二）非齐次线性方程组的解2. 通解P162简（二）非齐次线性方程组的解3. 非齐次线性方程组的解法第一步：将增广矩阵B=(A, b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。第二步：若有解，化成行最简形矩阵，写出同解方程组；第三步：赋值得到基础解系与特解；，为任意常数)第四步：写出通解 =

2、 + + ( ，为任意常数)，不带参非齐次线性方程组解的通解具有形式x= + + ( 数部分 是非齐次方程组的一个解；带参数部分 + 的两个向量构成对应齐次 方程的通解。P1621 1 3 1 13 1 3 4 41 5 9 8 0B= , =P163P163解：对增广矩阵B进行初等变换1 1 3 1 1；1 1 3 1 10 4 6 7 10 4 6 7 1 B=3 1 3 4 41 5 9 8 03 3 51 1 3 1 13 7 10 1 2 4 40 0 0 0 01 0 ； 2 4 43 7 10 1 2 4 40 0 0 0 0R(A)=R(A, b)=2，方程组有解，同解方程组为

3、 = +，它的一个特解为 =基础解系为 =， = = + 1 = 0 = 01，所以通解= + + 10000100P163选+简（二）非齐次线性方程组的解3. 非齐次线性方程组解的性质性质1：设 ， 是非齐次线性方程组AXb的解, 则 是对应的齐次线性方程组AX0的解。性质2：设是非齐次线性方程组AXb的解, 为对应的齐次线性方程组AX0的解，则+ 是非齐次线性方程组AXb的解。P162选三、特征值与特征向量一般地，给定矩阵M，若存在一个非零向量和实数，满足M=，则称为矩阵M的特征值，为矩阵M属于特征值的特征向量，上述定义表明，特征向量在矩阵变换后的像与原向量是共线的。M=1 2 2 12

4、1 2 12 2 1 1111例：=5结论：n阶矩阵的特征值个数为n个（包括重根）P164考点类型一：给定矩阵求特征值个数P165考点类型二：已知矩阵及特征向量求特征值P165考点类型三：共线性P164选三、特征值与特征向量P164考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量1 0 2设 =，求矩阵的特征值0 3 02 0 1P166考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量1 0 2设 =，求矩阵的特征值0 3 02 0 1P166选三、特征值与特征向量P164考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量P166考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量P166考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量P166P1

5、66选四、相似矩阵P167选四、相似矩阵P167选四、相似矩阵P167补充例题1 0 20 3 02 0 1已知矩阵 =，判定矩阵A是否可以相似对角化。步骤：1.求A的特征值2.K重根，验证：求 = 0基础解系的解向量个数 = 求特征值验证：0令 = 1, = 0, = 1 ，01令 = 0, = 1, = 0 ；1即方程组 3 = 0的基础解系有两个线性无关的解向量，所以对于矩阵A的二重特征值3 ，有两个线性无关特征向量。补充例题1 0 20 3 02 0 1已知矩阵 =，判定矩阵A是否可以相似对角化。步骤：1.求A的特征值（1）若A的特征值互不相同，则A一定可以相似对角化；（2）若A有K重

6、特征值，则验证；2.K重根 ，求齐次线性方程 x = 0（1）若基础解系的解向量个数有个，即对应 = ，则A可相似对角化；（2）若基础解系的解向量个数 ，则A不能相似对角化；总结第四节 矩阵与变换一 内积、施密特正交化、正交矩阵二 二次型矩阵与线性变换的关系三初中高中2016年下：920162017201792年下：2017年上：2年上：2017年下：5、142018年下：6、102019年下：95 9年下： 、Lorem ipsum dolor sit amet201820196 10年下： 、6 9年下： 、简+解一、内积、施密特正交化、正交矩阵（一）内积11 = 1 ， = 234P16

7、8简+解一、内积、施密特正交化、正交矩阵（一）内积3 = 45P168一、内积、施密特正交化、正交矩阵（一）内积11 = 1 ， = 211P168线性空间P169线性空间P169简+解（二）施密特正交化P169简+解（二）施密特正交化第一步：求出V的一个基第二步：施密特正交化方法第三步：将正交基单位化P170121214032设向量组A为 =， =， =，求它的一组正交基。121214032例：设向量组A为 =， =， =，求它的一组正交基。P170P170P170P171选一、内积、施密特正交化、正交矩阵（三）正交矩阵0 11 0 =P171选一、内积、施密特正交化、正交矩阵（三）正交矩阵2.正交矩阵性质：3.正交矩阵判别方法：（1）定义法（2）