空间几何体的三视图和直观图范例

1、空间几何体的三视图和直观图范例例1、 2013北京卷 某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为_图13 解析 ：3 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此Veq f(1,3)(33)13.例2、 2013福建卷 如图13，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量eq o(AD,sup6()的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积图13解：(1)在梯形ABCD

2、中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD.从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4 eq r(3).正视图如图所示(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB，MNeq f(1,2)AB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边

3、形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCeq f(1,3)SDBCPD，又SDBC6，PD4 eq r(3)，所以VDPBC8 eq r(3).例3、2013广东卷 某三棱锥的三视图如图12所示，则该三棱锥的体积是()图12A.eq f(1,6) B.eq f(1,3) C.eq f(2,3) D1 解析 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是eq f(1,3)eq f(1,

4、2)112eq f(1,3)，选B.例4、2013广东卷 执行如图11所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()图11A1 B2 C4 D7 解析 13，s101，i2；23，s112，i3；s224，i4；43，故输出s4，选C.例5、2013湖南卷 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq r(2)的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.eq f(r(3),2) B1 C.eq f(r(2)1,2) D.eq r(2)例6、2013江西卷 一几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A2009 B20018 C1409 D14

5、018 解析 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为eq f(1,2)3229，长方体体积为1054200.故选A.例7、2013辽宁卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积是_图13解析 1616 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V44161616.例8、2013新课标全国卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()图13解析 A 在空间直角坐标系Oxyz中画出三棱锥，由已知可知三

6、棱锥OABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图14例9、2013山东卷 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图11所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图11A4 eq r(5)，8 B4 eq r(5)，eq f(8,3) C4(eq r(5)1)，eq f(8,3) D8，8 解析 B 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为eq r(221)eq r(5)，侧面积4eq f(1,2)2eq r(5)4 eq r(5)，体积为eq f(1,3)222eq f(8,3).例10、2013陕西卷 某几何体的三视图如图12所示，

7、则其表面积为_图12 解析 3由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面底面圆，代入数据计算为Seq f(1,2)412123.例11、2013新课标全国卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积为()图13A168 B88 C1616 D816解析 A该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱这个空间几何体的体积是eq f(1,2)44224168.例12、2013浙江卷 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图11所示，则该几何体的体积是()图11A108 cm3 B100 cm3 C92 cm3 D84

8、cm3 解析 B此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为366eq f(1,3)eq f(1,2)3441088100(cm3)所以选择B.例13、2013重庆卷 如图14所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2 eq r(3)，BCCD2，ACBACDeq f(,3).(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积图14解：(1)证明：因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱锥PB

9、CD的底面BCD的面积SBCDeq f(1,2)BCCDsinBCDeq f(1,2)22sineq f(2,3)eq r(3).由PA底面ABCD，得VPBCDeq f(1,3)SBCDPAeq f(1,3)eq r(3)2 eq r(3)2.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为eq f(1,8)PA，故VFBCDeq f(1,3)SBCDeq f(1,8)PAeq f(1,3)eq r(3)eq f(1,8)2 eq r(3)eq f(1,4)，所以VPBDFVPBCDVFBCD2eq f(1,4)eq f(7,4).例14、2013重庆卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的表面积为()图