变量间的相互关系

1、变量间的相互关系第1页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二一、变量之间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，像正方形的边长a和面积S的关系，另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的。 人的身高并不能确定体重，但一般来说 “身高者，体也重”，因此身高与体重这两个变量具有相关关系.第2页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 怎样判断两个变量有没有相关关系设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:

2、(单位：万元)年收入24466677810饮食支出0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3第3页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 由表中数据可以看出，y有随x增加而增加的趋势，并且增加的趋势变缓。 为了更清楚地看出x与y是否有相关关系，我们以年收入x的取值为横坐标，把年饮食支出y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标系中描点。这样的图形叫做散点图。第4页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二xy从这个散点图发现：家庭年收入和年饮食支出之间具有相关关系。并且当年收入的值由小变大时，年饮食支出的值也在由小变大。点的位置散布在从左下角到右上角的区域

3、。称它们成正相关。第5页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，它们的点散布在从左上角到右下角的区域内。这种相关称作负相关。如下图所示：如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽车每消耗1升汽油所行使的平均路程，称它们成负相关.O第6页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二相关关系与函数关系的异同点 （1）相同点：两者均是指两个变量的关系;（2）不同点：函数关系是一种确定的关系,如匀速直线运动中时间t与路程s的

4、关系； 相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系，事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。第7页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二下列两个变量之间的关系，哪个不是相关关系A、粮食的产量与施肥量B、商品的销售收入和广告支出经费C、人的年龄和身高 D、正方形的边长和面积E、作文水平和课外阅读量F、降雪量和交通事故的发生率第8页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二具有相关关系不具有相关关系第9页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二如何分析变量之间是否具有相关的关系 分析变量之间是

5、否具有相关的关系，可以借助日常生活和工作经验对一些常规问题来进行定性分析，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此它们之间是一种非确定性的随机关系，即相关关系。但仅凭这种定性分析不够；第10页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 一来定性分析有时会给我们以误导; 二来定性分析无法确定变量之间相互影响的程度有多大。因些，我们还需要进行定量分析。 如何进行定量分析呢？由于变量间的相关关系是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断。第1

6、1页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似描述，这种近似的过程称为曲线拟合。在两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的。此时，我们可以用一条直线来拟合（如图），这条直线叫回归直线。第12页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二探究：.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.261

7、34.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？第13页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断. 下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。如图：O20253035404550556065年龄脂肪含量510152025303540第14页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 我

8、们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归直线方程。20253035404550556065年龄脂肪含量0510152025303540第15页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二最小二乘法:为最小的方法.2求利用配方法求得:第16页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二用方程 来表示. 在一般统计书中习惯用b表示一次项系数,用a表示常数项,这正好与我们表示的一次函数习惯相反.第17页，共36页，2022年，5月20日，5

9、点42分，星期二第18页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二例1：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程解：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计算得:第19页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二所求回归直线方程为 y=x小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表 ；第二步：计算 ；第三步：代入公式计算b,a的值；第四步：写出直线方程。第20页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二例2：

10、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。第21页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二解: (1)散点图(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。温度热饮杯数第22页，共36页，20

11、22年，5月20日，5点42分，星期二(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。第23页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二y=-2.352x+147.767（4）当x=2时，y=143.063,因此，这天大约可以卖出143杯热饮。(3)=-2.352=143.767第24页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二练习题1下列说法正确的是（ ）（A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的两个变量 （B）正四面体的体积与其棱长具有相关关系 （C）电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 （D）传染病医院感染“非典”的医务人员数与医院收治的“非典

12、”病人数是具有相关关系的两个变量D第25页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二2. 有关线性回归的说法，不正确的是( ) A. 相关关系的两个变量不是因果关系B. 散点图能直观地反映数据的相关程度C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D. 任一组数据都有回归方程D第26页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二3.下面哪些变量是相关关系( ) A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量C第27页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二4. 回归方程y=1.5x15，则( ) A. y=1.5 x

13、15 B. 15是回归系数a C. 1.5是回归系数a D. x=10时，y=0A第28页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二5.线性回归方程y=bx+a过定点_.(x, y)第29页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二6.下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？ 年平均气温(C)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量(mm)748542507813574701432由散点图看出，求回归直线方程无实际意义。第30页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二7.某市近1

14、0年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：年 份1993199419951996199719981999200020012002x用户（万户）11.21.61.822.53.244.24.5y （百万立方米）679.81212.114.5202425.427.5（1）求回归方程；（2）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.第31页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二解：（1）画散点图并求回归方程y=6.0573x+0.0811（2）当x=5时, y=30.367630.37。第32页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二 1、现

15、实生活中存在许多相关关系：商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系.2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，才有代表性.才能对它们之间的关系作出正确的判断.小结第33页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二4对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系.6.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性.5散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法. 第34页，共36页，2022年，5月20日，5点42分，星期二3.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数 , 第二步，求和 , 第三步，计算 第四步，写出回归方程 第35页