概率复习课件资料

1、概率复习一、事件的运算满足的规律二、概率的计算1.概率的加法运算设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1)2. 条件概率为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.概率乘法法则 3.独立性：若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B)则称A、B相互独立，简称A、B独立.4.全概公式：5.逆概三、随机变量及数字特征我们将研究两类随机变量： 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：2.二项分布用X表示n重伯努

2、利试验中事件A发生的次数，则易证：（1）称 r.v X 服从参数为n和p的二项分布，记作 Xb(n,p)（2）3. 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：其中 0 是常数, 则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记作Xp( ).4. 均匀分布则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，X U(a, b)若 r .v X的概率密度为：记作 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.5 . 指数分布 若 r .v X具有概率密度为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布.6. 正态分布 若连续型 r .v X 的概率密度为记作其中 和 ( 0 )都是常数,

3、则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布. （二）数字特征1.数学期望1）离散型2）连续型3）随机变量函数的数学期望4）数学期望的性质 （1） 设C是常数，则E(C)=C; （4） 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); （2）若k是常数，则E(kX)=kE(X); （3） E(X+Y) = E(X)+E(Y);（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立2.方差记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2X为离散型，分布率PX=xk=pkX为连续型，X概率密度f(x)方差的性质 （1） 设C 是常数, 则 D(

4、C)=0 ; （2） 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 D(X) ; （3） 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)（4） D(X)=0 PX= C=1 ,这里C=E(X) 量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)3.协方差2）简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1）定义 Cov(X,Y)

5、=E(XY) -E(X)E(Y) 3） 计算协方差的一个简单公式可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .4） 随机变量和的方差与协方差的关系D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4.相关系数为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .定义: 设D(X)0, D(Y)0,称相关系数的性质：2. X和Y独立时， =0，但其逆不真.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关5. 原点矩 中心矩存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩 存在，称它为X的k阶中心矩1.大数定律2.中心极限定理四、大数定律和中心极限定理大数定律

6、 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性中心极限定理注五、统计推断 1. 几个常见统计量样本平均值它反映了总体均值的信息样本方差它反映了总体方差的信息样本标准差 它反映了总体k 阶矩的信息 k=1,2,它反映了总体k 阶中心矩的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩2.抽样分布t 分布F分布3.抽样分布定理样本均值的分布样本方差、均值的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布4.参数估计参数估计点估计区间估计定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 理论依据: 大数定律矩估计法

7、： 最大似然估计原理： 当给定样本X1,X2,Xn时，定义似然函数为： 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1,x2, ,xn ; ) .f (x1, x2 , xn; ) 最大似然估计法就是用使 达到最大值的 去估计 . 常用的评价统计量的标准是：1无偏性2有效性区间估计：求置信区间的一般步骤如下:1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少?2. 寻找参数 的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知. 4. 对于给定的置信水平 ，根据U(T, )的分布，确定常数a, b，使得 P(a U(T, )b) = 5. 对“aU(T, )b”作等价变形,得到如下形式:即于是 就是 的100( )的置信区间. 5.假设检验假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题假设检验的原理步骤：小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .提出原假设和备择假