平均数、中位数和众数的应用思考

1、平均数、中位数和众数的应用思考【摘要】从平均数、众数和中位数学习和应用中遇到的困惑 出发，比较分析了平均数、众数和中位数的内涵、数量关系和应 用中需要注意的主要方面，坚信以不唯书、不唯上的科学态度对 待学习，以更好地解决社会生活中的实际问题.【关键词】平均数；中位数；众数；应用目前，平均数、众数和中位数在中学和大学中都要学习，并 且在实际生活中应用非常广泛，但是，在学习和应用过程中还存 在一些有争议的问题.本文将从平均数、众数和中位数三者的内 涵比较、数量关系和应用问题进行分析，以期促进学习时多思考、 多参阅文献，真正掌握所学知识，并更好地应用于实践中.1平均数、中位数和众数的内涵比较平均数、

2、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势特征的数 值.其中，平均数分为广义平均数和狭义平均数，广义的平均数 分为数值平均数和位置平均数，数值平均数包括算术平均数、调 和平均数、几何平均数，这些平均数都是根据同一现象数据来计 算，用以反映现象在具体条件下一般水平、集中趋势.位置平均 数包括中位数和众数，主要根据现象数据在一定位置确定现象集 中趋势的数据.本论文所研究的平均数是指狭义的平均数，即算 术平均数，在本论文后面部分的如不加特别注明都指算术平均数.狭义平均数是现象中的所有个体的某一数据总和除以个体总数 而计算的平均数.在实际生活中用得最为广泛，如班级平均成绩、 平均身高、平均年龄，企业员工的平

3、均工资等在理解平均数内涵时，要注意同一现象和包含的个体数据， 如果不是同一现象或者计算的个体数不是计算现象的个体数，就 不能理解为平均数.举个例子说明：人均粮食产量和人均粮食消 耗量，这两个数据看上去很相似，并且都有人均，其实只有人均 粮食消耗量是平均数，而人均粮食产量不是平均数.如2015年全 国粮食总产量为124287亿斤、全国粮食消耗总量为348758亿斤、 中国总人口数量为136782亿人，那么计算人均粮食产量时用 124287亿斤除以136782亿人等于90866斤/人，在人均粮食产 量中的总人数136782亿人中包含了没有生产粮食的在校学生 等，所以人均粮食产量从形式上看是平均数，

4、其实它没有平均数 的内涵，不能作为平均数.计算人均粮食消耗量时用348758亿斤 除以136782亿人等于2549斤/人，因为不管是大人还是小孩， 每个人都要消费粮食，也就是2015年中国总人口数量为136782 亿的人们消耗了粮食总量为348758亿斤，对人们消耗粮食这个 现象来说，包含了所有的人们个体数，所以，人均粮食消耗量具 有平均数的内涵，它是一个平均数.中位数是指某一现象中某一数据按大小顺序排列、居于中间 位置的那个数据.如某中学1班有51名同学，一次考试中，按某 科成绩从小到大依次排列，排在中间的学生成绩是85分，那么如果用中位数来反映1班全体同学的平均成绩就是85分；又如 2班有

5、50名同学，这时排在中间位置就有两名同学，确定2班 同学的成绩中位数时就用中间两名同学成绩的算术平均数来反 映.，目众数是指某现象中出现次数最多的那个数据就是众数.在 个现象中可能有众数，也可能没有众数，最典型的就是如果这一 现象所有数据都一样大小，没有哪个数据出现的次数比其他数据 多，这时就无法确定众数.所以，只有在现象的数据个数比较多， 而且又有某一个或多个出现的次数明显比其他数据多时才存在 众数，并且众数不像算术平均数和中位数，它可以有多个，若有 多个数据出现次数相等的众数就称为复众数.2平均数、中位数和众数的数量关系关于算术平均数、中位数和众数之间的数量关系，大多数教 材上的观点认为这

6、三者之间的数量关系与总体的分布特征有关：（1）现象数据呈无偏分布时，算术平均数、中位数和众数相等 （见图1）；（2）现象数据呈左偏分布时，平均数小于中位数，中位数小于众数（见图2）；（3）现象数据呈右偏分布时，众数 小于中位数，中位数小于平均数（见图3）.图1对称分布图2左偏分布图3右偏分布江海峰（2007）从 不同变量类型和偏度下抽取数据分析了平均数、中位数和众数之 间的数量关系，指出了现行教材关于三者关系的结论存在的问题 1.他认为当现象数据无偏分布时，始终存在平均数、中位数和众数相等.当现象数据呈左偏分布时，在离散型分布情况下，并 不是平均数始终小于中位数，中位数始终小于众数，还有众数和

7、 中位数相等并且大于平均数，也有众数、中位数和平均数三者相 等情况，可见，当现象数据呈左偏分布时，还有平均数中位数 众数以外情形，大多教材上的观点不够全面.当现象数据呈右偏 分布时，在离散型分布下，存在平均数等于中位数且大于众数情 况，还存在平均数、中位数、众数三者相等情况.可见，当现象 数据呈右偏分布时，还有众数中位数平均数以外情形，教材上 的观点也不够全面.3平均数、中位数和众数的应用问题平均数、中位数和众数反映了一组数据的平均值的大小，常 用来代表一组数据的“一般水平”.在实际应用中，可以进行同 类现象在不同空间、不同时间上的对比，可以分析现象之间的依 存关系，也可以作为论断事物的一种数

8、量标准或参考，但是当数 据中有“异常数”时，通常会出现不能科学反映现象本质2.平均数是现象数据的代表值，在实际生活中应用非常广泛， 在应用中要注意是否有实际意义.1831年，魁特奈特 (A.Quetelet，17961874)提出了 “平均人”的概念，他认为 “平均人”是在重要指标上都具有某群体中一切个体相应指标的 平均值的人，“平均人”实际生活中是不存在的3.又如对“平 均每个家庭有27个人”，显然人也不可能是07个人.如一句顺口 溜就说明了平均数存在的问题：“有个暴富张千万，邻居九个穷 光蛋，专家统计平均数，都是张百万”.另外一个典型例子，如 果某班有50名同学，前25名同学考试成绩都在8

9、0分以上，而 后25名同学考试成绩都在60分以下，如果计算平均数出的平均 成绩为70分，这时的平均数70分也没有实际意义，根本没有同 学是70分或集中在70分左右.显然，这些平均数，根本不能反 映实际情况，完全失去了实际意义.所以，计算平均数存在实际 意义，现象没有异常数据，并且分布比较均衡，适宜使用平均数 来代表现象集中趋势4.在现象的数据比较均匀分布时，平均数 能比较科学地反映现象本质特征，平均数的代表性比较强，理解 也容易，才有足够说服力.中位数总体来说，因为它只利用了 现象中个别数据来确定集中趋势，代表性和可靠性都比较差.一 般情况下，现象存在极大或极小值等异常数据时，才用中位数来 描

10、述现象的规律和特征如前面提到的“暴富张千万”的例子， 如果用中位数来反映他们的收入就比较科学合理了，而不是大多 集中在百万元收入，也不会让人们难以理解.再比如大家关心的 住房现象，如果某人有几十套、甚至几百套房产，并且都是大面 积房产，在一定范围内如果用平均数来反映居民的住房面积，就 不能够真实地反映现象本质，这时应用中位数却能比较好地反映 人们的居住面积.在应用中位数时，我们还需要注意另外一个问 题，首先对给定现象的数据按从小到大或者从大到小进行排序 后，处在中间位置的那个数（奇数个数时）或处在中间位置的那 两个数（偶数个数时）的算术平均数，而不是直接找到数据中间位置的数，因为当一个现象的数

11、据随便编排时，处于中间的数是 发生变化的，只有将现象数据按大小顺序排序后，中间位置的数 才是确定的，也就确定了一个现象的中位数.众数作为现象数据的代表时，也只用了个别数据来反映现象 集中趋势，可靠性也比较差.在现象的数据中如果存在异常数据， 为了去除这些异常数据的影响，用出现次数最多的数据来反映现 象的集中趋势，是比较科学合理的.在实际生活中，众数通常应 用在不确定情况下或为了省时省力而对结果影响不大的情况下. 例如，农贸市场每天菜农卖的蔬菜价格、商场中销售的衣服的尺 寸、鞋的尺寸等等是根据众数来确定的.这些数据的代表性如果 用平均数来反映，几乎是不可能的，也没必要，应用众数就更具 有现实意义.总之，平均数、中位数和众数仍然在实际生活中广泛应用， 但是在应用时一定要结合现象的具体情况来分析.社会经济现象 有“橄榄球”型、“哑铃”型、“J”型和“反J”型等，有的现 象的数据是不适合用平均数、中位数和众数来反映其本质特征 的，就可以分成不同阶段、考虑权重进行分析，并结合极差、方 差、标准差等手段进行比较研究，才能更好地揭示现象的本质规 律，更好地发挥平均数、中位数和众数在实际生活中的作用参考